عدم المساواة عند أريستارخوس

باستخدام هذه المتباينات، يمكننا أولاً إثبات أن

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )}{\sin(\beta )}}<{\frac {\alpha }{\beta }}.}$

نلاحظ أولاً أن المتباينة مكافئة لـ

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )}{\alpha }}<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}}$

والتي يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}.}$

نريد الآن أن نوضح ذلك

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}<\cos(\beta )<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}.}$

المتباينة الثانية هي ببساطة${\displaystyle \beta <\tan \beta }$العبارة الأولى صحيحة لأن

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}={\frac {2\cdot \sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}{\alpha -\beta }}<{\frac {2\cdot \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cdot \cos(\beta )}{\alpha -\beta }}=\cos(\beta ).}$

والآن نريد أن نوضح المتباينة الثانية، أي أن:

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan(\alpha )}{\tan(\beta )}}.}$

نلاحظ أولاً أنه بسبب المتباينات الأولية لدينا ما يلي:

${\displaystyle \beta <\tan(\beta )={\frac {\sin(\beta )}{\cos(\beta )}}<{\frac {\sin(\beta )}{\cos(\alpha )}}}$

وبالتالي، باستخدام ذلك${\displaystyle 0<\alpha -\beta <\alpha }$في المعادلة السابقة (استبدال${\displaystyle \beta }$بواسطة${\displaystyle \alpha -\beta <\alpha }$) نحصل على:

${\displaystyle {\alpha -\beta }<{\frac {\sin(\alpha -\beta )}{\cos(\alpha )}}=\tan(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta ).}$

نستنتج أن

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\alpha -\beta }{\beta }}+1<{\frac {\tan(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )}{\sin(\beta )}}+1={\frac {\tan(\alpha )}{\tan(\beta )}}.}$