متماثلة (نظرية الحلقة)

في نظرية الحلقات ، وهي فرع من الرياضيات ، يُعرَّف العنصر المتساوي القوة ( أو ببساطة العنصر المتساوي القوة) ^{في الحلقة بأنه العنصر a الذي يحقق المعادلة a₂} = a₁ . [ 1 ^] [ a ] أي ^{أن هذا العنصر متساوي القوة تحت} عملية الضرب في الحلقة. وبناءً على ذلك، يمكن استنتاج أن a₁ = a₂ = ^a₃ = a₄ = ^... = aₙ لأي عدد صحيح موجب ⁿ . على سبيل المثال، العنصر المتساوي القوة في حلقة المصفوفات هو مصفوفة متساوية القوة .

في الحلقات العامة، تُستخدم العناصر المتطابقة تحت الضرب في تحليل الوحدات ، وترتبط بالخصائص الهومولوجية للحلقة. أما في الجبر البولياني ، فإنّ المواضيع الرئيسية للدراسة هي الحلقات التي تكون فيها جميع العناصر متطابقة تحت كلٍّ من الجمع والضرب.

تتضمن القائمة الجزئية لأنواع العناصر المتطابقة المهمة ما يلي:

• يُقال عن عنصرين متساويي القوة a و b أنهما متعامدان إذا كان ab = ba = 0. إذا كان a عنصرًا متساوي القوة في الحلقة R (مع عنصر الوحدة )، فإن b = 1 − a يكون كذلك أيضًا ؛ علاوة على ذلك، فإن a و b متعامدان.
• يُطلق على العنصر المتساوي القوة a في R اسم العنصر المتساوي القوة المركزي إذا كان ax = xa لجميع x في R ، أي إذا كان a في مركز R.
• يشير العنصر التافه المتساوي القوة إلى أي من العنصرين 0 و 1 ، وهما دائمًا متساويان القوة.
• العنصر المتساوي القوة الأولي في الحلقة R هو عنصر متساوي القوة غير صفري a بحيث يكون aR غير قابل للتحليل إلى وحدة نمطية يمنى على R ؛ أي أن aR ليس مجموعًا مباشرًا لوحدتين نمطيتين غير صفريتين . وبصورة مكافئة، يكون a عنصرًا متساوي القوة أوليًا إذا لم يكن بالإمكان كتابته على الصورة a = e + f ، حيث e و f عنصران متساويان القوة متعامدان غير صفريين في R.
• العنصر المتساوي القوة المحلي هو عنصر متساوي القوة a بحيث تكون aRa حلقة محلية . وهذا يعني أن aR غير قابلة للتحليل المباشر، لذا فإن العناصر المتساوية القوة المحلية هي عناصر أولية أيضًا.
• العنصر المتطابق غير القابل للاختزال من اليمين هو عنصر متطابق a حيث يكون aR وحدة نمطية بسيطة . وبحسب مبرهنة شور ، فإن End _R ( aR ) = aRa هي حلقة قسمة ، وبالتالي فهي حلقة محلية، لذا فإن العناصر المتطابقة غير القابلة للاختزال من اليمين (واليسار) هي حلقات محلية.
• العنصر المركزي البدائي هو عنصر مركزي لا يمكن كتابته كمجموع عنصرين مركزيين متعامدين غير صفريين.
• يقال أن العنصر المتساوي القوة a + I في حلقة القسمة R / I يرفع modulo I إذا كان هناك عنصر متساوي القوة b في R بحيث يكون b + I = a + I.
• يُطلق على العنصر المتطابق a من R اسم عنصر متطابق كامل إذا كان RaR = R.
• عنصر قابل للفصل ومتطابق ؛ انظر الجبر القابل للفصل .

أي عنصر متساوي القوة غير تافه a هو قاسم للصفر (لأن ab = 0، حيث لا a ولا b يساويان الصفر، و b = 1 − a ). هذا يُبين أن المجالات التكاملية وحلقات القسمة لا تحتوي على مثل هذه العناصر متساوية القوة. كما أن الحلقات المحلية لا تحتوي على مثل هذه العناصر متساوية القوة، ولكن لسبب مختلف. العنصر متساوي القوة الوحيد الموجود في جذر جاكوبسون للحلقة هو 0 .

• الحلقة التي تكون فيها جميع العناصر متساوية القوة تُسمى حلقة بولية . ويستخدم بعض المؤلفين مصطلح "الحلقة متساوية القوة" لهذا النوع من الحلقات. في هذه الحلقة، تكون عملية الضرب تبديلية ، وكل عنصر هو معكوسه الجمعي .
• تكون الحلقة شبه بسيطة إذا وفقط إذا تم توليد كل مثالي يميني (أو كل مثالي يساري) بواسطة عنصر متساوي القوة.
• تكون الحلقة منتظمة فون نيومان إذا وفقط إذا كان كل مثالي يمين مولد بشكل نهائي (أو كل مثالي يسار مولد بشكل نهائي) مولدًا بواسطة عنصر متساوي القوة.
• تُسمى الحلقة التي يكون فيها مُبيد كل مجموعة جزئية S من R ، r.Ann ( S ) ، مُولَّدًا بواسطة عنصر مُتطابق، حلقة باير . إذا تحقق هذا الشرط فقط لجميع المجموعات الجزئية الأحادية من R ، فإن الحلقة تُسمى حلقة ريكارت يمنى . كلا النوعين من الحلقات مثيران للاهتمام حتى عندما يفتقران إلى عنصر محايد ضربي .
• الحلقة التي تكون فيها جميع العناصر المتساوية القوة مركزية تسمى حلقة أبيلية . ولا يشترط أن تكون هذه الحلقات تبديلية.
• تكون الحلقة غير قابلة للاختزال بشكل مباشر إذا وفقط إذا كان 0 و 1 هما العنصران المركزيان الوحيدان المتطابقان.
• يمكن كتابة الحلقة R على النحو التالي: e ₁ R ⊕ e ₂ R ⊕ ... ⊕ e _n R حيث يكون كل e _i عنصرًا محليًا متساوي القوة إذا وفقط إذا كانت R حلقة شبه مثالية .
• تُسمى الحلقة حلقة SBI أو حلقة Lift/rad إذا كانت جميع العناصر المتساوية القوة لـ R ترفع modulo جذر جاكوبسون .
• تحقق الحلقة شرط السلسلة التصاعدية على الحدود المباشرة اليمنى إذا وفقط إذا كانت تحقق شرط السلسلة التنازلية على الحدود المباشرة اليسرى إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة من العناصر المتعامدة المزدوجة محدودة.
• إذا كان العنصر a عنصرًا متطابقًا في الحلقة R ، فإن aRa هي حلقة أيضًا، ولها عنصر محايد ضربي a . غالبًا ما يُشار إلى الحلقة aRa باسم حلقة الزاوية في R. تنشأ حلقة الزاوية بشكل طبيعي لأن حلقة التشكلات الداخلية EndR ( _aR ) ≅ aRa .

ترتبط العناصر المتطابقة في R ارتباطًا وثيقًا بتفكيك وحدات R. إذا كانت M وحدة R ، و E = End _R ( M ) هي حلقة التشكلات الداخلية الخاصة بها ، فإن A ⊕ B = M إذا وفقط إذا وُجد عنصر متطابق وحيد e في E بحيث يكون A = eM و B = (1 − e ) M . من الواضح إذن أن M غير قابلة للتفكيك مباشرةً إذا وفقط إذا كان 0 و 1 هما العنصران المتطابقان الوحيدان في E. ^{[ 2 ]}

في حالة كون M = R (بافتراض أنها أحادية)، فإن حلقة التشكل الداخلي End _R ( R ) = R ، حيث ينشأ كل تشكل داخلي كضرب من اليسار بعنصر ثابت في الحلقة. مع هذا التعديل في الترميز، يكون A ⊕ B = R كوحدات نمطية يمينية إذا وفقط إذا وُجد عنصر متطابق e وحيد بحيث يكون eR = A و (1 − e ) R = B. وبالتالي، فإن كل مجموع مباشر لـ R مُوَلَّد بواسطة عنصر متطابق.

إذا كان a عنصرًا مركزيًا متساوي القوة، فإن حلقة الزاوية aRa = Ra هي حلقة ذات عنصر محايد ضربي a . وكما تحدد العناصر متساوية القوة التفكيكات المباشرة لـ R كوحدة نمطية، فإن العناصر المركزية متساوية القوة لـ R تحدد تفكيكات R كمجموع مباشر للحلقات. إذا كانت R هي المجموع المباشر للحلقات R₁ _, ..., Rₙ _، فإن عناصر المحايد للحلقات Rᵢ _هي عناصر مركزية متساوية القوة في R ، ومتعامدة مثنى مثنى، ومجموعها يساوي 1. وعلى العكس، إذا كانت لدينا عناصر مركزية متساوية القوة a₁ , _... , an في R متعامدة مثنى مثنى ومجموعها يساوي 1 ، فإن R هي المجموع المباشر للحلقات Ra₁ _, ..., Raₙ _{. وبالتالي ،} على وجه الخصوص، كل عنصر مركزي متساوي القوة a في R يُنتج تفكيكًا لـ R كمجموع مباشر لحلقات الزاوية aRa و (1 − a ) R (1 − a ) . ونتيجة لذلك، فإن الحلقة R غير قابلة للتحليل المباشر كحلقة إذا وفقط إذا كان العنصر المحايد 1 بدائيًا مركزيًا.

باستخدام الاستقراء، يمكن محاولة تحليل 1 إلى مجموع عناصر مركزية أولية. إذا كان 1 مركزيًا أوليًا، فقد انتهينا. وإذا لم يكن كذلك، فهو مجموع عناصر مركزية متعامدة متساوية القوة، والتي بدورها إما أولية أو مجموع عناصر مركزية متساوية القوة، وهكذا. تكمن المشكلة في أن هذا قد يستمر بلا نهاية، مُنتجًا عائلة لانهائية من العناصر المركزية المتعامدة متساوية القوة. يُعد الشرط " لا تحتوي R على مجموعات لانهائية من العناصر المركزية المتعامدة متساوية القوة " نوعًا من شروط التناهي على الحلقة. ويمكن تحقيقه بطرق عديدة، مثل اشتراط أن تكون الحلقة نوثرية يمنى . إذا وُجد تحليل R = c₁R ⊕ c₂R ⊕ ... ⊕ _cₙR حيث كل cᵢ عنصر _مركزي أولي متساوي القوة، فإن _R هو _مجموع مباشر لحلقات الزوايا cᵢR ، وكل منها غير قابلة للاختزال إلى _{حلقة .} ^{[ 3 ]}

بالنسبة للجبر الترابطي أو جبر جوردان على حقل، فإن تحليل بيرس هو تحليل للجبر كمجموع للفضاءات الذاتية للعناصر المتطابقة التبادلية.

إذا كان a عنصرًا متساوي القوة في حلقة R ، فإن مربع f = 1 − 2 a يساوي 1. لذلك، بالنسبة لكل وحدة نمطية يسارية R ، فإن الضرب في f هو انعكاس لـ M ؛ أي أنه تشاكل وحدة نمطية R بحيث يكون f ² هو التشاكل الداخلي المتطابق لـ M.

إذا​${\displaystyle M}$هو​​${\displaystyle R}$- وحدة ثنائية ،وعلى وجه الخصوص، إذا${\displaystyle M=R}$، عمليات الضرب من اليسار واليمين مع${\displaystyle f}$يؤدي ذلك إلى حدوث انعكاسين للوحدة.

وعلى العكس من ذلك، إذا كان b عنصرًا من ⁠${\displaystyle R}$بحيث​​${\displaystyle b^{2}=1}$ثم​​${\displaystyle (1-b)^{2}=2(1-b)}$وإذاكان العدد 2 عنصرًا قابلًا للعكس في R ، فإن a = 2 ^{- 1} (1 - b ) عنصر متساوي القوة بحيث يكون b = 1 - 2a . وبالتالي، بالنسبة لحلقة يكون فيها العدد 2 قابلًا للعكس، فإن العناصر متساوية القوة تتطابق تطابقًا تامًا مع العناصر التي مربعها يساوي 1.

لرفع العناصر المتساوية القوة تبعاتٌ جوهرية على فئة وحدات R. تُرفع جميع العناصر المتساوية القوة بتردد I إذا وفقط إذا كان لكل عنصر R مباشر في R / I غطاء إسقاطي كوحدة R. ^{[ 4 ]} تُرفع العناصر المتساوية القوة دائمًا بتردد المُثُل الصفرية والحلقات التي تكون فيها R كاملةً بتردد I.

يكون الرفع في غاية الأهمية عندما يكون I = J( R ) ، وهو الجذر الجاكوبسوني لـ R. ومن الخصائص الأخرى للحلقات شبه المثالية أنها حلقات شبه محلية ترتفع عناصرها المتساوية القوة بتردد J( R ) . ^{[ 5 ]}

يمكن تعريف ترتيب جزئي على العناصر المتساوية القوة في حلقة ما كما يلي: إذا كان a و b عنصرين متساويي القوة، نكتب a ≤ b إذا وفقط إذا كان ab = ba = a . بالنسبة لهذا الترتيب، 0 هو أصغر عنصر متساوي القوة و 1 هو أكبر عنصر متساوي القوة. بالنسبة للعناصر المتساوية القوة المتعامدة a و b ، فإن a + b هو أيضًا عنصر متساوي القوة، وبالتالي لدينا a ≤ a + b و b ≤ a + b . ذرات هذا الترتيب الجزئي هي تحديدًا العناصر المتساوية القوة الأولية. ^{[ 6 ]}

عند تقييد الترتيب الجزئي المذكور أعلاه بالعناصر المركزية المتساوية القوة في R ، يمكن الحصول على بنية شبكية ، أو حتى بنية جبرية منطقية . بالنسبة لعنصرين مركزيين متساويي القوة e و f ، يُعطى المتمم بـ

¬ e = 1 − e ,

يُقام اللقاء بواسطة

e ∧ f = ef .

ويتم تحديد الوصلة بواسطة

e ∨ f = ¬(¬ e ∧ ¬ f ) = e + f − ef

يصبح الترتيب الآن ببساطة e ≤ f إذا وفقط إذا كان eR ⊆ fR ، ويحقق الربط والتقاطع الشرطين ( e ∨ f ) R = eR + fR و ( e ∧ f ) R = eR ∩ fR = ( eR ) ( fR ) . وقد بُيّن في Goodearl 1991 ، صفحة 99، أنه إذا كانت R منتظمة فون نيومان وذاتية الحقن من اليمين ، فإن الشبكة تكون شبكة كاملة .