نظرية أورسيسكو

الموسوعة الحرة

في الرياضيات، وخاصة في التحليل الوظيفي والتحليل المحدب ، تعتبر نظرية أورسيسكو نظرية تعمم نظرية الرسم البياني المغلق ، ونظرية التطبيق المفتوح ، ومبدأ التقييد المنتظم .

نظرية أورسيسكو

تُستخدم الرموز والمفاهيم التالية، حيثR:X⇉Y{\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}هي دالة متعددة القيم وS{\displaystyle S}هي مجموعة جزئية غير فارغة من فضاء متجهي طوبولوجيX{\displaystyle X}:

  • المدى الأفيني لـS{\displaystyle S}يُرمز إليه بـتابع⁡S{\displaystyle \operatorname {aff} S}ويُرمز إلى الامتداد الخطي بـفترة⁡S.{\displaystyle \operatorname {span} S.}
  • Sأنا:=ليسX⁡S{\displaystyle S^{i}:=\operatorname {aint} _{X}S}يشير إلى الجزء الجبري الداخلي لـS{\displaystyle S}فيX.{\displaystyle X.}
  • أناS:=ليستابع⁡(S-S)⁡S{\displaystyle {}^{i}S:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (SS)}S}يشير إلى البنية الجبرية النسبية الداخلية لـS{\displaystyle S}(أي الجزء الجبري الداخلي لـS{\displaystyle S}فيتابع⁡(S-S){\displaystyle \operatorname {aff} (SS)}).
  • أنابS:=أناS{\displaystyle {}^{ib}S:={}^{i}S}لوفترة⁡(S-s0){\displaystyle \operatorname {span} \left(S-s_{0}\right)}مُعبأ في براميل لبعض/كلs0∈S{\displaystyle s_{0}\in S}بينماأنابS:=∅{\displaystyle {}^{ib}S:=\varnothing }خلاف ذلك.
    • لوS{\displaystyle S}إذا كانت محدبة، فيمكن إثبات أنه لأيx∈X،{\displaystyle x\in X,}x∈أنابS{\displaystyle x\in {}^{ib}S}إذا وفقط إذا كان المخروط الناتج بواسطةS-x{\displaystyle Sx}هو فضاء فرعي خطي برميلي منX{\displaystyle X}أو بصورة مكافئة، إذا وفقط إذا∪ن∈شمالن(S-x){\displaystyle \cup _{n\in \mathbb {N} }n(Sx)}هو فضاء فرعي خطي برميلي منX{\displaystyle X}
  • مجال​R{\displaystyle {\mathcal {R}}}يكوندوم⁡R:={x∈X:R(x)≠∅}.{\displaystyle \operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \varnothing \}.}
  • صورة​R{\displaystyle {\mathcal {R}}}يكونأنا⁡R:=∪x∈XR(x).{\displaystyle \operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x).}لأي مجموعة جزئيةأ⊆X،{\displaystyle A\subseteq X,}R(أ):=∪x∈أR(x).{\displaystyle {\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x).}
  • الرسم البياني لـR{\displaystyle {\mathcal {R}}}يكونغرام⁡R:={(x،y)∈X×Y:y∈R(x)}.{\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {R}}:=\{(x,y)\in X\times Y:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.}
  • R{\displaystyle {\mathcal {R}}}تكون المجموعة مغلقة (أو محدبة ) إذا كان الرسم البياني لـR{\displaystyle {\mathcal {R}}}مغلق (أو محدب) فيX×Y.{\displaystyle X\times Y.}
    • لاحظ أنR{\displaystyle {\mathcal {R}}}تكون محدبة إذا وفقط إذا كان لكلx0،x1∈X{\displaystyle x_{0},x_{1}\in X}وكل شيءر∈[0،1]،{\displaystyle r\in [0,1],}رR(x0)+(1-ر)R(x1)⊆R(رx0+(1-ر)x1).{\displaystyle r{\mathcal {R}}\left(x_{0}\right)+(1-r){\mathcal {R}}\left(x_{1}\right)\subseteq {\mathcal {R}}\left(rx_{0}+(1-r)x_{1}\right).}
  • عكس​R{\displaystyle {\mathcal {R}}}هي دالة متعددة القيمR-1:Y⇉X{\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}:Y\rightrightarrows X}محدد بواسطةR-1(y):={x∈X:y∈R(x)}.{\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(y):=\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.}لأي مجموعة جزئيةب⊆Y،{\displaystyle B\subseteq Y,}R-1(ب):=∪y∈بR-1(y).{\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).}
    • لوو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}إذا كانت دالة، فإن معكوسها هو دالة متعددة القيمو-1:Y⇉X{\displaystyle f^{-1}:Y\rightrightarrows X}تم الحصول عليها من خلال تحديد الهوية المتعارف عليهاو{\displaystyle f}باستخدام الدالة متعددة القيمو:X⇉Y{\displaystyle f:X\rightrightarrows Y}محدد بواسطةx↦{و(x)}.{\displaystyle x\mapsto \{f(x)\}.}
  • عدد صحيحتي⁡S{\displaystyle \operatorname {int} _{T}S}هو الجزء الداخلي الطوبولوجي لـS{\displaystyle S}بالنسبة إلىتي،{\displaystyle T,}أينS⊆تي.{\displaystyle S\subseteq T.}
  • طباعة⁡S:=عدد صحيحتابع⁡S⁡S{\displaystyle \operatorname {rint} S:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} S}S}هو الجزء الداخلي منS{\displaystyle S}بالنسبة إلىتابع⁡S.{\displaystyle \operatorname {aff} S.}

إفادة

النظرية [ 1 ] ( أورسيسكو ) — ليكن X{\displaystyle X}ليكن فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا محدبًا محليًا شبه متري كاملًا وR:X⇉Y{\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}لتكن دالة متعددة الحدود محدبة مغلقة ذات مجال غير فارغ. افترض أنفترة⁡(أنا⁡R-y){\displaystyle \operatorname {span} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}-y)}مساحة مغلقة للبعض/الجميعy∈أنا⁡R.{\displaystyle y\in \operatorname {Im} {\mathcal {R}}.} افترض أنy0∈أنا(أنا⁡R){\displaystyle y_{0}\in {}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}ودعx0∈R-1(y0){\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {R}}^{-1}\left(y_{0}\right)}(لهذا السببy0∈R(x0){\displaystyle y_{0}\in {\mathcal {R}}\left(x_{0}\right)}ثم لكل حييو{\displaystyle U}لx0{\displaystyle x_{0}}فيX،{\displaystyle X,}y0{\displaystyle y_{0}}ينتمي إلى الجزء الداخلي النسبي منR(يو){\displaystyle {\mathcal {R}}(U)}فيتابع⁡(أنا⁡R){\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}(إنه،y0∈عدد صحيحتابع⁡(أنا⁡R)⁡R(يو){\displaystyle y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)}). على وجه الخصوص، إذاأناب(أنا⁡R)≠∅{\displaystyle {}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})\neq \varnothing }ثمأناب(أنا⁡R)=أنا(أنا⁡R)=طباعة⁡(أنا⁡R).{\displaystyle {}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})={}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})=\operatorname {rint} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}).}

النتائج المترتبة

نظرية الرسم البياني المغلق

نظرية الرسم البياني المغلق — ليكنX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}كن مساحات فريشيه وتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}لتكن دالة خطية. إذنتي{\displaystyle T}تكون الدالة متصلة إذا وفقط إذا كان الرسم البياني لـتي{\displaystyle T}مغلق فيX×Y.{\displaystyle X\times Y.}

دليل

بالنسبة للاتجاه غير التافه، افترض أن الرسم البياني لـتي{\displaystyle T}مغلق ويتركR:=تي-1:Y⇉X.{\displaystyle {\mathcal {R}}:=T^{-1}:Y\rightrightarrows X.}من السهل أن نرى ذلكغرام⁡R{\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {R}}}هي مغلقة ومحدبة، وصورتهاX.{\displaystyle X.} منحx∈X،{\displaystyle x\in X,}(تيx،x){\displaystyle (Tx,x)}ينتمي إلىY×X{\displaystyle Y\times X}بحيث يكون لكل حي مفتوحV{\displaystyle V}لتيx{\displaystyle Tx}فيY،{\displaystyle Y,}R(V)=تي-1(V){\displaystyle {\mathcal {R}}(V)=T^{-1}(V)}هو حي منx{\displaystyle x}فيX.{\displaystyle X.} هكذاتي{\displaystyle T}متصل عندx.{\displaystyle x.}QED

مبدأ التقييد المنتظم

مبدأ التقييد المنتظم — ليكنX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}كن مساحات فريشيه وتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}لتكن دالة خطية تقابلية. إذنتي{\displaystyle T}تكون متصلة إذا وفقط إذاتي-1:Y→X{\displaystyle T^{-1}:Y\to X}متصلة. علاوة على ذلك، إذاتي{\displaystyle T}إذا كانت متصلةتي{\displaystyle T}هو تماثل بين فضاءات فريشيه .

دليل

قم بتطبيق نظرية الرسم البياني المغلق علىتي{\displaystyle T}وتي-1.{\displaystyle T^{-1}.} QED

نظرية الخرائط المفتوحة

نظرية التطبيق المفتوح — ليكنX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}كن مساحات فريشيه وتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}لتكن T دالة خطية شاملة متصلة. إذن T دالة مفتوحة .

دليل

بوضوح،تي{\displaystyle T}هي علاقة مغلقة ومحدبة صورتها هيY.{\displaystyle Y.} يتركيو{\displaystyle U}ليكن مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة منX،{\displaystyle X,}يتركy{\displaystyle y}كن فيتي(يو)،{\displaystyle T(U),}ودعx{\displaystyle x}فييو{\displaystyle U}أن يكون على هذا النحوy=تيx.{\displaystyle y=Tx.} يستنتج من نظرية أورسيسكو ما يلي:تي(يو){\displaystyle T(U)}هو حي منy.{\displaystyle y.}QED

نتائج إضافية

تُستخدم الرموز والمفاهيم التالية لهذه النتائج، حيثR:X⇉Y{\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}هي دالة ذات قيم متعددة،S{\displaystyle S}هي مجموعة جزئية غير فارغة من فضاء متجهي طوبولوجيX{\displaystyle X}:

  • متسلسلة محدبة عناصرهاS{\displaystyle S}هي سلسلة من الشكل∑أنا=1∞رأناsأنا{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}}حيث الجميعsأنا∈S{\displaystyle s_{i}\in S}و∑أنا=1∞رأنا=1{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}=1}هي سلسلة من الأعداد غير السالبة. إذا∑أنا=1∞رأناsأنا{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}}إذا تقاربت المتسلسلة، فإنها تسمى متقاربة، أما إذا(sأنا)أنا=1∞{\displaystyle \left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}إذا كانت محدودة، فإن المتسلسلة تسمى محدودة ومحدبة من النوع b .
  • S{\displaystyle S}تكون محدبة بشكل مثالي إذا كانت أي سلسلة متقاربة محدبة من النوع b من عناصرS{\displaystyle S}مجموعها فيS.{\displaystyle S.}
  • S{\displaystyle S}يكون السطح محدبًا بشكل مثالي إذا وُجد فضاء فريشيهY{\displaystyle Y}بحيثS{\displaystyle S}يساوي الإسقاط علىX{\displaystyle X}من مجموعة فرعية محدبة مثالية B منX×Y.{\displaystyle X\times Y.}كل مجموعة محدبة مثالية هي مجموعة محدبة مثالية من الأسفل.

النتيجة — ليكنX{\displaystyle X}كن مساحة قابلة للعد من الدرجة الأولى ودعج{\displaystyle C}أن تكون مجموعة جزئية منX.{\displaystyle X.}ثم:

  1. لوج{\displaystyle C}يكون السطح السفلي محدبًا بشكل مثالي، ثمجأنا=عدد صحيح⁡ج.{\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C.}
  2. لوج{\displaystyle C}إذا كان السطح محدبًا بشكل مثالي، فإنهجأنا=عدد صحيح⁡ج=عدد صحيح⁡(cl⁡ج)=(cl⁡ج)أنا.{\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} C\right)=\left(\operatorname {cl} C\right)^{i}.}

نظرية سيمونز

نظرية سيمونز [ 2 ] — ليكنX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}كن أول من يُحصى معX{\displaystyle X}محدبة محليًا. لنفترض أنR:X⇉Y{\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}هي خريطة متعددة ذات مجال غير فارغ تحقق الشرط (Hw x ) أو نفترض خلاف ذلكX{\displaystyle X}هو مكان فريشيه وهذاR{\displaystyle {\mathcal {R}}}يكون السطح السفلي محدبًا بشكل مثالي . افترض أنفترة⁡(أنا⁡R-y){\displaystyle \operatorname {span} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}-y)}مُعبأ في براميل لبعض/كلy∈أنا⁡R.{\displaystyle y\in \operatorname {Im} {\mathcal {R}}.} افترض أنy0∈أنا(أنا⁡R){\displaystyle y_{0}\in {}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}ودعx0∈R-1(y0).{\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {R}}^{-1}\left(y_{0}\right).} ثم لكل حييو{\displaystyle U}لx0{\displaystyle x_{0}}فيX،{\displaystyle X,}y0{\displaystyle y_{0}}ينتمي إلى الجزء الداخلي النسبي منR(يو){\displaystyle {\mathcal {R}}(U)}فيتابع⁡(أنا⁡R){\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}(أيy0∈عدد صحيحتابع⁡(أنا⁡R)⁡R(يو){\displaystyle y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)}). على وجه الخصوص، إذاأناب(أنا⁡R)≠∅{\displaystyle {}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})\neq \varnothing }ثمأناب(أنا⁡R)=أنا(أنا⁡R)=طباعة⁡(أنا⁡R).{\displaystyle {}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})={}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})=\operatorname {rint} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}).}

نظرية روبنسون-أورسيسكو

التبعات (1)⟹{\displaystyle \implies }(2) في النظرية التالية تُعرف باسم نظرية روبنسون-أورسيسكو. [ 3 ]

نظرية روبنسون-أورسيسكو [ 3 ] — ليكن(X،‖⋅‖){\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|)}و(Y،‖⋅‖){\displaystyle (Y,\|\,\cdot \,\|)}كن مساحات معيارية وR:X⇉Y{\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}ليكن دالة متعددة المجالات ذات مجال غير فارغ. لنفترض أنY{\displaystyle Y}هو فضاء أسطواني ، وهو الرسم البياني لـR{\displaystyle {\mathcal {R}}}يتحقق من الشرط (Hw x ) ، وأن(x0،y0)∈غرام⁡R.{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \operatorname {gr} {\mathcal {R}}.} يتركجX{\displaystyle C_{X}}(على التوالي)جY{\displaystyle C_{Y}}) تشير إلى كرة الوحدة المغلقة فيX{\displaystyle X}(على التوالي)Y{\displaystyle Y}) (لذاجX={x∈X:‖x‖≤1}{\displaystyle C_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}). إذن، ما يلي متكافئ:

  1. y0{\displaystyle y_{0}}ينتمي إلى الجزء الجبري الداخلي لـأنا⁡R.{\displaystyle \operatorname {Im} {\mathcal {R}}.}
  2. y0∈عدد صحيح⁡R(x0+جX).{\displaystyle y_{0}\in \operatorname {int} {\mathcal {R}}\left(x_{0}+C_{X}\right).}
  3. يوجدب>0{\displaystyle B>0}بحيث يكون ذلك لجميع0≤ر≤1،{\displaystyle 0\leq r\leq 1,}y0+برجY⊆R(x0+رجX).{\displaystyle y_{0}+BrC_{Y}\subseteq {\mathcal {R}}\left(x_{0}+rC_{X}\right).}
  4. يوجدأ>0{\displaystyle A>0}وب>0{\displaystyle B>0}بحيث يكون ذلك لجميعx∈x0+أجX{\displaystyle x\in x_{0}+AC_{X}}وكل شيءy∈y0+أجY،{\displaystyle y\in y_{0}+AC_{Y},}د(x،R-1(y))≤ب⋅د(y،R(x)).{\displaystyle d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq B\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).}
  5. يوجدب>0{\displaystyle B>0}بحيث يكون ذلك لجميعx∈X{\displaystyle x\in X}وكل شيءy∈y0+بجY،{\displaystyle y\in y_{0}+BC_{Y},}د(x،R-1(y))≤1+‖x-x0‖ب-‖y-y0‖⋅د(y،R(x)).{\displaystyle d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq {\frac {1+\left\|x-x_{0}\right\|}{B-\left\|y-y_{0}\right\|}}\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).}

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع