قانون القوة لأمبير

في علم المغناطيسية الساكنة ، يصف قانون أمبير قوة التجاذب أو التنافر بين سلكين يحملان تيارًا كهربائيًا . ويكمن الأصل الفيزيائي لهذه القوة في أن كل سلك يولد مجالًا مغناطيسيًا ، وفقًا لقانون بيو-سافار ، ويتعرض السلك الآخر لقوة مغناطيسية نتيجة لذلك، وفقًا لقانون لورنتز .

تم اشتقاق الصيغة الشائعة لقانون أمبير للقوة بواسطة جيمس كلارك ماكسويل عام 1873، وهي إحدى الصيغ العديدة المتوافقة مع التجارب الأصلية لأندريه ماري أمبير وكارل فريدريش جاوس . وقد تم تحديد المركبة السينية للقوة بين تيارين خطيين I و I ' ، كما هو موضح في الرسم التخطيطي المجاور، بواسطة أمبير عام 1825 وجاوس عام 1833 على النحو التالي: ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle dF_{x}=kII'ds'\int ds{\frac {\cos(xds)\cos(rds')-\cos(rx)\cos(dsds')}{r^{2}}}.}$$

^{بعد أمبير، قام} عدد من العلماء، بمن فيهم فيلهلم فيبر ، ورودولف كلاوزيوس ، وماكسويل، وبرنهارد ريمان ، وهيرمان غراسمان ، ^{ووالتر ريتز} ، بتطوير هذا التعبير لإيجاد صيغة أساسية للقوة. ومن خلال التفاضل، يمكن إثبات ما يلي:

$${\displaystyle {\frac {\cos(x\,ds)\cos(r\,ds')}{r^{2}}}=-\cos(rx){\frac {(\cos \varepsilon -3\cos \phi \cos \phi ')}{r^{2}}}.}$$

وكذلك الهوية: $${\displaystyle {\frac {\cos(rx)\cos(ds\,ds')}{r^{2}}}={\frac {\cos(rx)\cos \varepsilon }{r^{2}}}.}$$

باستخدام هذه التعبيرات، يمكن التعبير عن قانون قوة أمبير على النحو التالي: $${\displaystyle dF_{x}=kII'ds'\int ds'\cos(rx){\frac {2\cos \varepsilon -3\cos \phi \cos \phi '}{r^{2}}}.}$$

باستخدام المتطابقات: $${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial s}}=\cos \phi ,{\frac {\partial r}{\partial s'}}=-\cos \phi '.}$$ و $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}={\frac {-\cos \varepsilon +\cos \phi \cos \phi '}{r}}.}$$

يمكن التعبير عن نتائج أمبير بالشكل التالي: $${\displaystyle d^{2}F={\frac {kII'dsds'}{r^{2}}}\left({\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}-2r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}\right).}$$

كما أشار ماكسويل، يمكن إضافة حدود إلى هذا التعبير، وهي مشتقات للدالة Q ( r )، وعند تكاملها، تلغي بعضها بعضًا. وهكذا، قدم ماكسويل "الصيغة الأكثر عمومية المتوافقة مع الحقائق التجريبية" للقوة المؤثرة على ds والناجمة عن فعل ds.': ^{[ 10 ]}$${\displaystyle d^{2}F_{x}=kII'dsds'{\frac {1}{r^{2}}}\left[\left(\left({\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}-2r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}\right)+r{\frac {\partial ^{2}Q}{\partial s\partial s'}}\right)\cos(rx)+{\frac {\partial Q}{\partial s'}}\cos(x\,ds)-{\frac {\partial Q}{\partial s}}\cos(x\,ds')\right].}$$

وفقًا لماكسويل، فإن Q دالة لـ r ، والتي "لا يمكن تحديدها، دون افتراضات من نوع ما، من التجارب التي يشكل فيها التيار الفعال دائرة مغلقة". بافتراض أن الدالة Q ( r ) تأخذ الشكل التالي: $${\displaystyle Q=-{\frac {(1+k)}{2r}}}$$

نحصل على الصيغة العامة للقوة المؤثرة على ds بواسطة ds'  : $${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{2r^{2}}}\left[\left(3-k\right){\hat {\mathbf {r} }}_{1}\left(d\mathbf {s} \,d\mathbf {s} '\right)-3\left(1-k\right){\hat {\mathbf {r} }}_{1}\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} \right)\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} '\right)-\left(1+k\right)d\mathbf {s} \left(\mathbf {\hat {r}} _ {1} d\mathbf {s} '\right)-\left(1+k\right)d\mathbf {s} '\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} \right)\right].}$$

التكامل حول sيؤدي حذف k إلى الحصول على التعبير الأصلي الذي قدمه أمبير وغوس. وبالتالي، فيما يتعلق بتجارب أمبير الأصلية، فإن قيمة k لا أهمية لها. فقد افترض أمبير أن k = -1، بينما افترض غاوس أن k = +1، وكذلك فعل غراسمان وكلاوزيوس، مع العلم أن كلاوزيوس أغفل المكون S. في نظريات الإلكترون غير الأثيرية، افترض ويبر أن k = -1، وافترض ريمان أن k = +1. أما ريتز فقد ترك قيمة k غير محددة في نظريته. إذا افترضنا أن k = -1، نحصل على تعبير أمبير: $${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{r^{3}}}\left[2\mathbf {r} (d\mathbf {s} \,d\mathbf {s'} )-3\mathbf {r} (\mathbf {r} d\mathbf {s} )(\mathbf {r} d\mathbf {s'} )\right]}$$

إذا أخذنا k=+1، فسنحصل على $${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{r^{3}}}\left[\mathbf {r} \left(d\mathbf {s} \,d\mathbf {s'} \right)-d\mathbf {s} \left(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} '\right)-d\mathbf {s} '\left(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} \right)\right]}$$

باستخدام متطابقة المتجهات للجداء الثلاثي، يمكننا التعبير عن هذه النتيجة على النحو التالي: $${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} ={\frac {kII'}{r^{3}}}\left[\left(d\mathbf {s} \times d\mathbf {s'} \times \mathbf {r} \right)+d\mathbf {s} '(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} )\right]}$$

عند دمجها حول dsالحد الثاني يساوي صفرًا، وبالتالي نجد شكل قانون قوة أمبير الذي قدمه ماكسويل: $${\displaystyle \mathbf {F} =kII'\iint {\frac {d\mathbf {s} \times (d\mathbf {s} '\times \mathbf {r} )}{|r|^{3}}}}$$

ابدأ بالصيغة العامة: $${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {I_{1}d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \times \ (I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \times \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{|r|^{2}}},}$$ افترض أن السلك 2 يقع على طول المحور السيني، وأن السلك 1 يقع عند y=D، z=0، موازياً للمحور السيني.${\displaystyle x_{1},x_{2}}$لتكن x الإحداثي السيني للعنصر التفاضلي للسلك 1 والسلك 2 على التوالي. بعبارة أخرى، العنصر التفاضلي للسلك 1 يقع عند${\displaystyle (x_{1},D,0)}$والعنصر التفاضلي للسلك 2 موجود عند${\displaystyle (x_{2},0,0)}$بحسب خصائص التكاملات الخطية،${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{1}=(dx_{1},0,0)}$و${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}=(dx_{2},0,0)}$. أيضًا، $${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{21}={\frac {1}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}}}}(x_{1}-x_{2},D,0)}$$ و$${\displaystyle |r|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}}}}$$ وبالتالي، فإن التكامل هو $${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {(dx_{1},0,0)\ \times \ \left[(dx_{2},0,0)\ \times \ (x_{1}-x_{2},D,0)\right]}{|(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}|^{3/2}}}.}$$ تقييم حاصل الضرب التقاطعي: $${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}dx_{1}dx_{2}{\frac {(0,-D,0)}{|(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}|^{3/2}}}.}$$ بعد ذلك، نقوم بالدمج${\displaystyle x_{2}}$من${\displaystyle -\infty }$ل${\displaystyle +\infty }$: $${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}{\frac {2}{D}}(0,-1,0)\int _{L_{1}}dx_{1}.}$$ إذا كان السلك 1 لانهائيًا أيضًا، فإن التكامل يتباعد، لأن قوة التجاذب الكلية بين سلكين متوازيين لانهائيين تساوي اللانهاية. في الواقع، ما نريد معرفته حقًا هو قوة التجاذب لكل وحدة طول من السلك 1. لذلك، نفترض أن السلك 1 له طول كبير ولكنه محدود.${\displaystyle L_{1}}$إذن، يكون متجه القوة الذي يشعر به السلك 1 هو: $${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}{\frac {2}{D}}(0,-1,0)L_{1}.}$$ كما هو متوقع، تتناسب القوة التي يتعرض لها السلك طرديًا مع طوله. القوة لكل وحدة طول هي: $${\displaystyle {\frac {\mathbf {F} _{12}}{L_{1}}}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{2\pi D}}(0,-1,0).}$$ يكون اتجاه القوة على طول المحور y، مما يمثل سحب السلك 1 باتجاه السلك 2 إذا كانت التيارات متوازية، كما هو متوقع. يتوافق مقدار القوة لكل وحدة طول مع التعبير الخاص بـ${\displaystyle {\frac {F_{m}}{L}}}$كما هو موضح أعلاه.

مرتبة زمنياً:

• اشتقاق أمبير الأصلي عام 1823:
  • أسيس، أندريه كوش توريس؛ شيب، جيه بي إم سي؛ أمبير، أندريه ماري (2015). الديناميكا الكهربائية لأمبير: تحليل معنى وتطور قوة أمبير بين عناصر التيار، بالإضافة إلى ترجمة كاملة لكتابه الرائع: نظرية الظواهر الكهروضوئية، المستنتجة بشكل فريد من التجربة (ملف PDF) . مونتريال: أبييرون. ISBN 978-1-987980-03-5.
• اشتقاق ماكسويل عام 1873:
  • رسالة في الكهرباء والمغناطيسية المجلد 2، الجزء 4، الفصل 2 (§§502–527)
• اشتقاق بيير دوهيم عام 1892:
  • دوهيم، بيير موريس ماري (9 سبتمبر 2018). قانون قوة أمبير: مقدمة حديثة . ترجمة آلان أفيرسا. doi : 10.13140/RG.2.2.31100.03206/1 . تاريخ الاسترجاع: 3 يوليو 2019 .( EPUB )
    • ترجمة: Leçons sur l'électricité et le magnétisme vol. 3، ملحق الكتاب 14، ص 309-332 (بالفرنسية)
• اشتقاق ألفريد أوراهيلي عام 1938:
  • النظرية الكهرومغناطيسية: دراسة نقدية للأساسيات ، المجلد 1، الصفحات 102-104 (انظر الصفحات التالية أيضًا)

• أمبير
• الثابت المغناطيسي
• قوة لورنتز
• قانون أمبير الدائري
• مساحة حرة

• يتضمن قانون أمبير للقوة رسمًا بيانيًا متحركًا لمتجهات القوة.