الكويكبات

في الرياضيات ، يُعدّ النجم نوعًا خاصًا من منحنيات الروليت : منحنى هايبوسيكلويد ذو أربعة رؤوس . تحديدًا، هو المحل الهندسي لنقطة على دائرة تدور داخل دائرة ثابتة نصف قطرها أربعة أضعاف نصف قطر دائرة الروليت . ^{[ 1 ]} وباستخدام التوليد المزدوج، يصبح أيضًا المحل الهندسي لنقطة على دائرة تدور داخل دائرة ثابتة نصف قطرها 4/3 من نصف قطر دائرة الروليت. ويمكن تعريفه أيضًا بأنه غلاف قطعة مستقيمة ثابتة الطول تتحرك مع الحفاظ على نقطة نهاية على كل محور من محاورها. وبالتالي، فهو غلاف القضيب المتحرك في تراميل أرخميدس .

يُشتق اسمها الحديث من الكلمة اليونانية التي تعني " نجمة ". وقد اقترحها جوزيف يوهان فون ليترو عام 1838 ، وكانت تُعرف في الأصل باسم "أسترويس". ^{[ 2 ] [ 3 ]} وقد عُرفت هذه المنحنى بأسماء مختلفة، منها رباعي الشرفات (وهو الاسم الذي لا يزال يُستخدم)، والمنحنى المكعب الدائري ، والمنحنى شبه الدائري . وهي تُشابه في شكلها منحنى تطور القطع الناقص.

إذا كان نصف قطر الدائرة الثابتة هو a فإن المعادلة تعطى بواسطة ^{[ 4 ]}$${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.}$$ هذا يعني أن الكويكب هو أيضًا شكل بيضاوي فائق .

المعادلات البارامترية هي $${\displaystyle {\begin{aligned}x=a\cos ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\cos \left(t\right)+\cos \left(3t\right)\right),\\[2ex]y=a\sin ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\sin \left(t\right)-\sin \left(3t\right)\right).\end{aligned}}}$$

معادلة الدواسة بالنسبة إلى نقطة الأصل هي $${\displaystyle r^{2}=a^{2}-3p^{2},}$$

معادلة ويويل هي $${\displaystyle s={3a \over 4}\cos 2\varphi ,}$$ ومعادلة سيزارو هي $${\displaystyle R^{2}+4s^{2}={\frac {9a^{2}}{4}}.}$$

المعادلة القطبية هي ^{[ 5 ]}$${\displaystyle r={\frac {a}{\left(\cos ^{2/3}\theta +\sin ^{2/3}\theta \right)^{3/2}}}.}$$

الكويكب هو موضع حقيقي لمنحنى جبري مستوٍ من النوع صفر. وله المعادلة ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0.}$$

وبالتالي، فإن الكويكب هو منحنى جبري حقيقي من الدرجة السادسة.

يمكن اشتقاق معادلة كثير الحدود من معادلة لايبنتز عن طريق الجبر الابتدائي: $${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.}$$

قم بتكعيب كلا الجانبين: $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{6/3}+3x^{4/3}y^{2/3}+3x^{2/3}y^{4/3}+y^{6/3}&=a^{6/3}\\[1.5ex]x^{2}+3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)+y^{2}&=a^{2}\\[1ex]x^{2}+y^{2}-a^{2}&=-3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)\end{aligned}}}$$

قم بتكعيب كلا الجانبين مرة أخرى: $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}=-27x^{2}y^{2}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)^{3}}$$

لكن بما أن: $${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\,}$$

ويترتب على ذلك أن $${\displaystyle \left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)^{3}=a^{2}.}$$

لذلك: $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}=-27x^{2}y^{2}a^{2}}$$ أو $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}+27x^{2}y^{2}a^{2}=0.}$$

المنطقة المحصورة ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\frac {3}{8}}\pi a^{2}}$

طول المنحنى

${\displaystyle 6a}$

حجم سطح دوران المنطقة المحيطة حول المحور السيني .

${\displaystyle {\frac {32}{105}}\pi a^{3}}$

مساحة سطح الدوران حول المحور السيني

${\displaystyle {\frac {12}{5}}\pi a^{2}}$

نصف قطر الدائرة المرسومة

${\displaystyle a}$

نصف قطر الدائرة المرسومة داخل الدائرة

${\displaystyle a/2}$

يحتوي الكويكب على أربع نقاط شاذة في المستوى الحقيقي، وهي النقاط الموجودة على النجمة. كما يحتوي على نقطتين شاذتين معقدتين إضافيتين عند اللانهاية، وأربع نقاط مزدوجة معقدة، ليصبح المجموع عشر نقاط شاذة.

المنحنى المزدوج للكويكب هو المنحنى الصليبي ذو المعادلة${\textstyle x^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}.}$ المسار التطوري للكويكب هو كويكب أكبر بمرتين.

يحتوي الكويكب على خط مماس واحد فقط في كل اتجاه موجه، مما يجعله مثالاً على شكل القنفذ . ^{[ 8 ]}

• القلبي الشكل - شكل فوق دائري ذو حدبة واحدة
• العضلة الدالية - منحنى هابسيكلويدي بثلاثة رؤوس
• الكلية الشكلية - وهي كلية ذات شرفتين
• سبيروغراف
• كويكب ستونر-وولفارث – استخدام هذا المنحنى في المغناطيسية

• ج. دينيس لورانس (1972). فهرس المنحنيات المستوية الخاصة . منشورات دوفر. الصفحات 4-5 ، 34-35 ، 173-174 . ISBN  0-486-60288-5.
• ويلز د (1991). قاموس بنغوين للهندسة الغريبة والمثيرة للاهتمام . نيويورك: كتب بنغوين. ص 10-11 . ISBN  0-14-011813-6.
• آر سي ييتس (1952). "الكويكب". دليل عن المنحنيات وخصائصها . آن أربور، ميشيغان: جي دبليو إدواردز. ص  1 وما يليها.

• "الكويكب" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• "كويكب" في أرشيف تاريخ الرياضيات في ماك تيوتور
• "كويكب" في موسوعة الأشكال الرياضية الرائعة
• مقال على موقع 2dcurves.com
• قاموس مصور للمنحنيات المستوية الخاصة، زاه لي
• قضبان كويكب بقلم ساندور كاباي، مشروع مظاهرات ولفرام .