البنية الجبرية الداخلية

في التحليل الوظيفي ، وهو فرع من فروع الرياضيات، يعتبر الجزء الداخلي الجبري أو النواة الشعاعية لمجموعة فرعية من فضاء متجه بمثابة تحسين لمفهوم الجزء الداخلي .

افترض أن${\displaystyle A}$هي مجموعة جزئية من فضاء متجهي${\displaystyle X.}$ الجزء الجبري الداخلي (أو النواة الشعاعية ) لـ${\displaystyle A}$بالنسبة إلى${\displaystyle X}$هي مجموعة جميع النقاط التي عندها${\displaystyle A}$هي مجموعة شعاعية . نقطة${\displaystyle a_{0}\in A}$تُسمى نقطة داخلية${\displaystyle A}$^{[ 1 ] [ 2 ]} و${\displaystyle A}$يقال إنه شعاعي عند${\displaystyle a_{0}}$إذا لكل${\displaystyle x\in X}$يوجد عدد حقيقي${\displaystyle t_{x}>0}$بحيث يكون لكل${\displaystyle t\in [0,t_{x}],}$${\displaystyle a_{0}+tx\in A.}$ ويمكن كتابة هذا الشرط الأخير أيضًا على النحو التالي:${\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x\subseteq A}$حيث المجموعة $${\displaystyle a_{0}+[0,t_{x}]x~:=~\left\{a_{0}+tx:t\in [0,t_{x}]\right\}}$$ هي القطعة المستقيمة (أو الفترة المغلقة) التي تبدأ عند${\displaystyle a_{0}}$وينتهي عند${\displaystyle a_{0}+t_{x}x;}$ هذا الخط المستقيم هو جزء من${\displaystyle a_{0}+[0,\infty )x,}$وهو الشعاع المنبعث من${\displaystyle a_{0}}$في اتجاه${\displaystyle x}$(أي، موازية لترجمة/ترجمة لـ)${\displaystyle [0,\infty )x}$وبالتالي، هندسيًا، نقطة داخلية لمجموعة جزئية${\displaystyle A}$هذه نقطة${\displaystyle a_{0}\in A}$مع خاصية أن يكون في كل اتجاه ممكن (متجه)${\displaystyle x\neq 0,}$${\displaystyle A}$يحتوي على قطعة مستقيمة (غير متدهورة) تبدأ من${\displaystyle a_{0}}$والتوجه في ذلك الاتجاه (أي مجموعة فرعية من الشعاع)${\displaystyle a_{0}+[0,\infty )x}$). الجزء الجبري الداخلي لـ${\displaystyle A}$(بالنسبة إلى${\displaystyle X}$) هي مجموعة جميع هذه النقاط. أي أنها مجموعة جزئية من النقاط الموجودة في مجموعة معينة والتي تُعتبر بالنسبة لها نقاطًا شعاعية لتلك المجموعة. ^{[ 3 ]}

لو${\displaystyle M}$هو فضاء جزئي خطي من${\displaystyle X}$و${\displaystyle A\subseteq X}$ثم يمكن تعميم هذا التعريف على الجزء الجبري الداخلي لـ${\displaystyle A}$بالنسبة إلى${\displaystyle M}$هو: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A:=\left\{a\in X:{\text{ لكل }}m\in M،{\text{ يوجد }}t_{m}>0{\text{ بحيث }}a+\left[0,t_{m}\right]\cdot m\subseteq A\right\}.}$$ أين${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\subseteq A}$دائماً ما يكون متماسكاً وإذا${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A\neq \varnothing }$ثم${\displaystyle M\subseteq \operatorname {aff} (AA),}$أين${\displaystyle \operatorname {aff} (AA)}$هو الهيكل الأفيني لـ${\displaystyle AA}$(وهو ما يساوي${\displaystyle \operatorname {span} (AA)}$).

الإغلاق الجبري

نقطة${\displaystyle x\in X}$يقال إنهيمكن الوصول إليها خطيًا من مجموعة فرعية${\displaystyle A\subseteq X}$إذا كان هناك بعض${\displaystyle a\in A}$بحيث يكون الجزء المستقيم${\displaystyle [a,x):=a+[0,1)(x-a)}$يحتوي على${\displaystyle A.}$^{[ 5 ]} الإغلاقالجبريلـ${\displaystyle A}$بالنسبة إلى${\displaystyle X}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {acl} _{X}A,}$يتكون من (${\displaystyle A}$وجميع النقاط في${\displaystyle X}$التي يمكن الوصول إليها بشكل خطي من${\displaystyle A.}$^{[ 5 ]}

في الحالة الخاصة حيث${\displaystyle M:=X,}$المجموعة${\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A}$يُطلق عليه اسمالبنية الجبرية الداخلية أوجوهر​${\displaystyle A}$ويُرمز إليه بـ${\displaystyle A^{i}}$أو${\displaystyle \operatorname {core} A.}$ رسميًا، إذا${\displaystyle X}$إذا كان فضاءً متجهيًا، فإن باطنه الجبري${\displaystyle A\subseteq X}$هو ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \operatorname {aint} _{X}A:=\operatorname {core} (A):=\left\{a\in A:{\text{ for all }}x\in X,{\text{ there exists some }}t_{x}>0,{\text{ such that for all }}t\in \left[0,t_{x}\right],a+tx\in A\right\}.}$$

نقول إن A مفتوحة جبريًا في X إذا${\displaystyle A=\operatorname {aint} _{X}A}$

لو${\displaystyle A}$إذا كانت المجموعة غير فارغة، فإن هذه المجموعات الفرعية الإضافية مفيدة أيضًا لبيانات العديد من النظريات في التحليل الوظيفي المحدب (مثل نظرية أورسيسكو ):

$${\displaystyle {}^{ic}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ if }}\operatorname {aff} A{\text{ is a closed set,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$$

$${\displaystyle {}^{ib}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ if }}\operatorname {span} (A-a){\text{ is a barrelled linear subspace of }}X{\text{ for any/all }}a\in A{\text{,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$$

لو${\displaystyle X}$هو مساحة فريشيه ،${\displaystyle A}$محدب، و${\displaystyle \operatorname {aff} A}$مغلق في${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle {}^{ic}A={}^{ib}A}$لكن بشكل عام من الممكن أن يكون${\displaystyle {}^{ic}A=\varnothing }$بينما${\displaystyle {}^{ib}A}$ليس فارغًا .

لو${\displaystyle M=\operatorname {aff} (A-A)}$ثم المجموعة${\displaystyle \operatorname {aint} _{M}A}$يُرمز إليه بـ${\displaystyle {}^{i}A:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (A-A)}A}$ويُطلق عليه اسم الجزء الجبري النسبي الداخلي لـ${\displaystyle A.}$^{[ 7 ]} ينبع هذا الاسم من حقيقة أن${\displaystyle a\in A^{i}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$و${\displaystyle a\in {}^{i}A}$(أين${\displaystyle \operatorname {aff} A=X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \operatorname {aff} (A-A)=X}$).

لو${\displaystyle A}$هي مجموعة جزئية من فضاء متجهي طوبولوجي${\displaystyle X}$ثم الجزء الداخلي النسبي لـ${\displaystyle A}$هي المجموعة $${\displaystyle \operatorname {rint} A:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} A}A.}$$ أي أنه الجزء الداخلي الطوبولوجي لـ A في${\displaystyle \operatorname {aff} A,}$وهو أصغر فضاء خطي أفيني من${\displaystyle X}$يحتوي على${\displaystyle A.}$المجموعة التالية مفيدة أيضاً: $${\displaystyle \operatorname {ri} A:={\begin{cases}\operatorname {rint} A&{\text{ if }}\operatorname {aff} A{\text{ is a closed subspace of }}X{\text{,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$$

لو${\displaystyle A}$هي مجموعة جزئية من فضاء متجهي طوبولوجي${\displaystyle X}$ثم الجزء الداخلي شبه النسبي لـ${\displaystyle A}$هي المجموعة $${\displaystyle \operatorname {qri} A:=\left\{a\in A:{\overline {\operatorname {cone} }}(A-a){\text{ is a linear subspace of }}X\right\}.}$$

في فضاء متجهي طوبولوجي محدود الأبعاد من نوع هاوسدورف ،${\displaystyle \operatorname {qri} A={}^{i}A={}^{ic}A={}^{ib}A.}$

• الإغلاق الجبري (التحليل المحدب)
• نقطة التحديد – مفهوم رياضي يتعلق بالمجموعات الجزئية من الفضاءات المتجهة 
• الداخلية (الطوبولوجيا) - أكبر مجموعة جزئية مفتوحة من مجموعة معينة 
• وحدة الترتيب - عنصر من عناصر فضاء متجهي مرتب 
• الداخلية شبه النسبية – تعميم للداخلية الجبرية 
• المجموعة الشعاعية – المجموعة الطوبولوجية 
• الداخلية النسبية – تعميم للداخلية الطوبولوجية 
• نظرية أورسيسكو – تعميم لنظرية الرسم البياني المغلق، والتطبيق المفتوح، والتقييد المنتظم