نظرية أبولونيوس

في الهندسة ، تنص نظرية أبولونيوس على أن طول متوسط ​​المثلث يساوي ضعف مربع نصف الضلع الثالث ، بالإضافة إلى ضعف مربع المتوسط ​​الذي ينصف الضلع الثالث.

وُجدت هذه النظرية في القضية السابعة، الفقرة 122، من مجموعة بابوس الإسكندري ( حوالي 340 ميلادي ). وربما كانت موجودة في رسالة أبولونيوس البرغي المفقودة " المواضع المستوية " (حوالي 200 قبل الميلاد)، وقد أُدرجت في إعادة بناء روبرت سيمسون لهذا العمل عام 1749. ^{[ 1 ]}

في أي مثلث${\displaystyle ABC,}$لو${\displaystyle AD}$هو الوسيط (${\displaystyle |BD|=|CD|}$)، ثم $${\displaystyle |AB|^{2}+|AC|^{2}=2(|BD|^{2}+|AD|^{2}).}$$ إنها حالة خاصة من نظرية ستيوارت . بالنسبة للمثلث متساوي الساقين مع${\displaystyle |AB|=|AC|,}$الوسيط${\displaystyle AD}$عمودي على${\displaystyle BC}$وتختزل النظرية إلى نظرية فيثاغورس للمثلث${\displaystyle ADB}$(أو مثلث)${\displaystyle ADC}$). انطلاقاً من حقيقة أن قطري متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر، فإن النظرية تعادل قانون متوازي الأضلاع .

يمكن إثبات النظرية كحالة خاصة من نظرية ستيوارت ، أو باستخدام المتجهات (انظر قانون متوازي الأضلاع ). فيما يلي برهان مستقل باستخدام قانون جيب التمام. ^{[ 2 ]}

لنفترض أن للمثلث أضلاعًا${\displaystyle a,b,c}$مع وسيط${\displaystyle d}$منجذب إلى الجانب${\displaystyle a.}$يترك${\displaystyle m}$ليكن طول أجزاء${\displaystyle a}$تتكون من الوسيط، لذلك${\displaystyle m}$نصف${\displaystyle a.}$لنفترض أن الزوايا المتكونة بين${\displaystyle a}$و${\displaystyle d}$يكون${\displaystyle \theta }$و${\displaystyle \theta ^{\prime },}$أين${\displaystyle \theta }$يشمل${\displaystyle b}$و${\displaystyle \theta ^{\prime }}$يشمل${\displaystyle c.}$ثم${\displaystyle \theta ^{\prime }}$هو مكمل لـ${\displaystyle \theta }$و${\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta .}$قانون جيب التمام لـ${\displaystyle \theta }$و${\displaystyle \theta ^{\prime }}$تنص على أن $${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta .\,\end{aligned}}}$$

اجمع المعادلتين الأولى والثالثة للحصول على $${\displaystyle b^{2}+c^{2}=2(m^{2}+d^{2})}$$ حسب الحاجة.

• صيغ تتضمن أطوال المتوسطات – قطعة مستقيمة تصل رأس المثلث بمنتصف الضلع المقابل 

• ألين، فرانك ب. (1950). "التدريس من أجل التعميم في الهندسة". معلم الرياضيات . 43 : 245-251 . JSTOR 27953576 . 
• بونت، لوكاس ن.هـ؛ جونز، فيليب س.؛ بيدينت، جاك د. (1976). الجذور التاريخية للرياضيات الابتدائية . إنجلوود كليفس، نيو جيرسي: برنتيس هول. ص 198-199 . ISBN  0133890155.طبعة دوفر المعاد طباعتها، 1988.
• دلاب، فلاستيميل؛ ويليامز، كينيث س. (2019). "جوانب متعددة لنظرية فيثاغورس". مجلة الرياضيات الجامعية . 50 (3): 162-172 . JSTOR 48661800 . 
• جودفري، تشارلز؛ سيدونز، آرثر دبليو. (1908). الهندسة الحديثة . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 20-21 . 
• حجة، موفق؛ كراسوبولوس، بانايوتيس ت.؛ مارتيني، هورست (2022). "نظرية المثلث المتوسط ​​كمدخل لبعض المسائل في الهندسة متعددة الأبعاد". تقارير الفصل الدراسي الرياضي . 69 : 19-40 . doi : 10.1007/s00591-021-00308-5 .
• لوز، سي. بيتر (2013). "برهان بدون كلمات: طول متوسط ​​المثلث باستخدام متوازي الأضلاع". مجلة الرياضيات . 86 (2): 146. doi : 10.4169/math.mag.86.2.146 .
• لوبيز، أندريه فون بوريس (2024). "نظرية أبولونيوس عبر صيغة هيرون". مجلة الرياضيات . 97 (3): 272-273 . doi : 10.1080/0025570X.2024.2336425 .
• نيلسن، روجر ب. (2024). "نظرية أبولونيوس عبر نظرية بطليموس". مجلة الرياضيات . doi : 10.1080/0025570X.2024.2385255 .
• روز، مايك (2007). "27. تأملات في نظرية أبولونيوس". ملاحظات مرجعية. الرياضيات في المدرسة . 36 (5): 24-25 . JSTOR 30216074 . 
• ستوكس، جي دي سي (1929). "نظرية أبولونيوس بالتشريح". ملاحظات رياضية . 24 : 18. doi : 10.1017/S1757748900001973 .
• سوروفسكي، ديفيد ب. (2010) [2007]. الرياضيات المتقدمة للمرحلة الثانوية (مذكرات محاضرات) (الطبعة التاسعة  ). المدرسة الأمريكية في شنغهاي. ص  27.