نظرية أندرسون

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية أندرسون نتيجةً في التحليل الحقيقي والهندسة ، تنصّ على أن تكامل دالة قابلة للتكامل، متناظرة، أحادية النمط، وغير سالبة f على جسم محدب K ذي n بُعد لا يتناقص إذا نُقل K إلى الداخل باتجاه نقطة الأصل. هذه عبارة بديهية، إذ يُمكن اعتبار منحنى f بمثابة تل ذي قمة واحدة فوق نقطة الأصل؛ مع ذلك، بالنسبة لـ n ≥ 2، لا يكون البرهان واضحًا تمامًا، إذ قد توجد نقاط x على الجسم K تكون فيها قيمة f ( x ) أكبر من قيمتها عند الإزاحة المقابلة لـ x .

كما أن لنظرية أندرسون، التي سميت على اسم ثيودور ويلبر أندرسون ، تطبيقًا مثيرًا للاهتمام في نظرية الاحتمالات .

ليكن K جسمًا محدبًا في الفضاء الإقليدي ذي البعد n ، Rⁿ ^، وهو متناظر بالنسبة للانعكاس حول نقطة الأصل، أي K = −K . ولتكن f : Rⁿ → R دالة غير سالبة ، متناظرة، وقابلة للتكامل عالميًا؛ ^أي    

• f ( x ) ≥ 0 لجميع x  ∈ R ⁿ ؛ 
• f ( x ) = f ( − x ) لجميع x  ∈ R ⁿ ؛ 
• ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {d} x<+\infty .}$

لنفترض أيضًا أن مجموعات المستوى الفائق L ( f , t ) للدالة f ، المعرفة بواسطة 

${\displaystyle L(f,t)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}|f(x)\geq t\},}$

هي مجموعات جزئية محدبة من R ⁿ لكل t  ≥  0. (يُشار إلى هذه الخاصية أحيانًا بأنها أحادية النمط ). ثم، لأي 0  ≤ c ≤ 1 و y ∈ R ⁿ ،     

${\displaystyle \int _{K}f(x+cy)\,\mathrm {d} x\geq \int _{K}f(x+y)\,\mathrm {d} x.}$

بفرض وجود فضاء احتمالي (Ω, Σ, Pr)، لنفترض أن X  :  Ω  → Rⁿ متغير عشوائي ذو قيم في ^Rⁿ ودالة كثافة احتمالية f : Rⁿ → [0, +∞) ^، وأن Y : Ω → Rⁿ متغير عشوائي مستقل ^. دوال كثافة الاحتمال للعديد من التوزيعات الاحتمالية المعروفة تكون مقعرة من الدرجة p لبعض ^قيم p ، وبالتالي أحادية النمط. إذا كانت متناظرة أيضًا (مثل توزيع لابلاس والتوزيع الطبيعي )، فإن نظرية أندرسون تنطبق، وفي هذه الحالة          

${\displaystyle \Pr(X\in K)\geq \Pr(X+Y\in K)}$

لأي جسم محدب متناظر حول الأصل K  ⊆ R ⁿ . 

• غاردنر، ريتشارد ج. (2002). "متباينة برون-مينكوفسكي" . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات (سلسلة جديدة) . 39 (3): 355-405 (إلكتروني). doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .