التكامل الخطي

في الرياضيات ، التكامل الخطي هو تكامل تُحسب فيه الدالة المراد تكاملها على طول منحنى . ^{[ 1 ]} تُستخدم أيضًا مصطلحات التكامل المساري ، والتكامل المنحني ، والتكامل المنحني ؛ ويُستخدم مصطلح التكامل الكفافي أيضًا، على الرغم من أنه يُستخدم عادةً للتكاملات الخطية في المستوى المركب .

قد تكون الدالة المراد تكاملها حقلاً قياسياً أو حقلاً متجهياً . قيمة التكامل الخطي هي مجموع قيم الحقل عند جميع النقاط على المنحنى، مُرجّحة بدالة قياسية على المنحنى (عادةً طول القوس ، أو، بالنسبة للحقل المتجهي، حاصل الضرب القياسي للحقل المتجهي مع متجه تفاضلي على المنحنى). هذا الترجيح هو ما يُميّز التكامل الخطي عن التكاملات الأبسط المُعرّفة على فترات . العديد من الصيغ البسيطة في الفيزياء، مثل تعريف الشغل ، تُشير إلى التكامل الخطي.${\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} }$، لها نظائر متصلة طبيعية من حيث التكاملات الخطية، في هذه الحالة${\textstyle W=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {s} )\cdot d\mathbf {s} }$، والتي تحسب الشغل المبذول على جسم يتحرك عبر مجال كهربائي أو مجال جاذبية F على طول مسار${\displaystyle L}$.

بصورة نوعية، يمكن اعتبار التكامل الخطي في حساب المتجهات مقياسًا للتأثير الكلي لحقل موتر معين على طول منحنى معين. على سبيل المثال، يمكن تفسير التكامل الخطي على حقل قياسي (موتر من الرتبة صفر) على أنه المساحة تحت الحقل التي يقطعها منحنى معين. ويمكن تصور ذلك على أنه السطح الناتج عن الدالة z = f ( x , y ) والمنحنى C في المستوى xy . يمثل التكامل الخطي للدالة f مساحة "الستار" المتكونة عند قطع نقاط السطح الواقعة مباشرة فوق المنحنى C.

التكامل الخطي لحقل قياسي

تعريف

بالنسبة لبعض الحقول العددية${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$أين${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$التكامل الخطي على طول منحنى أملس جزئيًا${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset U}$يُعرَّف بأنه $${\displaystyle \int _{\mathcal {C}}f\,ds=\int _{a}^{b}f\left(\mathbf {r} (t)\right)\left|\mathbf {r} '(t)\right|\,dt,}$$ أين${\displaystyle \mathbf {r} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}}}$هي تمثيل ثنائي تقابلي اعتباطي للمنحنى${\displaystyle {\mathcal {C}}}$بحيث تُعطي r ( a ) و r ( b ) نقطتي النهاية لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$و a < b . هنا، وفي بقية المقال، تشير أشرطة القيمة المطلقة إلى المعيار القياسي (الإقليدي) للمتجه.

تُسمى الدالة f بالدالة التكاملية، والمنحنى${\displaystyle {\mathcal {C}}}$هو مجال التكامل، ويمكن تفسير الرمز ds بشكل بديهي على أنه طول قوس أساسي للمنحنى${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(أي، طول تفاضلي لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$التكاملات الخطية للحقول العددية على منحنى${\displaystyle {\mathcal {C}}}$لا تعتمد على المعلمة المختارة r لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$[ ^{2 ]​}

هندسيًا، عندما يُعرَّف الحقل القياسي f على مستوى ( n = 2) ، فإن رسمه البياني هو سطح z = f ( x , y ) في الفضاء، ويعطي التكامل الخطي مساحة المقطع العرضي (المُوَجَّهة) المحصورة بالمنحنى.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ورسم بياني للدالة f . شاهد الرسوم المتحركة على اليمين.

الاشتقاق

بالنسبة للتكامل الخطي على حقل قياسي، يمكن بناء التكامل من مجموع ريمان باستخدام التعريفات المذكورة أعلاه لـ f و C ومعامل r لـ C. يتم ذلك بتقسيم الفترة [ a , b ] إلى n فترات فرعية [ t _{_{i -1}} , t _{_i} ] بطول Δt = ( b - a )/ n ، حيث يمثل r ( t _{_i} ) نقطة ما، لنسميها نقطة عينة، على المنحنى C. يمكننا استخدام مجموعة نقاط العينة { r ( t_{_i} ): 1 ≤ i ≤ n } لتقريب المنحنى C كمسار مضلع عن طريق إدخال قطعة خط مستقيم بين كل نقطة من نقاط العينة r ( t _{_{i -1}} ) و r ( t_{_i} ) . (يُطلق على تقريب منحنى إلى مسار مضلع اسم تقويم المنحنى، انظر هنا لمزيد من التفاصيل). ثم نُشير إلى المسافة بين نقطتي عينة متجاورتين على المنحنى بالرمز _Δsi . يمكن ربط حاصل ضرب _f ( r ( ti ) ) و Δsi بالمساحة الموقعة لمستطيل ارتفاعه f ( r ( ti ) ₎ وعرضه Δsi . بأخذ نهاية مجموع الحدود عندما يقترب طول التقسيمات من الصفر _، نحصل _على$${\displaystyle I=\lim _{\Delta s_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\,\Delta s_{i}.}$$

بحسب نظرية القيمة المتوسطة ، فإن المسافة بين نقطتين متتاليتين على المنحنى هي $${\displaystyle \Delta s_{i}=\left|\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\right|\approx \left|\mathbf {r} '(t_{i})\Delta t\right|}$$

وبتعويض هذا في مجموع ريمان أعلاه نحصل على $${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\left|\mathbf {r} '(t_{i})\right|\Delta t}$$ وهو مجموع ريمان للتكامل $${\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))\left|\mathbf {r} '(t)\right|dt.}$$

التكامل الخطي لحقل متجهي

تعريف

بالنسبة لحقل متجه F : U ⊆ R ⁿ → R ⁿ ، يُعرَّف التكامل الخطي على طول منحنى أملس جزئيًا C ⊂ U ، في اتجاه r ، على النحو التالي:$${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt}$$ حيث · هو حاصل الضرب النقطي ، و r : [ a , b ] → C هو تمثيل معياري منتظم (أي:${\displaystyle ||\mathbf {r} '(t)||\neq 0\;\;\forall t\in [a,b]}$) من المنحنى C بحيث تعطي r ( a ) و r ( b ) نقاط نهاية C .

وبالتالي فإن التكامل الخطي لحقل قياسي هو تكامل خطي لحقل متجه، حيث تكون المتجهات دائماً مماسية لخط التكامل.

تكون التكاملات الخطية لحقول المتجهات مستقلة عن قيمة المعلمة r المطلقة ، لكنها تعتمد على اتجاهها . تحديدًا، يؤدي انعكاس اتجاه المعلمة إلى تغيير إشارة التكامل الخطي. ^{[ 2 ]}

من وجهة نظر الهندسة التفاضلية ، فإن التكامل الخطي لحقل متجه على طول منحنى هو تكامل الشكل 1 المقابل تحت التشاكل الموسيقي (الذي يأخذ حقل المتجه إلى حقل المتجه المرافق المقابل )، على المنحنى الذي يعتبر متعدد الشعب 1 المغمور .

الاشتقاق

يمكن اشتقاق التكامل الخطي لحقل متجهي بطريقة مشابهة جدًا لحالة الحقل القياسي، ولكن هذه المرة مع تضمين الضرب القياسي. باستخدام التعريفات السابقة لـ F و C ومعاملاتها r ( t ) ، نبني التكامل من مجموع ريمان . نقسم الفترة [ a , b ] (وهي نطاق قيم المعامل t ) إلى n فترات طول كل منها Δt = ( b - a ) / n . إذا اعتبرنا tᵢ النقطة _i على الفترة [ a , b ] ، فإن r ( tᵢ ₎ يعطينا موضع النقطة i على المنحنى. مع ذلك، بدلًا من حساب المسافات بين النقاط المتتالية، نحتاج إلى حساب متجهات إزاحتها، Δri . كما _في السابق، بتقييم F عند جميع النقاط على المنحنى وأخذ الضرب القياسي مع كل متجه إزاحة، نحصل على المساهمة المتناهية الصغر لكل تقسيم لـ F على C. بجعل حجم الأقسام يساوي صفرًا، نحصل على مجموع $${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}}$$

بحسب نظرية القيمة المتوسطة ، نرى أن متجه الإزاحة بين النقاط المتجاورة على المنحنى هو $${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\approx \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t.}$$

وبتعويض هذا في مجموع ريمان أعلاه نحصل على $${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t,}$$

وهو مجموع ريمان للتكامل المحدد أعلاه.

بالنسبة لحقل متجهي${\displaystyle \mathbf {F} \colon U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$، F ( x , y ) = ( P ( x , y ), Q ( x , y )) ، التكامل الخطي عبر منحنى C ⊂ U ، والذي يسمى أيضًا تكامل التدفق ، يتم تعريفه من حيث معلمات سلسة جزئيًا r : [ a , b ] → C ، r ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) ، كما يلي: $${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }=\int _{a}^{b}{\begin{bmatrix}P{\big (}x(t),y(t){\big )}\\Q{\big (}x(t),y(t){\big )}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}y'(t)\\-x'(t)\end{bmatrix}}~dt=\int _{a}^{b}\left(-Q~dx+P~dy\right).}$$

هنا ⋅ هو حاصل الضرب النقطي، و${\displaystyle \mathbf {r} '(t)^{\perp }=(y'(t),-x'(t))}$هو الاتجاه العمودي باتجاه عقارب الساعة لمتجه السرعة${\displaystyle \mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t))}$.

يتم حساب التدفق بمعنى موجه: المنحنى C له اتجاه أمامي محدد من r ( a ) إلى r ( b ) ، ويتم اعتبار التدفق موجبًا عندما يكون F ( r ( t )) على جانب عقارب الساعة من متجه السرعة الأمامية r' ( t ) .

في التحليل المركب ، يُعرَّف التكامل الخطي بدلالة ضرب وجمع الأعداد المركبة. لنفترض أن U مجموعة جزئية مفتوحة من المستوى المركب C ، وأن f : U → C دالة، و ${\displaystyle L\subset U}$هو منحنى ذو طول محدود، مُعطى بالمعامل γ : [ a , b ] → L ، حيث γ ( t ) = x ( t ) + iy ( t ) . التكامل الخطي $${\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz}$$ يمكن تعريفها بتقسيم الفترة [ a , b ] إلى a = t ₀ < t ₁ < ... < t _n = b والنظر في التعبير $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t_{k}))\,[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})]=\sum _{k=1}^{n}f(\gamma _{k})\,\Delta \gamma _{k}.}$$

إذن، يكون التكامل هو نهاية مجموع ريمان هذا عندما تقترب أطوال فترات التقسيم الفرعي من الصفر.

إذا كانت المعلمة γ قابلة للتفاضل بشكل مستمر ، فيمكن حساب التكامل الخطي كتكامل لدالة لمتغير حقيقي: $${\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt.}$$

عندما يكون L منحنى مغلقًا (تتطابق النقاط الابتدائية والنهائية)، يُشار غالبًا إلى التكامل الخطي بـ${\textstyle \oint _{L}f(z)\,dz,}$ويشار إليه أحيانًا في الهندسة باسم التكامل الدوري .

لإقامة تشابه كامل مع التكامل الخطي لحقل متجهي، يجب الرجوع إلى تعريف قابلية التفاضل في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات. يُعرَّف التدرج من خلال نظرية تمثيل ريز ، وتتضمن الضربات الداخلية في التحليل العقدي الاقتران (تدرج الدالة).${\displaystyle \gamma }$في بعض الأحيان${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$سيكون${\displaystyle {\overline {\gamma '(z)}}}$، وسيُنسب الضرب الداخلي المعقد ضعف المرافق إلى${\displaystyle \gamma '}$في تعريف التكامل الخطي في حقل المتجهات).

التكامل الخطي بالنسبة للتفاضل المركب المرافق${\displaystyle {\overline {dz}}}$^{[ 4 ]} يُعرَّف بأنه $${\displaystyle \int _{L}f(z){\overline {dz}}:={\overline {\int _{L}{\overline {f(z)}}\,dz}}=\int _{a}^{b}f(\gamma (t)){\overline {\gamma '(t)}}\,dt.}$$

يمكن حساب التكاملات الخطية للدوال المركبة باستخدام عدة طرق. وأكثرها مباشرة هو تقسيم التكامل إلى جزأين حقيقي وتخيلي، مما يُختزل المسألة إلى حساب تكاملين خطيين حقيقيين. يمكن استخدام نظرية كوشي للتكامل لمساواة التكامل الخطي لدالة تحليلية بالتكامل نفسه على منحنى أكثر ملاءمة. كما تُشير هذه النظرية إلى أنه على منحنى مغلق يُحيط بمنطقة تكون فيها الدالة f ( z ) تحليلية وخالية من النقاط الشاذة ، تكون قيمة التكامل صفرًا، أو في حال احتواء المنطقة على نقاط شاذة، فإن نظرية البواقي تُحسب التكامل بدلالة هذه النقاط. وهذا يُشير أيضًا إلى استقلال التكامل الخطي المركب للدوال التحليلية عن المسار.

لا يشير مصطلح التكامل المساري في ميكانيكا الكم إلى التكاملات المسارية بالمعنى المقصود هنا، بل إلى التكاملات الوظيفية ، أي التكاملات على فضاء المسارات، لدالة تمثل مسارًا محتملاً. مع ذلك، فإن التكاملات المسارية بالمعنى المقصود في هذه المقالة مهمة في ميكانيكا الكم؛ فعلى سبيل المثال، يُستخدم التكامل الخطي المعقد غالبًا في حساب سعات الاحتمال في نظرية التشتت الكمي.

• "التكامل على المسارات" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• وحدات أكاديمية خان :
  • "مقدمة في التكامل الخطي"
  • "مثال على التكامل الخطي 1"
  • "مثال على التكامل الخطي 2 (الجزء 1)"
  • "مثال على التكامل الخطي 2 (الجزء 2)"
• التكامل المساري في PlanetMath .
• التكامل الخطي لحقل متجهي – تفاعلي