خدعة الإسكندر

خدعة ألكسندر ، والمعروفة أيضًا باسم خدعة ألكسندر ، هي نتيجة أساسية في الطوبولوجيا الهندسية ، سميت على اسم جي دبليو ألكسندر .

تماثلان متماثلان للكرة ذات البعد n​${\displaystyle D^{n}}$والتي تتفق على الكرة الحدودية${\displaystyle S^{n-1}}$هي متماثلة النظائر .

وبشكل أعم، هناك تماثلان متماثلان لـ${\displaystyle D^{n}}$العناصر المتماثلة على الحدود تكون متماثلة.

الحالة الأساسية : كل تماثل شكلي يثبت الحدود يكون متماثلًا مع التطابق بالنسبة للحدود.

لو${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$يرضي${\displaystyle f(x)=x{\text{ لجميع }}x\in S^{n-1}}$ثم يُعطى التماثل الذي يربط f بالدالة المحايدية بواسطة

${\displaystyle J(x,t)={\begin{cases}tf(x/t),&{\text{if }}0\leq \|x\|<t,\\x,&{\text{if }}t\leq \|x\|\leq 1.\end{cases}}}$

بصرياً، يتم "استقامة" التماثل من الحدود، "بالضغط".${\displaystyle f}$وصولاً إلى الأصل. يُطلق ويليام ثورستون على هذا "تمشيط كل التشابكات إلى نقطة واحدة". في الورقة الأصلية المكونة من صفحتين، يشرح جيه دبليو ألكسندر أنه لكل${\displaystyle t>0}$التحول${\displaystyle J_{t}}$النسخ المتماثلة${\displaystyle f}$وعلى نطاق مختلف، على قرص نصف قطره${\displaystyle t}$وهكذا${\displaystyle t\rightarrow 0}$من المعقول أن نتوقع ذلك${\displaystyle J_{t}}$يندمج مع الهوية.

يكمن الغموض في أن${\displaystyle t=0}$،${\displaystyle f}$"يختفي": الجرثومة في الأصل "تقفز" من نسخة ممتدة إلى ما لا نهاية من${\displaystyle f}$إلى الهوية. يمكن تنعيم كل خطوة من خطوات التماثل (تنعيم الانتقال)، لكن التماثل (الخريطة الكلية) له نقطة تفرد عند${\displaystyle (x,t)=(0,0)}$وهذا يؤكد أن خدعة ألكسندر هي بناء PL ، ولكنها ليست سلسة.

الحالة العامة : النظائرية على الحدود تعني النظائرية

لو${\displaystyle f,g\colon D^{n}\to D^{n}}$هما تماثلان متماثلان يتفقان على${\displaystyle S^{n-1}}$، ثم${\displaystyle g^{-1}f}$هوية على${\displaystyle S^{n-1}}$إذن لدينا نظائر${\displaystyle J}$من الهوية إلى${\displaystyle g^{-1}f}$الخريطة${\displaystyle gJ}$ثم يكون نظيرًا من${\displaystyle g}$ل${\displaystyle f}$.

يستخدم بعض المؤلفين مصطلح "خدعة ألكسندر" للإشارة إلى القول بأن كل تماثل شكلي لـ${\displaystyle S^{n-1}}$يمكن توسيع ذلك ليشمل تماثلًا تماثليًا للكرة بأكملها${\displaystyle D^{n}}$.

ومع ذلك، فإن إثبات هذا أسهل بكثير من النتيجة التي نوقشت أعلاه: يطلق عليه الامتداد الشعاعي (أو المخروطية) وهو صحيح أيضًا بشكل خطي جزئي ، ولكن ليس بسلاسة.

بشكل ملموس، دع${\displaystyle f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}}$إذا كان تماثلًا شكليًا،

${\displaystyle F\colon D^{n}\to D^{n}{\text{ مع }}F(rx)=rf(x){\text{ لجميع }}r\in [0,1]{\text{ و }}x\in S^{n-1}}$يُعرّف تماثلًا شكليًا للكرة.

• تركيب القابض

• هانسن، فاغن لوندسغارد (1989). الضفائر والأغطية: مواضيع مختارة . نصوص طلابية من جمعية لندن الرياضية. المجلد  18. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . doi : 10.1017/CBO9780511613098 . ISBN 0-521-38757-4MR 1247697 .​ 
• ألكسندر، ج. و. (1923). "حول تشوه خلية من الرتبة n " . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 9 (12): 406-407 . Bibcode : 1923PNAS....9..406A . doi : 10.1073 / pnas.9.12.406 . PMC 1085470. PMID 16586918 .