المساحة الداخلية النسبية

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 26 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يعتبر الجزء الداخلي النسبي لمجموعة ما بمثابة تحسين لمفهوم الجزء الداخلي ، والذي يكون في كثير من الأحيان أكثر فائدة عند التعامل مع المجموعات منخفضة الأبعاد الموضوعة في فضاءات ذات أبعاد أعلى.

بشكل رسمي، الجزء الداخلي النسبي لمجموعةS{\displaystyle S}(يشار إليه)ريلينت⁡(S){\displaystyle \operatorname {relint} (S)}يُعرَّف ) بأنه الجزء الداخلي منه ضمن الغلاف الأفيني لـS.{\displaystyle S.}[ 1 ] بعبارة أخرى، ريلينت⁡(S):={x∈S: يوجد ϵ>0 بحيث بϵ(x)∩تابع⁡(S)⊆S}،{\displaystyle \operatorname {relint} (S):=\{x\in S:{\text{ يوجد }}\epsilon >0{\text{ بحيث }}B_{\epsilon }(x)\cap \operatorname {aff} (S)\subseteq S\},} أينتابع⁡(S){\displaystyle \operatorname {aff} (S)}هو الهيكل الأفيني لـS،{\displaystyle S,}وبϵ(x){\displaystyle B_{\epsilon }(x)}هي كرة نصف قطرهاϵ{\displaystyle \epsilon }مركزهاx{\displaystyle x}يمكن استخدام أي مقياس لبناء الكرة؛ جميع المقاييس تحدد نفس المجموعة باعتبارها الجزء الداخلي النسبي.

تكون المجموعة مفتوحة نسبياً إذا وفقط إذا كانت مساوية لداخلها النسبي. لاحظ أنه عندماتابع⁡(S){\displaystyle \operatorname {aff} (S)}إذا كانت فضاءً فرعياً مغلقاً من فضاء المتجهات الكامل (وهي الحالة دائماً عندما يكون فضاء المتجهات الكامل محدود الأبعاد)، فإن كونها مغلقاً نسبياً يعادل كونها مغلقاً.

لأي مجموعة محدبةج⊆Rن{\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}يتم تعريف الجزء الداخلي النسبي بشكل مكافئ على النحو التالي [ 2 ] [ 3 ]ريلينت⁡(ج):={x∈ج: للجميع y∈ج، يوجد بعض λ>1 بحيث λx+(1-λ)y∈ج}={x∈ج: للجميع y≠x∈ج، يوجد بعض z∈ج بحيث x∈(y،z)}.{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {relint} (C)&:=\{x\in C:{\text{ لكل }}y\in C,{\text{ يوجد }}\lambda >1{\text{ بحيث }}\lambda x+(1-\lambda )y\in C\}\\&=\{x\in C:{\text{ لكل }}y\neq x\in C,{\text{ يوجد }}z\in C{\text{ بحيث }}x\in (y,z)\}.\end{aligned}}} أين x∈(y،z){\displaystyle x\in (y,z)}يعني ذلك أن هناك بعض0<λ<1{\displaystyle 0<\lambda <1}بحيثx=λz+(1-λ)y{\displaystyle x=\lambda z+(1-\lambda )y}.

مقارنة بالداخل

  • يكون باطن النقطة في فضاء محيط أحادي البعد على الأقل فارغًا، لكن باطنها النسبي هو النقطة نفسها.
  • الجزء الداخلي لقطعة مستقيمة في فضاء محيط ثنائي الأبعاد على الأقل يكون فارغًا، لكن الجزء الداخلي النسبي لها هو القطعة المستقيمة بدون نقاط نهايتها.
  • يكون الجزء الداخلي للقرص في فضاء محيط ثلاثي الأبعاد على الأقل فارغًا، لكن الجزء الداخلي النسبي له هو نفس القرص بدون حافته الدائرية.

ملكيات

نظرية — إذاأ⊂Rن{\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}إذا كانت غير فارغة ومحدبة، فإن باطنها النسبيرهـلأنانت(أ){\displaystyle \mathrm {relint} (أ)}هو اتحاد سلسلة متداخلة من المجموعات الفرعية المحدبة المدمجة غير الفارغةك1⊂ك2⊂ك3⊂⋯⊂رهـلأنانت(أ){\displaystyle K_{1}\subset K_{2}\subset K_{3}\subset \cdots \subset \mathrm {relint} (A)}.

دليل

بما أننا نستطيع دائمًا الانتقال إلى المدى الأفيني لـأ{\displaystyle A}، بدون فقدان للدقة، يكون للداخل النسبي بُعدن{\displaystyle n}والآن لنبدأكج≡[-ج،ج]ن∩{x∈عدد صحيح(ك):دأناsت(x،(عدد صحيح(ك))ج)≥1ج}{\displaystyle K_{j}\equiv [-j,j]^{n}\cap \left\{x\in {\text{int}}(K):\mathrm {dist} (x,({\text{int}}(K))^{c})\geq {\frac {1}{j}}\right\}}.

النظرية [ 4 ] — هنا "+" تشير إلى مجموع مينكوفسكي .

  • رهـلأنانت(S1)+رهـلأنانت(S2)⊂رهـلأنانت(S1+S2){\displaystyle \mathrm {relint} (S_{1})+\mathrm {relint} (S_{2})\subset \mathrm {relint} (S_{1}+S_{2})}بالنسبة للمجموعات العامة. تكون متساوية إذا كان كلاهماS1،S2{\displaystyle S_{1},S_{2}}وهي محدبة أيضاً.
  • لوS1،S2{\displaystyle S_{1},S_{2}}إذا كانت المجموعات محدبة ومفتوحة نسبياً، فإنS1+S2{\displaystyle S_{1}+S_{2}}محدب ومفتوح نسبياً.

النظرية [ 5 ] — هناجoنهـ{\displaystyle \mathrm {Cone} }يشير إلى المخروط الموجب . أي،جoنهـ(S)={رx:x∈S،ر>0}{\displaystyle \mathrm {Cone} (S)=\{rx:x\in S,r>0\}}.

  • جoنهـ(رهـلأنانت(S))⊂رهـلأنانت(جoنهـ(S)){\displaystyle \mathrm {Cone} (\mathrm {relint} (S))\subset \mathrm {relint} (\mathrm {Cone} (S))}يتساوى الاثنان إذاS{\displaystyle S}محدب.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ زالينسكو 2002 ، ص 2-3.
  2. ↑ روكافيلر، ر. تيريل (1997) [نُشر لأول مرة عام 1970]. التحليل المحدب . برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون . ص  47. ISBN 978-0-691-01586-6.
  3. ↑ ديمتري بيرتسيكاس (1999). البرمجة غير الخطية ( الطبعة الثانية). بلمونت، ماساتشوستس: أثينا ساينتيفيك. ص 697. ISBN   978-1-886529-14-4.
  4. ↑ روكافيلر، ر. تيريل (1997) [نُشر لأول مرة عام 1970]. التحليل المحدب . برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون . النتيجة 6.6.2. ISBN 978-0-691-01586-6.
  5. ↑ روكافيلر، ر. تيريل (1997) [نُشر لأول مرة عام 1970]. التحليل المحدب . برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون . النظرية 6.9. ISBN 978-0-691-01586-6.

للمزيد من القراءة