الرياضيات اليونانية القديمة

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 6 صور
الموسوعة الحرة

رسم توضيحي لبرهان إقليدس لنظرية فيثاغورس

يشير مصطلح الرياضيات اليونانية القديمة إلى تاريخ الأفكار والنصوص الرياضية في اليونان القديمة خلال العصر الكلاسيكي والمتأخر ، وتحديدًا من القرن الخامس قبل الميلاد إلى القرن السادس الميلادي. [ 1 ] [ 2 ] عاش علماء الرياضيات اليونانيون في مدن منتشرة على طول سواحل البحر الأبيض المتوسط ​​القديم ، من الأناضول إلى إيطاليا وشمال إفريقيا ، ولكن جمعتهم الثقافة اليونانية واللغة اليونانية . [ 3 ] يُعدّ تطور الرياضيات كعلم نظري واستخدام الاستدلال الاستنتاجي في البراهين من الفروق المهمة بين الرياضيات اليونانية ورياضيات الحضارات السابقة. [ 4 ] [ 5 ]

إن تاريخ الرياضيات اليونانية المبكر غامض، وتُعتبر الروايات التقليدية للنظريات الرياضية التي وُجدت قبل القرن الخامس  قبل الميلاد ابتكارات لاحقة. من المقبول عمومًا الآن أن رسائل الرياضيات الاستنتاجية المكتوبة باليونانية بدأت بالانتشار حوالي منتصف القرن الخامس قبل الميلاد، لكن أقدم عمل كامل في هذا الموضوع هو كتاب " الأصول " لإقليدس ، الذي كُتب خلال العصر الهلنستي . تنتمي أعمال علماء الرياضيات المشهورين أرخميدس وأبولونيوس ، بالإضافة إلى عالم الفلك هيبارخوس ، إلى هذه الفترة أيضًا. في العصر الروماني الإمبراطوري ، استخدم بطليموس علم المثلثات لتحديد مواقع النجوم في السماء، بينما أحيا نيكوماخوس وفلاسفة قدماء آخرون نظرية الأعداد القديمة وعلم التوافقيات. خلال أواخر العصور القديمة ، كتب بابوس الإسكندري كتابه "المجموعة" ، ملخصًا أعمال أسلافه، بينما تناول كتاب " الحساب" لديوفانتوس حل المسائل الحسابية باستخدام الجبر ما قبل الحديث. قام مؤلفون لاحقون مثل ثيون الإسكندري وابنته هيباتيا وإيوتوكيوس الأسكالوني بكتابة تعليقات على المؤلفين الذين شكلوا المدونة الرياضية اليونانية القديمة.

The works of ancient Greek mathematicians were copied in the Byzantine period and translated into Arabic and Latin, where they exerted influence on mathematics in the Islamic world and in Medieval Europe. During the Renaissance, the texts of Euclid, Archimedes, Apollonius, and Pappus in particular went on to influence the development of early modern mathematics. Some problems in Ancient Greek mathematics were solved only in the modern era by mathematicians such as Carl Gauss, and attempts to prove or disprove Euclid's parallel line postulate spurred the development of non-Euclidean geometry. Ancient Greek mathematics was not limited to theoretical works but was also used in other activities, such as business transactions and land mensuration, as evidenced by extant texts where computational procedures and practical considerations took more of a central role.[6][7]

Etymology

The Greek word mathēmatikē (μαθηματική) derives from máthēma (μάθημα 'lesson'), and ultimately from the verb manthánō (μανθάνω 'I learn'). Strictly speaking, a máthēma could be any branch of learning, or anything learnt; however, since antiquity certain mathēmatá were granted special status: arithmetic, geometry, astronomy, and harmonics.[note 1] These four mathēmatá, which appear listed together around the time of Archytas and Plato, would later become the medieval quadrivium.[8][9]Geminus of Rhodes (1st century BC) later divided the mathematics of the quadrivium in two parts: one dealing with intelligibles (arithmetic and geometry), and the other with perceptibles (astronomy and harmonics). To the latter, he added mechanics, optics, geodesy, and logistics, which are now part of physics or applied mathematics.[10]

Origins

Pythagoras with a tablet of ratios, detail from The School of Athens by Raphael (1509). Modern historians question whether Pythagoras made any mathematical discoveries such as the Pythagorean theorem.

The origins of Greek mathematics are not well understood.[11][12] The earliest advanced civilizations in Greece were the Minoan and later Mycenaean civilizations, both of which flourished in the second half of the Bronze Age. While these civilizations possessed writing, and many Linear B tablets and similar objects have been deciphered, no mathematical writings have yet been discovered.[13] The mathematics from the preceding Babylonian and Egyptian civilizations were primarily focused on land mensuration and accounting. Although some problems were contrived to be challenging beyond any obvious practical application, there are no signs of explicit theoretical concerns as found in Ancient Greek mathematics. It is generally thought that Babylonian and Egyptian mathematics had an influence on the younger Greek culture, possibly through an oral tradition of mathematical problems over the course of centuries, though no direct evidence of transmission is available.[6][14]

When Greek writing re-emerged in the 7th century BC, following the Late Bronze Age collapse, it was based on an entirely new system derived from the Phoenician alphabet, with Egyptian papyrus being the preferred medium.[15] Because the earliest known mathematical treatises in Greek, starting with Hippocrates of Chios in the 5th century BC, have been lost, the early history of Greek mathematics must be reconstructed from information passed down through later authors, beginning in the mid-4th century BC.[16][17] Much of the knowledge about early Greek mathematics is thanks to references by Plato, Aristotle, and from quotations of Eudemus of Rhodes' histories of mathematics by later authors. These references provide near-contemporary accounts for many mathematicians active in the 4th century BC.[18][19] Euclid's Elements is also believed to contain many theorems that are attributed to mathematicians in the preceding centuries.[20]

Archaic period

Ancient Greek tradition attributes the origin of Greek mathematics to either Thales of Miletus (7th century BC), one of the legendary Seven Sages of Greece, or to Pythagoras of Samos (6th century BC), both of whom supposedly visited Egypt and Babylon and learned mathematics there.[18] However, modern scholarship tends to be skeptical of such claims as neither Thales or Pythagoras left any writings that were available in the Classical period. Additionally, widespread literacy and the scribal culture that would have supported the transmission of mathematical treatises did not emerge fully until the 5th century; the oral literature of their time was primarily focused on public speeches and recitations of poetry.[21] The standard view among historians is that the discoveries Thales and Pythagoras are credited with, such as Thales' Theorem, the Pythagorean theorem, and the Platonic solids, are the product of attributions by much later authors.[22]

Classical Greece

One of the earliest documented results in Ancient Greek mathematics is the Lune of Hippocrates, from the late 5th century BC. The shaded portion in the upper left is the same area as the shaded part of the triangle

The earliest traces of Greek mathematical treatises appear in the second half of the fifth century BC.[16] According to Eudemus,[23]Hippocrates of Chios was the first to write a book of Elements in the tradition later continued by Euclid.[24] Fragments from another treatise written by Hippocrates on lunes also survives, possibly as an attempt to square the circle.[25] Eudemus' states that Hippocrates studied with an astronomer named Oenopides of Chios. Other mathematicians associated with Chios include Andron and Zenodotus, who may be associated with a "school of Oenopides" mentioned by Proclus.[16]

على الرغم من أن العديد من قصص الفيثاغوريين الأوائل يُرجح أنها غير موثقة، بما في ذلك قصص غرق أو نفي أشخاص بسبب مشاركتهم اكتشافات رياضية، إلا أن بعض الفيثاغوريين في القرن الخامس قبل الميلاد ربما ساهموا في الرياضيات. [ 26 ] بدءًا من فيلولاوس الكروتوني ، المعاصر لسقراط ، أصبحت الدراسات في الحساب والهندسة والفلك والتوافقيات مرتبطة بشكل متزايد بالفيثاغورية . وقد حُفظت أجزاء من أعمال فيلولاوس في اقتباسات من مؤلفين لاحقين. [ 26 ] يُعد أرسطو من أوائل المؤلفين الذين ربطوا الفيثاغورية بالرياضيات، على الرغم من أنه لم ينسب أي شيء تحديدًا إلى فيثاغورس. [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]

تشير أدلة أخرى باقية إلى إلمام فلاسفة القرن الخامس بالرياضيات: فقد ادعى أنطيفون قدرته على إنشاء شكل مستقيم له نفس مساحة دائرة معينة، بينما يُنسب إلى هيباس طريقة لتربيع دائرة باستخدام طريقة النيوسيس . وناقش بروتاغوراس وديموقريطس إمكانية تقاطع خط مع دائرة في نقطة واحدة . ووفقًا لأرخميدس، فقد أكد ديموقريطس أيضًا، على ما يبدو دون دليل، أن مساحة المخروط تساوي ثلث مساحة الأسطوانة التي لها نفس القاعدة، وهي نتيجة أثبتها لاحقًا إيودوكسوس الكنيدي . [ 16 ]

الرياضيات في زمن أفلاطون

مع أن أفلاطون لم يكن عالم رياضيات، إلا أن العديد من علماء الرياضيات الأوائل ارتبطوا به أو بأكاديميته . كما يتجلى الإلمام بأعمال علماء الرياضيات في العديد من حوارات أفلاطون التي ذُكرت فيها الرياضيات، بما في ذلك مينون ، وثيائيتيتوس ، والجمهورية ، وتيماوس . [ 30 ]

كان أرخيتاس ، الفيلسوف الفيثاغوري من تارنتو، صديقًا لأفلاطون، وقدّم إسهاماتٍ عديدة في الرياضيات، منها حلّ مسألة مضاعفة المكعب ، التي بات من المعروف استحالة حلّها باستخدام الفرجار والمسطرة فقط، وذلك باتباع طريقة بديلة. كما قام بتنظيم دراسة الوسائل ، وربما عمل في مجالي البصريات والميكانيكا. [ 31 ] يُنسب إلى أرخيتاس موادّ مبكرة وُجدت في الكتب من السابع إلى التاسع من كتاب الأصول ، والتي تتناول نظرية الأعداد الأولية . [ 26 ]

يُعدّ ثييتيتوس أحد الشخصيات الرئيسية في حوار أفلاطون الذي سُمّي باسمه ، حيث عمل على مسألةٍ أوكلها إليه ثيودوروس القيرواني لإثبات أن الجذور التربيعية لعدة أعداد من 3 إلى 17 هي أعداد غير نسبية، مما أدى إلى بناء ما يُعرف الآن باسم حلزون ثيودوروس . يُنسب إلى ثييتيتوس تقليديًا جزء كبير من العمل الوارد في الكتاب العاشر من كتاب الأصول ، الذي يتناول المقادير غير القابلة للقياس ، والكتاب الثالث عشر، الذي يُبيّن بناء المجسمات المنتظمة . مع أن بعض المجسمات المنتظمة كانت معروفةً سابقًا، إلا أنه يُنسب إليه الفضل في دراستها المنهجية وإثبات وجود خمسة منها فقط. [ 32 ] [ 33 ]

من بين علماء الرياضيات الآخرين الذين ربما زاروا أكاديمية أفلاطون، إيدوكسوس الكنيدي ، المرتبط بنظرية التناسب الواردة في الكتاب الخامس من كتاب الأصول . يُنسب إلى إيدوكسوس برهانٌ مفاده أن حجم المخروط يساوي ثلث حجم الأسطوانة التي لها القاعدة نفسها، وهو ما ورد في قضيتين من الكتاب الثاني عشر من كتاب الأصول . [ 34 ] كما وضع إيدوكسوس تقويمًا فلكيًا، فُقد الآن، ولكنه لا يزال محفوظًا جزئيًا في قصيدة أراتوس " الظواهر" . [ 16 ] ويبدو أن إيدوكسوس قد أسس مدرسةً للرياضيات في سيزيكوس ، حيث واصل أحد طلابه، مينايخموس ، تطوير نظرية القطوع المخروطية. [ 16 ]

العصر الهلنستي والعصر الروماني المبكر

بلغت الرياضيات اليونانية القديمة ذروتها خلال العصر الهلنستي وبداية العصر الروماني . وقد أدى غزو الإسكندر الأكبر لشرق البحر الأبيض المتوسط ​​ومصر وبلاد ما بين النهرين والهضبة الإيرانية وآسيا الوسطى وأجزاء من الهند إلى انتشار الثقافة واللغة اليونانية في هذه المناطق. وأصبحت اليونانية الكوينية لغة التواصل المشتركة في جميع أنحاء العالم الهلنستي، واندمجت رياضيات العصر الكلاسيكي مع الرياضيات المصرية والبابلية لتُشكّل الرياضيات الهلنستية. [ 35 ] [ 36 ] كما ظهرت العديد من مراكز التعلم في ذلك الوقت تقريبًا، وكان أهمها موسيون الإسكندرية في مصر البطلمية . [ 37 ]

على الرغم من قلة عددهم، كان علماء الرياضيات الهلنستيون يتواصلون فيما بينهم بنشاط عبر المراسلات؛ وكان النشر يتم عبر تبادل ونسخ أعمال الآخرين بين الزملاء. [37] وكانت معظم الأعمال التي قدمها مؤلفون مثل إقليدس وأرخميدس وأبولونيوس وبطليموس ذات مستوى متقدم للغاية، ونادرًا ما كانت تُتقن خارج نطاق دائرة ضيقة. [ 6 ]

جمع إقليدس العديد من النتائج والنظريات الرياضية السابقة في كتابه "الأصول" ، وهو مرجعٌ أصبح مرجعًا أساسيًا في الهندسة ونظرية الأعداد الأولية لعدة قرون. [ 37 ] استخدم أرخميدس طريقة الاستنفاد لتقريب قيمة باي ( قياس الدائرة )، وقاس مساحة سطح وحجم الكرة ( في الكرة والأسطوانة )، [ 37 ] وابتكر طريقة ميكانيكية لإيجاد حلول للمسائل الرياضية باستخدام قانون الرافعة ( طريقة النظريات الميكانيكية )، [ 37 ] وطوّر طريقة لتمثيل الأعداد الكبيرة جدًا ( حاسبة الرمل ). [ 38 ] قام أبولونيوس البرغي، في كتابه "المخروطيات" الذي لا يزال موجودًا ، بتنقيح وتطوير نظرية القطوع المخروطية التي وضعها ميناخموس وإقليدس وكونون الساموسي . [ 37 ] تم تطوير علم المثلثات في وقت قريب من عالم الفلك هيبارخوس ، [ 39 ] وتم تطوير كل من علم المثلثات وعلم الفلك بشكل أكبر بواسطة بطليموس في كتابه المجسطي .

الحساب

خصّص إقليدس جزءًا من كتابه "الأصول " (الكتب من السابع إلى التاسع) لمواضيع تنتمي إلى نظرية الأعداد الأولية، بما في ذلك الأعداد الأولية وقابلية القسمة . وقدّم خوارزمية، هي خوارزمية إقليدس ، لحساب القاسم المشترك الأكبر لعددين (المسألة 7.2)، وبرهانًا يُشير إلى لانهائيّة الأعداد الأولية (المسألة 9.20). وهناك أيضًا مواد أقدم يُرجّح أنها تستند إلى تعاليم فيثاغورس (المسألة 9.21-34)، مثل "ضرب عدد فردي في عدد زوجي هو عدد زوجي" و"إذا قاس عدد فردي عددًا زوجيًا، فإنه يقيس نصفه أيضًا". وقد اعتاد علماء الرياضيات اليونانيون القدماء على فصل الأعداد (معظمها أعداد صحيحة موجبة، ولكن أحيانًا أعداد نسبية) عن المقادير أو الأطوال ، حيث كانت الأعداد وحدها موضوعًا للحساب.

تحدثت التقاليد الفيثاغورية عن ما يُسمى بالأعداد المضلعة أو الشكلية . وقد أثبتت دراسة مجموع الأعداد المثلثية والخماسية جدواها في أوائل العصر الحديث . واستنادًا إلى أعمال الفيثاغوريين السابقين، كتب نيكوماخوس الجراسي كتابًا بعنوان "مقدمة في الحساب" والذي حظي بتعليقات لاحقة في أواخر العصور القديمة والعصور الوسطى. ويتناول كتاب "الرياضيات المفيدة لفهم أفلاطون" لثيون السمرني ، الذي كُتب في نفس الفترة تقريبًا، فكرة التطابقات .

يبدو أن قصيدة قصيرة نشرها ليسينغ عام ١٧٧٣ هي رسالة أرسلها أرخميدس إلى إراتوستينس . اقترحت القصيدة ما عُرف لاحقًا بمسألة ماشية أرخميدس ؛ ويتطلب حلها (غير الموجود في المخطوطة) حل معادلة تربيعية غير محددة (والتي تُختزل إلى ما سُمّي لاحقًا خطأً بمعادلة بيل ). وحسبما هو معروف، فقد عالج علماء الرياضيات الهنود هذه المعادلات بنجاح لأول مرة. ولا يُعرف ما إذا كان أرخميدس نفسه قد امتلك طريقة لحلها.

الهندسة

يُنسب بناء الأجسام الأفلاطونية ، من الكتاب الثالث عشر من كتاب الأصول ، غالبًا إلى ثييتيتوس، الذي كان نشطًا في نفس فترة أفلاطون تقريبًا.

خلال العصر الهلنستي، اشتهرت ثلاث مسائل إنشائية في الهندسة: مضاعفة المكعب ، وتثليث الزاوية ، وتربيع الدائرة ، وكلها مسائل بات من المعروف الآن استحالة حلها باستخدام المسطرة والفرجار. وقد بُذلت محاولات عديدة باستخدام الإنشاءات الهندسية ، بما في ذلك شكل سيسويد لديوكليس ، وشكل كوادراتريكس ، وشكل كونشويد لنيكوميدس. [ 40 ] كانت المضلعات المنتظمة والمجسمات متعددة الأوجه معروفة قبل كتاب إقليدس " الأصول" ، لكن أرخميدس وسّع نطاق دراستها ليشمل المجسمات شبه المنتظمة، والمعروفة أيضًا باسم المجسمات الأرخميدية . ويُذكر في كتاب نُقل ككتاب رابع عشر من "الأصول " لإقليدس ، والذي يُرجح أن هيبسيكليس كتبه بعد بضعة قرون ، أعمال أخرى في هذا الموضوع، مثل كتاب " مقارنة الأشكال الخمسة " لأريستايوس الأكبر ، وكتاب "مقارنة المجسم ذي الاثني عشر وجهًا والمجسم ذي العشرين وجهًا" لأبولونيوس البرغي . [ 37 ] كتاب آخر، نُقل على أنه الكتاب الخامس عشر من كتاب أصول إقليدس ، والذي جُمع في القرن السادس الميلادي، يقدم مزيدًا من التطورات. [ 37 ]

أُلِّفَت معظم الأعمال التي أصبحت جزءًا من المناهج الرياضية القياسية في أواخر العصور القديمة خلال العصر الهلنستي، ومنها: كتابا "البيانات" و " المسامات" لإقليدس، والعديد من مؤلفات أبولونيوس البرغي، بما في ذلك "قطع النسبة" ، و"قطع المساحة " ، و" القسم المحدد" ، و "المماسات " ، و "النيوسيس" ، بالإضافة إلى العديد من المؤلفات التي تتناول المواضع الهندسية ، ومنها "المواضع المستوية والمخروطية " لأبولونيوس، و"المواضع الصلبة" لأريستايوس الأكبر ، و "المواضع على السطح" لإقليدس، و "في الوسائل" لإراتوستينس القيرواني . جميع هذه المؤلفات ، باستثناء "البيانات " و"المخروطيات " (الكتب من الأول إلى السابع) و" قطع النسبة"، مفقودة، ولكنها معروفة من الكتاب السابع من مجموعة بابوس . [ 41 ]

الرياضيات التطبيقية

كان علم الفلك يُعتبر أحد فروع الرياضيات ، ولذلك كرّس العديد من علماء الرياضيات الهلنستيين وقتهم لدراسته. يُنسب تطوير علم المثلثات، بوصفه مزيجًا من الأساليب البابلية واليونانية، عادةً إلى هيبارخوس ، الذي يُعدّ كتابه الوحيد الباقي هو " شرح ظواهر إيدوكسوس وأراتوس" . [ 39 ] [ 42 ] في القرن الثاني الميلادي، كتب بطليموس كتاب " التركيب الرياضي" ، المعروف الآن باسم " المجسطي" ، موضحًا فيه حركات النجوم والكواكب وفقًا لنموذج مركزية الأرض، كما قام بحساب جداول الأوتار بدقة أعلى، بالإضافة إلى دليل إرشادي، في " الجداول المفيدة" . [ 43 ] [ 44 ]

اعتبر الإغريق القدماء علم التوافقيات علمًا يُعنى بترتيب الأصوات ذات النغمات المختلفة التي تُشكّل أساس اللحن الموسيقي، بما في ذلك المبادئ التي تحكمها. وكان هذا العلم أهم فروع النظرية الموسيقية الإغريقية القديمة ، وقد درسه الفلاسفة والرياضيون وعلماء الفلك، بالإضافة إلى المتخصصين في الموسيقى. ومن بين الأعمال في علم التوافقيات الرياضي في العصر الهلنستي كتاب "سيكتيو كانونيس" المنسوب إلى إقليدس، وكتاب "التوافقيات " لبطليموس . [ 45 ] [ 46 ]

كان يُنظر إلى دراسة علم البصريات غالبًا كجزء من الهندسة التطبيقية. [ 47 ] يُنسب عملٌ موجودٌ في علم الانعكاسات إلى إقليدس، وهو أمرٌ مشكوكٌ فيه. يُفترض أن أرخميدس كتب عملًا مفقودًا الآن في علم الانعكاسات، بينما لا يزال كتاب ديوكليس " في حرق المرايا" موجودًا باللغة العربية. [ 37 ] كان يُنظر إلى الميكانيكا على أنها علمٌ تابعٌ للهندسة، على غرار علم البصريات، ويظهر أول تناولٍ رياضيٍّ للمواضيع الميكانيكية في كتاب أرسطو " المسائل الميكانيكية ". تشمل الأعمال الأخرى في هذا السياق كتاب أرخميدس " في توازن المستويات" ، وكتاب فيلو " مختصر الميكانيكا" ، وكتاب هيرو " الميكانيكا" (الموجود باللغة العربية). [ 48 ] يُعد بناء الحواسيب التناظرية مثل آلية أنتيكيثيرا ، وقياس إراتوستينس لمحيط الأرض ، وتصميم الساعات الشمسية والساعات المائية من قِبل كتيسيبيوس وآخرين، أمثلةً إضافيةً على الرياضيات التطبيقية في هذه الفترة. [ 49 ] [ 50 ]

العصور القديمة المتأخرة

على الرغم من أن علماء الرياضيات في أواخر العصر الروماني لم يقدموا عمومًا سوى عدد قليل من الأعمال الأصلية البارزة، إلا أنهم تميزوا بتعليقاتهم وشروحاتهم لأعمال أسلافهم. وقد حفظت هذه التعليقات مقتطفات قيّمة من أعمال لم تعد موجودة، أو إشارات تاريخية، تُعدّ نادرةً نظرًا لقلة الوثائق الأصلية. [ 51 ]

حساب ديوفانتوس

كتب ديوفانتوس ، الذي يُرجح أنه نشط في القرن الثالث الميلادي على أبعد تقدير، كتابًا عن الأعداد المضلعية بالإضافة إلى عمل في الجبر ما قبل الحديث، وهو كتاب الحساب . [ 52 ] وهو عبارة عن مجموعة من 290 مسألة جبرية تقدم حلولًا عددية للمعادلات المحددة (التي لها حل وحيد) والمعادلات غير المحددة (التي تقبل أكثر من حل واحد). [ 53 ] كُتب كتاب الحساب في الأصل في ثلاثة عشر كتابًا، ولكن لم يبقَ منها سوى ستة كتب باللغة اليونانية، بينما بقيت أربعة كتب أخرى باللغة العربية، والتي اكتُشفت عام 1968. تتوافق الكتب العربية مع الكتب من 4 إلى 7 من الرسالة الأصلية، بينما تتوافق الكتب اليونانية مع الكتب من 1 إلى 3 ومن 8 إلى 10. استخدم ديوفانتوس الرموز الجبرية القديمة في شكل تدوين مختصر للعمليات المتكررة، واختصارًا للعدد المجهول أو الحساب (ζ) وكذلك لقوى المجهول. [ 53 ]

مجموعة بابوس

جمع بابوس الإسكندري دراسة شاملة للأساليب والنتائج الرياضية السابقة في ثمانية كتب، منها أجزاء من الكتاب الثاني والكتب من الثالث إلى السابع لا تزال موجودة باللغة اليونانية، بينما يوجد الكتاب الثامن باللغة العربية. تغطي هذه المجموعة نطاقًا واسعًا من الرياضيات اليونانية القديمة، مع تركيز خاص على العصر الهلنستي. يأتي الكتاب الثالث على شكل رسالة إلى باندروسيون ، وهي عالمة رياضيات، ويناقش حلولًا لثلاث مسائل إنشائية: مضاعفة المكعب ، وتثليث الزاوية ، وتربيع الدائرة . يتناول الكتاب الرابع الهندسة الكلاسيكية، التي يقسمها بابوس إلى هندسة مستوية، وهندسة خطية، وهندسة فراغية، ويتضمن مناقشةً لإنشاء أرخميدس لشكل الأربيلوس . يناقش الكتاب الخامس الأشكال متساوية المحيط، ملخصًا أعمالًا مفقودة لزينودوتوس وأرخميدس حول الأشكال المستوية والفراغية متساوية المحيط، على التوالي. يتناول الكتاب السادس علم الفلك، معلقًا على بعض الأعمال التي تشكل كتاب " علم الفلك الصغير " . يتناول الكتاب السابع التحليل القديم، ويقدم ملخصات وخلاصات من أعمال مفقودة لأبولونيوس وغيره. أما الكتاب الثامن فهو مدخل إلى الميكانيكا القديمة. وتتوقف النسخة اليونانية في منتصف جملة تتناول هيرو الإسكندري ، لكن توجد نسخة كاملة من الكتاب الثامن باللغة العربية. [ 54 ]

التعليقات الرياضية

The commentary tradition began in the late Hellenistic period and continued into late antiquity. The first known commentary on the Elements was written by Hero of Alexandria, who likely set the format for future commentaries. Serenus of Antinoöpolis wrote a lost commentary on the Conics of Apollonius, along with two works that survive, Section of a Cylinder and Section of a Cone, expanding on specific subjects in the Conics.[55] Pappus wrote a commentary on Book X of the Elements, while Heliodorus of Larissa wrote a summary of Euclid's Optics.[16]

Many of the late antique commentators were associated with Neoplatonist philosophy. These include Porphyry of Tyre, a student of Plotinus, who wrote a commentary on Ptolemy's Harmonics, and Iamblichus, a student of Porphyry, who wrote a commentary on Nicomachus' Introduction to Arithmetic.Proclus, active in 5th-century Athens, wrote a commentary on Euclid's Elements, of which the first book survives, while his contemporary Domninus of Larissa wrote a Manual of Introductory Arithmetic, combining ideas from Nicomachus' and Euclid's number theory. Marinus of Neapolis, Proclus' successor, wrote an Introduction to Euclid's Data.

In Alexandria, Theon of Alexandria wrote a commentary on Ptolemy's Almagest and two commentaries on the Handy Tables, while his daughter Hypatia possibly wrote a commentary on Diophantus' Arithmetica and a commentary on the Conics of Apollonius, neither of which have survived.[56]Ammonius Hermiae, John Philoponus, and Simplicius of Cilicia wrote commentaries on the works of Aristotle that preserve information on earlier mathematicians and philosophers. Eutocius of Ascalon (c. 480–540), a student of Ammonius, wrote a commentary on Apollonius' Conics and commentaries on treatises of Archimedes that are extant.[57]

استمر تقليد الشروح في أماكن أخرى من العصر البيزنطي. كتب أنثيميوس الترالي كتابًا بعنوان "في الآليات المدهشة " يتناول فيه "المرايا المحترقة" ويحاول، بتشكك، شرح وظيفة شعاع أرخميدس الحراري . أشرف إيسيدور الميليتي ، الذي تولى بناء آيا صوفيا بعد وفاة أنثيميوس، على مراجعة شروح يوتوسيوس لأرخميدس. كما لدينا، من أحد المقربين من إيسيدور، عملٌ عن المجسمات متعددة الأوجه نُقل إلينا كالكتاب الخامس عشر من كتاب " الأصول " لإقليدس . [ 58 ] في روما، ترجم بوثيوس أعمالًا في العلوم الرباعية إلى اللاتينية، مستمدًا جزءًا كبيرًا من شروحه من كتابي نيكوماخوس " مقدمة في الحساب" و "مقدمة في التوافقيات" . [ 59 ]

الاستقبال والإرث

قطعة من ورق البردي ( P. Oxy. 29 ) من كتاب العناصر الثاني لإقليدس ، مؤرخة إلى حوالي عام 100 ميلادي.

فُقدت غالبية الرسائل الرياضية المكتوبة باللغة اليونانية القديمة، ولم يتبق منها سوى حوالي ثلث الأعمال المعروفة من المراجع. [ 60 ] المؤلفون الذين بقيت أعمالهم في المخطوطات اليونانية يشملون: أوتوليكوس بيتاني ، إقليدس ، أرسطرخوس ساموس ، أرخميدس ، فيلو البيزنطي ، بيتون من بيرغامون ، أبولونيوس من برجا ، هيبارخوس ، هيبسكليس ، ثيودوسيوس البيثينية ، جيمينوس ، أثينايوس ميكانيكيكوس ، بطل الإسكندرية ، أبولودور الدمشقي ، ثيون سميرنا ، نيقوماخوس ، بطليموس ، كليوميدس ، كليونيدس ، غودينتيوس ، ديوفانتوس ، سيرينوس الأنطيقيّ ، الرخام السماقي ، أريستيدس كوينتيليان ، امبليخوس ، أليبيوس ، بابوس السكندري ، ثيون الاسكندري ، بروكلس ، دومنينوس لاريسا ، مارينوس. نيابوليس ، هيليودوروس لاريسا ، يوتوسيوس وأنثيميوس من تراليس . [ 61 ]

أقدم الشظايا الباقية التي تسجل الرياضيات اليونانية القديمة هي بردية هيب. 1 27 ، التي تحتوي على شرح مبسط للتقويم الفلكي لإيودوكسوس، والعديد من الشظايا الفخارية من القرن الثالث قبل الميلاد التي تتناول المقولتين 13.10 و13.16 من كتاب الأصول لإقليدس . [ 62 ] تحتوي بردية تم العثور عليها في هركولانيوم على مقال للفيلسوف الأبيقوري ديمتريوس لاكون حول كتاب الأصول لإقليدس . [ 63 ] [ 64 ]

تعود معظم أقدم المخطوطات الموجودة في الرياضيات اليونانية إلى القرن التاسع الميلادي وما بعده، وهي نسخ لأعمال كُتبت خلال العصر الهلنستي وما قبله. [ 65 ] المصدران الرئيسيان للمخطوطات هما المخطوطات البيزنطية، التي نُسخت بعد حوالي 500 إلى 1500 عام من نسخها الأصلية، والترجمات العربية للأعمال اليونانية. وبناءً على ذلك، فإن ما تبقى يعكس أذواق القراء في أواخر العصور القديمة، إلى جانب اهتمامات علماء الرياضيات في الإمبراطورية البيزنطية والعالم الإسلامي في العصور الوسطى الذين حفظوها ونسخوها. [ 6 ]

على الرغم من عدم وجود مخطوطات أصلية، فإن تواريخ بعض علماء الرياضيات اليونانيين أكثر يقينًا من تواريخ المصادر البابلية أو المصرية الباقية نظرًا لوجود عدد من التسلسلات الزمنية المتداخلة، على الرغم من أن العديد من التواريخ لا تزال غير مؤكدة.

الرياضيات اليونانية في العصر البيزنطي

على الرغم من تراجع الرياضيات اليونانية بعد إغلاق المدارس الأفلاطونية المحدثة في القرن السادس، فقد حُفظت العديد من الأعمال في مخطوطات العصور الوسطى وتُرجمت أولًا إلى السريانية والعربية ، ثم إلى اللاتينية. [ 16 ] وكانت عملية نقل الكتابة من الخط اليوناني الكبير (الخط الأنسيالي) إلى الخط الصغير ( الخط المينوسكول ) مشروعًا ضخمًا بدأ في القرنين التاسع والعاشر من العصر البيزنطي؛ ورغم بقاء بعض المخطوطات الكبيرة، فقد فُقدت العديد من الأعمال التي لم تُنسخ في ذلك الوقت. وتُستمد العديد من الأعمال الباقية من مخطوطة واحدة فقط تعود إلى هذه الفترة، بما في ذلك مجموعة بابوس والكتب من الأول إلى الرابع من كتاب أبولونيوس " المخروطيات ". [ 37 ]

من الشخصيات البارزة في نقل الرياضيات اليونانية القديمة خلال العصر البيزنطي، والمرتبطة بالإمبراطور فوتيوس الأول ، ليو الرياضي وأريثاس القيصري . جمع ليو العديد من الأعمال الرياضية وشجع على ترجمتها، وهو جهد استمر حتى القرنين العاشر والحادي عشر. تعود ثلاث نسخ مختلفة من أعمال أرخميدس إلى هذه الفترة، فُقدت اثنتان منها بعد نسخهما، بينما الثالثة هي مخطوطة أرخميدس ، التي أُعيد اكتشافها عام ١٩٠٦. توجد شروح كتبها أريثاس في هوامش كتاب " الأصول " لإقليدس في العديد من المخطوطات الباقية؛ هذه الشروح مستمدة من تعليق بروكلس إلى جانب شروح أخرى مفقودة الآن. [ ١٦ ]

في الفترة البيزنطية المتأخرة، كتب جورج باتشيميرز ملخصًا للرباعية، وكتب مكسيموس بلانوديس scholia في أول كتابين من كتاب ديوفانتوس الحساب. [ 16 ]

الرياضيات اليونانية في الإسلام في العصور الوسطى

تُرجمت العديد من الرسائل الرياضية إلى اللغة العربية في القرن التاسع وما بعده، والعديد من الأعمال الرياضية اليونانية القديمة لا تتوفر اليوم إلا بترجمة عربية. ومع ذلك، ثمة أدلة على أن العديد من الأعمال المترجمة الأخرى قد فُقدت منذ ذلك الحين. [ 66 ]

استعان علماء مسلمون في العصور الوسطى مثل ابن الهيثم بأفكار يونانية قديمة لتطوير نظريات متقدمة في علم البصريات وعلم الفلك، ووجد كتاب ديوفانتوس " الحساب" آذاناً صاغية بين أولئك الذين قرأوا أعمال الخوارزمي وأعمال الرياضيات الهندية لتطوير نظرية في الجبر . [ 16 ]

الأعمال التالية موجودة فقط في ترجمات عربية: [ 67 ]

  • أبولونيوس، المخروطيات (الكتب من الخامس إلى السابع)، قطع النسبة
  • أرخميدس، كتاب الليمات
  • ديوكليس ، عن المرايا المحترقة
  • ديوفانتوس، الحساب (الكتب من الرابع إلى السابع)
  • إقليدس، في تقسيمات الأشكال ، في الأوزان
  • مينيلوس ، سفيريكا
  • هيرو، كاتوبتريكا ، ميكانيكا
  • بابوس، المجموعة (الكتاب الثامن)، التعليق على كتاب العناصر لإقليدس (الكتاب العاشر)
  • بطليموس، بلانيسفيريوم ،

كما أن كتاب "البصريات" لبطليموس موجود أيضاً في ترجمة لاتينية للترجمة العربية لأصل يوناني. [ 68 ]

الرياضيات اليونانية في أوروبا اللاتينية

غلاف كتاب " الحساب " لديوفانتس باللاتينية

شكّلت الأعمال المستمدة من كتابات الرياضيات اليونانية القديمة، التي كتبها بوثيوس ومارتيانوس كابيلا في أواخر العصور القديمة ، أساس العلوم الرباعية في أوائل العصور الوسطى، والتي شملت الحساب والهندسة والفلك والموسيقى. وفي القرن الثاني عشر، تُرجمت الأعمال الأصلية للرياضيات اليونانية القديمة إلى اللاتينية، أولًا من العربية على يد جيرارد الكريموني ، ثم من اليونانية الأصلية بعد قرن من الزمان على يد ويليام الموربيكي . [ 16 ]

نهضة

أدى نشر الأعمال الرياضية اليونانية إلى زيادة جمهورها؛ فقد نُشرت مجموعة بابوس عام 1588، ومجموعة ديوفانتوس عام 1621. وكان لديوفانتوس تأثيرٌ كبيرٌ على عمل بيير دي فيرما في نظرية الأعداد؛ إذ دوّن فيرما ملاحظته الشهيرة حول نظرية فيرما الأخيرة في نسخته من كتاب الحساب . أما ديكارت، فبعد أن حلّ مسألة أبولونيوس من طبعته لكتاب بابوس، أثبت ما يُعرف الآن بنظرية ديكارت، ووضع بذلك أسس الهندسة التحليلية . [ 16 ]

الرياضيات الحديثة

تُشكّل الرياضيات اليونانية القديمة فترةً مهمةً في تاريخ الرياضيات ، إذ كانت أساسيةً في الهندسة وفي فكرة البرهان الرسمي . [ 69 ] كما ساهم الرياضيون اليونانيون في نظرية الأعداد ، وعلم الفلك الرياضي ، والتوافقية ، والفيزياء الرياضية ، وفي بعض الأحيان، تناولوا أفكارًا قريبةً من حساب التكامل . [ 70 ] [ 71 ]

أقر ريتشارد ديديكيند بأن نظرية التناسب لإيودوكسوس كانت مصدر إلهام لقطع ديديكيند ، وهي طريقة لبناء الأعداد الحقيقية . [ 72 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

الحواشي

  1. ↑ شمل علم الحساب، الذي يُعنى بالأعداد، ليس فقط العمليات الأساسية كالجمع والطرح والضرب والقسمة، بل شمل أيضًا ما يُعرف اليوم بالجبر ونظرية الأعداد. أما الهندسة ( وتعني حرفيًا " قياس الأرض " )، فقد شملت ليس فقط الهندسة المستوية والفراغية ونظرية القطوع المخروطية، بل أيضًا علم البصريات. وتناول علم الفلك الظواهر المتعلقة بالنجوم والكواكب الخمسة، وساهم في تطوير النماذج الفلكية وعلم المثلثات. بينما ركز علم التوافقيات بشكل أساسي على نظرية السلالم الموسيقية باستخدام المتوسطات والنسب.

الاقتباسات

  1. ↑ سيدولي، ناثان (2020)، "الرياضيات اليونانية القديمة"، في تاوب، ليبا (محرر)، دليل كامبريدج للعلوم اليونانية والرومانية القديمة (ملف PDF) ، الصفحات 190-191 ، doi : 10.1017/9781316136096.010 ، ISBN  978-1-316-13609-6
  2. ↑ نيتز، ريفيل (2002)، "الرياضيات اليونانية: صورة جماعية."، العلوم والرياضيات في الثقافة اليونانية القديمة ، ص 196-216 ، doi : 10.1093/acprof:oso/9780198152484.003.0011 ، ISBN  978-0-19-815248-4
  3. ↑ بوير 1991 ، ص 48.
  4. ↑ كنور، دبليو. ( 2000)، الرياضيات ، الفكر اليوناني: دليل للمعرفة الكلاسيكية: مطبعة جامعة هارفارد، ص 386-413 
  5. ^ شيفسكي، مارك (2012/07/20)، “إنشاء المعرفة من الدرجة الثانية في العلوم اليونانية القديمة كعملية في عولمة المعرفة” ، عولمة المعرفة في التاريخ ، MPRL – دراسات، برلين: Max-Planck-Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaften، ISBN 978-3-945561-23-2
  6. 1 2 3 4 Høyrup 1990 .
  7. ↑ كومو، سيرافينا (2024)، "روجر س. باغنال؛ ألكسندر جونز، محرران. الرياضيات، وعلم القياس، والعقود النموذجية: مدونة من تعليم الأعمال في أواخر العصور القديمة." ، إيزيس ، 115 (1): 178-179 ، doi : 10.1086/728829 ، ISSN 0021-1753 
  8. ↑ هيث (1931)، "دليل الرياضيات اليونانية"، مجلة نيتشر ، 128 (3235): 5 ، رمز Bibcode : 1931Natur.128..739T ، doi : 10.1038/128739a0
  9. ↑ فورنر، ج. (2020)، "تصنيف العلوم في العصور اليونانية الرومانية القديمة" ، www.isko.org ، تاريخ الاطلاع : 9 يناير 2023
  10. ↑ فورنر، جوناثان (2020)، "تصنيف العلوم في العصور اليونانية الرومانية القديمة" ، www.isko.org
  11. ↑ هودجكين، لوك (2005)، "الإغريق والأصول"، تاريخ الرياضيات: من بلاد ما بين النهرين إلى الحداثة ، مطبعة جامعة أكسفورد، رقم ISBN 978-0-19-852937-8
  12. ↑ كنور، و. ( 1981)، حول التاريخ المبكر لعلم البديهيات: تفاعل الرياضيات والفلسفة في العصور اليونانية القديمة. ، دار نشر دي. ريدل، ص 145-186 تغيير النظرية، والمسلمات القديمة، ومنهجية غاليليو، المجلد 1
  13. ↑ Netz 2022 ، ص 13.
  14. ↑ Netz 2022 ، ص 25-26.
  15. ↑ Netz 2022 ، ص 14-15.
  16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 نتز 2022 .
  17. ↑ بوير 1991 ، ص 40-89.
  18. 1 2 بوير 1991 ، ص 43-61.
  19. ↑ Netz 2022 ، ص 89-90.
  20. ^ نيتس 2022 ، ص 120-121.
  21. ↑ Netz 2022 ، ص 16-19.
  22. ↑ Netz 2022 ، ص 16-17.
  23. ↑ sv بروكلس، تعليق على كتاب العناصر لإقليدس
  24. ↑ فاولر 1999 ، ص 382-383.
  25. ↑ sv سيمبليكيوس الكيليكي ، شرح كتاب الطبيعة لأرسطو
  26. 1 2 3 Netz 2014 .
  27. ↑ تريدينيك، هيو (1923)، أرسطو: الميتافيزيقا ، هاينمان، ص 66 ، تم الاطلاع عليه في 27 أبريل 2025 
  28. ↑ كورنيلي، غابرييل (2016-05-20)، "مراجعة لمقولة أرسطو بشأن المعتقدات الأساسية للفيثاغوريين: هل الكل عدد؟" ، فيلوسوفيا أونيسينوس ، 17 (1): 50-57 ، doi : 10.4013/fsu.2016.171.06
  29. ↑ هانز-يواكيم فاشكيس، "مقدمة" لـ "الجزء 1: بداية الرياضيات اليونانية" في كتاب "كلاسيكيات في تاريخ الرياضيات اليونانية" ، الصفحات 11-12
  30. ↑ فاولر 1999 .
  31. ↑ بيرنيات، إم إف (2005)، "أركيتاس والبصريات" ، العلوم في السياق ، 18 (1): 35-53 ، doi : 10.1017/S0269889705000347
  32. ↑ كتاب العناصر الثالث عشر، القضية 18
  33. ^ اكيربي 2018 ، ص 277-278.
  34. ↑ Acerbi 2018 ، ص 279.
  35. ↑ غرين، ب. (1990)، من الإسكندر إلى أكتيوم: التطور التاريخي للعصر الهلنستي ( الطبعة الأولى)، مطبعة جامعة كاليفورنيا، رقم ISBN  978-0-520-08349-3JSTOR 10.1525 /j.ctt130jt89 
  36. ↑ روسو، ل. (2004)، "الرياضيات الهلنستية"، الثورة المنسية: كيف وُلد العلم في 300 قبل الميلاد ولماذا كان لا بد من إحيائه من جديد ، برلين، هايدلبرغ: سبرينغر، ص 31-55 ، doi : 10.1007/978-3-642-18904-3_3 ، ISBN  978-3-642-18904-3
  37. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 اكربي 2018 .
  38. ↑ ريفيل نيتز (2003)، "هدف حاسبة الرمال لأرخميدس"، أبييرون ، 36 (4): 251-290 ، doi : 10.1515/APEIRON.2003.36.4.251
  39. 1 2 تومر، جي جي (1974)، "جدول الأوتار لهيبارخوس والتاريخ المبكر لعلم المثلثات اليوناني"، سنتوروس ، 18 (1): 6-28 ، doi : 10.1111/j.1600-0498.1974.tb00205.x
  40. ↑ كنور 1986 .
  41. ↑ بابوس الإسكندري (1986)، الكتاب السابع من المجموعة ، نيويورك: سبرينغر، رقم ISBN 978-0-387-96257-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 مايو 2025
  42. ↑ ديوك، د. (2011)، "التاريخ المبكر جدًا لعلم المثلثات". (ملف PDF) ، مجلة DIO: المجلة الدولية للتاريخ العلمي ، 17 : 34-42
  43. ↑ لامبرو، م. (2003)، "ثيون الإسكندري وهيباتيا" ، تاريخ العالم القديم ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 26-05-2021
  44. ↑ تيهون (2011)، جداول بطليموس المفيدة. المجلد 1ب: الجداول أ1-أ2. النسخ والتعليق ، بيترز، ISBN 978-2-7584-0117-9
  45. ↑ أندرو باركر (1991-12-01)، "ثلاثة مناهج للتقسيم الكنسي" ، أبييرون ، 24 (4): 49-84 ، doi : 10.1515/APEIRON.1991.24.4.49 ، ISSN 2156-7093 
  46. ↑ كريكمور، ليون (2003-10-01)، "إعادة تقييم علم التناغمات القديم" ، علم نفس الموسيقى ، 31 (4): 391-403 ، doi : 10.1177/03057356030314004 ، ISSN 0305-7356 
  47. ^ اكربي 2018 ، ص 281-282.
  48. ^ Tybjerg، Karin (2004-12-01)، “بطل الهندسة الميكانيكية في الإسكندرية”، Apeiron ، 37 (4): 29–56 ، دوى : 10.1515/APEIRON.2004.37.4.29
  49. ↑ إدموندز، إم جي (2014-10-02)، "آلية أنتيكيثيرا والكون الميكانيكي"، الفيزياء المعاصرة ، 55 (4): 263-285 ، doi : 10.1080/00107514.2014.927280
  50. ↑ روسو، لوسيو (2004). الثورة المنسية . برلين: سبرينغر. ص 273-277.
  51. ↑ مانسفيلد 2016 .
  52. ^ Acerbi، F. (2011)، “Completing Diophantus، De polygonis numeris، Prop. 5” ، Historia Mathematica ، 38 (4): 548–560 ، دوى : 10.1016 / j.hm.2011.05.002
  53. 1 2 كريستيانيديس، ج.؛ Oaks، J. (2013)، “ممارسة الجبر في العصور القديمة المتأخرة: حل مشكلة ديوفانتوس الإسكندرية” ، هيستوريا ماثيماتيكا ، 40 (2): 127– 163 ، دوى : 10.1016 / j.hm.2012.09.001
  54. ↑ بابوس الإسكندري (1986)، الكتاب السابع من المجموعة ، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 978-0-387-96257-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 مايو 2025
  55. ↑ Acerbi 2018 ، ص 274.
  56. ↑ كاميرون 1990 .
  57. ^ نتز 2022 ، ص 427-428.
  58. ^ نتز 2022 ، ص 432-433.
  59. ^ نتز 2022 ، ص 429-430.
  60. ^ أتشيربي ، فابيو. ماسيا، رامون (30 يونيو 2022)، “مجموعة الرياضيات اليونانية: تقييم كمي”، التاريخ والقياس ، السابع والثلاثون (1): 15– 36، دوى : 10.4000/histoiremesure.15779
  61. ↑ برنارد فيتراك (2021)، "Quand ? Comment ? Pourquoi les textes mathématiques grecs sont-ils parvenus en Occident ؟" ، هال العلوم المفتوحة ، ص 116 – 124    
  62. ↑ فاولر 1999 ، ص 209.
  63. ↑ ب. هيرك. 1061
  64. ↑ فاولر 1999 ، ص 210.
  65. ↑ جيه جيه أوكونور وإي إف روبرتسون (أكتوبر 1999)، "كيف نعرف عن الرياضيات اليونانية؟" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز، مؤرشف من الأصل في 30 يناير 2000 ، تم استرجاعه في 18 أبريل 2011
  66. ↑ تومر، جي جي (يناير 1984)، "أعمال رياضية يونانية مفقودة مترجمة إلى العربية"، مجلة الرياضيات الذكية ، 6 (2): 32-38 ، doi : 10.1007/BF03024153
  67. ↑ Høyrup 1990 ، ص 1-2.
  68. ↑ لورش، ريتشارد (يونيو 2001)، "اليونانية-العربية-اللاتينية: نقل النصوص الرياضية في العصور الوسطى" ، مجلة العلوم في السياق ، 14 ( 1-2 ): 313-331 ، doi : 10.1017/S0269889701000114
  69. ↑ جرانت، هـ.؛ كلاينر، إ. (2015)، "البديهيات - إقليدس وهيلبرت: من المادة إلى الشكلية"، نقاط تحول في تاريخ الرياضيات ، كتب موجزة في الرياضيات، سبرينغر، ص 1-8 ، doi : 10.1007/978-1-4939-3264-1_1 ، ISBN  978-1-4939-3264-1
  70. ↑ كنور 1996 ، ص 67-88.
  71. ↑ باورز، ج. (2020). هل درس أرخميدس التفاضل والتكامل؟ تاريخ الرياضيات، مجموعة الاهتمامات الخاصة التابعة لجمعية الرياضيات الأمريكية
  72. ↑ شتاين، هوارد (1990)، "إيودوكسوس وديديكيند: حول نظرية النسب عند الإغريق القدماء وعلاقتها بالرياضيات الحديثة"، سينثيز ، 84 (2): 163-211 ، doi : 10.1007/BF00485377

مراجع

للمزيد من القراءة