التدحرج

التدحرج هو نوع من الحركة يجمع بين الدوران (عادةً لجسم متناظر محوريًا ) وانتقال ذلك الجسم بالنسبة لسطح ما (إما أن يتحرك أحدهما أو الآخر)، بحيث إذا وُجدت الظروف المثالية، يكون الاثنان على اتصال ببعضهما البعض دون انزلاق .

يُطلق على التدحرج الذي لا يتضمن انزلاقًا اسم التدحرج الخالص . وبحسب التعريف، لا يوجد انزلاق عندما يكون هناك إطار مرجعي تكون فيه جميع نقاط التلامس على الجسم المتدحرج بنفس سرعة نظيراتها على السطح الذي يتدحرج عليه الجسم؛ وعلى وجه الخصوص، بالنسبة لإطار مرجعي يكون فيه مستوى التدحرج ساكنًا (انظر الرسوم المتحركة)، فإن السرعة اللحظية لجميع نقاط التلامس (على سبيل المثال، قطعة مستقيمة مولدة لأسطوانة) للجسم المتدحرج تساوي صفرًا.

عمليًا، وبسبب التشوهات الطفيفة قرب منطقة التلامس، يحدث بعض الانزلاق وتبديد الطاقة. ومع ذلك، فإن مقاومة التدحرج الناتجة أقل بكثير من احتكاك الانزلاق ، وبالتالي، تتطلب الأجسام المتدحرجة عادةً طاقة أقل بكثير لتحريكها مقارنةً بالأجسام المنزلقة. ونتيجةً لذلك، تتحرك هذه الأجسام بسهولة أكبر إذا تعرضت لقوة ذات مركبة على طول سطحها، مثل الجاذبية على سطح مائل، أو الرياح، أو الدفع، أو السحب، أو عزم الدوران الناتج عن محرك. على عكس الأجسام الأسطوانية المتناظرة محوريًا، فإن حركة تدحرج المخروط تكون بحيث يتحرك مركز ثقله حركة دائرية أثناء تدحرجه على سطح مستوٍ، بدلًا من الحركة الخطية . الأجسام المتدحرجة ليست بالضرورة متناظرة محوريًا. من الأمثلة المعروفة على الأجسام المتدحرجة غير المتناظرة محوريًا مثلث رولو وأجسام مايسنر . يُعد كل من الشكل البيضاوي والشكل الكروي المخروطي من عائلة خاصة من الأجسام المتدحرجة القابلة للتطوير ، والتي تُطور سطحها بالكامل عند تدحرجها على مستوى مستوٍ. تتدحرج الأجسام ذات الزوايا، مثل النرد ، بدوران متتابع حول الحافة أو الزاوية الملامسة للسطح. يسمح تصميم سطح معين حتى لعجلة مربعة مثالية بالتدحرج مع بقاء مركز ثقلها على ارتفاع ثابت فوق مستوى مرجعي.

تعتمد معظم المركبات البرية على العجلات، وبالتالي على الدوران، لنقل الحركة. يجب تقليل الانزلاق إلى أدنى حد (بحيث يكون الدوران شبه تام)، وإلا فقد يؤدي ذلك إلى فقدان السيطرة ووقوع حادث. قد يحدث هذا عندما يكون الطريق مغطى بالثلج أو الرمل أو الزيت، أو عند الانعطاف بسرعة عالية، أو عند محاولة الفرملة أو التسارع فجأة.

يُعدّ استخدام محامل العناصر الدوارة ، مثل محامل الكرات ، في الأجهزة الدوارة من أكثر التطبيقات العملية للأجسام الدوارة . تُصنع عناصر الدوران عادةً من المعدن، وتُحاط بحلقتين تدوران بشكل مستقل عن بعضهما. في معظم الآليات، تُثبّت الحلقة الداخلية على عمود ثابت (أو محور). وبالتالي، بينما تبقى الحلقة الداخلية ثابتة، تتحرك الحلقة الخارجية بحرية مع احتكاك ضئيل للغاية . هذا هو الأساس الذي تعتمد عليه جميع المحركات تقريبًا (مثل تلك الموجودة في مراوح السقف والسيارات والمثاقب وغيرها) للعمل. بدلاً من ذلك، يمكن تثبيت الحلقة الخارجية على دعامة ثابتة، مما يسمح للحلقة الداخلية بدعم المحور، وبالتالي إتاحة حرية دوران المحور . يعتمد مقدار الاحتكاك على أجزاء الآلية على جودة محامل الكرات وكمية التشحيم في الآلية.

تُستخدم الأجسام المتدحرجة بكثرة كوسيلة نقل . ومن أبسط الطرق وضع جسم (عادةً ما يكون مسطحًا) على سلسلة من البكرات أو العجلات المتراصة . ويمكن تحريك الجسم على العجلات في خط مستقيم، شريطة استبدال العجلات باستمرار من الأمام (انظر تاريخ المحامل ). تُعد هذه الطريقة البدائية للنقل فعالة عند عدم توفر آلات أخرى. أما اليوم، فإن أكثر التطبيقات العملية للأجسام ذات العجلات هي السيارات والقطارات وغيرها من وسائل النقل البشري .

تُستخدم عملية الدرفلة لتطبيق قوى عمودية على خط اتصال متحرك في عمليات مختلفة، على سبيل المثال في تشكيل المعادن والطباعة وتصنيع المطاط والطلاء .

تكون سرعات نقاط الجسم المتدحرج مساوية لسرعات الدوران حول نقطة التلامس.

أبسط حالة للتدحرج هي حالة جسم صلب يتدحرج دون انزلاق على طول سطح مستوٍ مع محوره موازٍ للسطح (أو بشكل مكافئ: عمودي على العمودي على السطح ) .

إن مسار أي نقطة هو منحنى حلقي ؛ وعلى وجه الخصوص، فإن مسار أي نقطة في محور الجسم هو خط مستقيم، بينما مسار أي نقطة في حافة الجسم هو منحنى دائري .

سرعة أي نقطة في الجسم المتدحرج تُعطى بالعلاقة التالية${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$، أين${\displaystyle \mathbf {r} }$يمثل θ الإزاحة بين الجسيم ونقطة (أو خط) تلامس الجسم المتدحرج مع السطح، وω هو متجه السرعة الزاوية . ^{[ 1 ]} وبالتالي، على الرغم من أن التدحرج يختلف عن الدوران حول محور ثابت ، فإن السرعة اللحظية لجميع جسيمات الجسم المتدحرج هي نفسها كما لو كان يدور حول محور يمر بنقطة التلامس بنفس السرعة الزاوية.

أي نقطة في الجسم المتدحرج أبعد عن المحور من نقطة التلامس ستتحرك مؤقتًا في الاتجاه المعاكس للحركة الكلية عندما تكون أسفل مستوى سطح التدحرج (على سبيل المثال، أي نقطة في جزء من حافة عجلة القطار الموجودة أسفل السكة).

القوى والتسارع

التمييز بين العلاقة بين السرعة الخطية والسرعة الزاوية ،${\displaystyle v_{\text{com}}=r\omega }$، بالنسبة للزمن، تعطي صيغة تربط بين التسارع الخطي والتسارع الزاوي${\displaystyle a=r\alpha }$تطبيق قانون نيوتن الثاني :

$${\displaystyle a={\frac {F_{\text{net}}}{m}}=r\alpha ={\frac {r\tau }{I}}.}$$

يستنتج من ذلك أنه لتسريع الجسم، يلزم وجود قوة محصلة وعزم دوران . عندما تؤثر قوة خارجية بدون عزم دوران على نظام الجسم المتدحرج والسطح، ستنشأ قوة مماسية عند نقطة التلامس بين السطح والجسم المتدحرج، توفر عزم الدوران المطلوب طالما أن الحركة تدحرج خالص؛ عادةً ما تكون هذه القوة هي الاحتكاك السكوني ، على سبيل المثال، بين الطريق والعجلة أو بين ممر البولينج وكرة البولينج. عندما لا يكون الاحتكاك السكوني كافيًا، يتحول الاحتكاك إلى احتكاك ديناميكي ويحدث الانزلاق. تكون القوة المماسية معاكسة في الاتجاه للقوة الخارجية، وبالتالي تلغيها جزئيًا. القوة المحصلة والتسارع الناتجين هما:

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{net}}&={\frac {F_{\text{external}}}{1+{\frac {I}{mr^{2}}}}}={\frac {F_{\text{external}}}{1+\left({r_{\text{g}}}/{r}\right)^{2}}}\\[1ex]a&={\frac {F_{\text{external}}}{m+{I}/{r^{2}}}}\end{aligned}}}$$

الاشتقاق افترض أن الجسم يتعرض لقوة خارجية${\displaystyle F_{\text{external}}}$والذي لا يُولّد أي عزم دوران ( ذراع عزمه يساوي صفرًا )، والاحتكاك الساكن عند نقطة التلامس (${\displaystyle F_{\text{friction}}}$) يوفر عزم الدوران وتلغي القوى الأخرى المعنية بعضها بعضاً.${\displaystyle F_{\text{friction}}}$يكون مماساً للجسم والسطح عند نقطة التلامس ومعاكساً في الاتجاه لـ${\displaystyle F_{\text{external}}}$باستخدام اصطلاح الإشارة الذي يجعل هذه القوة موجبة، فإن القوة المحصلة هي: ${\displaystyle F_{\text{net}}=F_{\text{external}}-F_{\text{friction}}}$ 1 لأنه لا يوجد انزلاق،${\displaystyle r\alpha =a}$يحفظ. استبدال${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle a}$بالنسبة للصيغة الخطية والدورانية لقانون نيوتن الثاني ، ثم حل المعادلة لإيجاد${\displaystyle F_{\text{friction}}}$: $$\begin{aligned}r\frac\tau\I = \frac\Fnet\m\m\m\r\frac\rFffriction\I\I = \frac\Fnet\m\m\m\frac\Ffriction\n = \frac\IFnet\mr\2\n\end{aligned}$$ التوسع${\displaystyle F_{\text{friction}}}$في (1) : $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{net}}&=F_{\text{external}}-{\frac {IF_{\text{net}}}{mr^{2}}}\\&=F_{\text{external}}-{\frac {I}{mr^{2}}}F_{\text{net}}\\&={\frac {F_{\text{external}}}{1+{\frac {I}{mr^{2}}}}}\\\end{aligned}}}$$ المساواة الأخيرة هي الصيغة الأولى لـ${\displaystyle F_{\text{net}}}$باستخدامها مع قانون نيوتن الثاني، ثم اختزالها ، تصبح الصيغة لـ${\displaystyle a}$يتم الحصول على: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {F_{\text{net}}}{m}}\\&={\frac {\left({\frac {F_{\text{external}}}{1+{\frac {I}{mr^{2}}}}}\right)}{m}}\\&={\frac {F_{\text{external}}}{m\left(1+{\frac {I}{mr^{2}}}\right)}}\\&={\frac {F_{\text{external}}}{m+{I}/{r^{2}}}}\\\end{aligned}}}$$ يمكن إدراج نصف قطر الدوران في الصيغة الأولى لـ${\displaystyle F_{\text{net}}}$على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{g}}&={\sqrt {\frac {I}{m}}}\\r_{\text{g}}^{2}&={\frac {I}{m}}\\{\frac {I}{mr^{2}}}&={\frac {\left({\frac {I}{m}}\right)}{r^{2}}}\\&={\frac {r_{\text{g}}^{2}}{r^{2}}}\\&=\left({\frac {r_{\text{g}}}{r}}\right)^{2}\\\end{aligned}}}$$ باستبدال المساواة الأخيرة أعلاه في الصيغة الأولى لـ${\displaystyle F_{\text{net}}}$الصيغة الثانية لذلك: $${\displaystyle F_{\text{net}}={\frac {F_{\text{external}}}{1+\left({r_{\text{g}}}/{r}\right)^{2}}}}$$

${\displaystyle {\tfrac {I}{r^{2}}}}$له بُعد الكتلة، وهذه الكتلة هي التي سيكون لها عزم قصور ذاتي دوراني${\displaystyle I}$عن بعد${\displaystyle r}$من محور الدوران. لذلك، فإن المصطلح${\displaystyle {\tfrac {I}{r^{2}}}}$يمكن اعتبار الكتلة ذات القصور الذاتي الخطي المكافئ لقصور الجسم الدوراني (حول مركز كتلته). ويمكن تصور تأثير القوة الخارجية على جسم يدور دورانًا بسيطًا على أنه تسريع لمجموع الكتلة الحقيقية والكتلة الافتراضية التي تمثل القصور الذاتي الدوراني، وهو${\displaystyle m+{\tfrac {I}{r^{2}}}}$بما أن الشغل المبذول بواسطة القوة الخارجية ينقسم بين التغلب على القصور الذاتي الانتقالي والدوراني، فإن القوة الخارجية ينتج عنها قوة محصلة أصغر بمعامل ضرب لا بُعدي${\displaystyle 1/\left(1+{\tfrac {I}{mr^{2}}}\right)}$أين${\displaystyle {\tfrac {I}{mr^{2}}}}$يمثل نسبة الكتلة الافتراضية المذكورة إلى الكتلة الفعلية للجسم، وهو يساوي${\textstyle \left({r_{\text{g}}}/{r}\right)^{2}}$أين${\displaystyle r_{\text{g}}}$يمثل نصف قطر الدوران المقابل لعزم القصور الذاتي الدوراني للجسم في الدوران المحض (وليس عزم القصور الذاتي الدوراني في الدوران المحض). ويعود سبب الأس التربيعي إلى حقيقة أن عزم القصور الذاتي الدوراني لجسم نقطي يتناسب طرديًا مع مربع المسافة بينه وبين المحور.

في الحالة الخاصة لجسم يتدحرج على مستوى مائل ولا يتعرض إلا للاحتكاك الساكن والقوة العمودية ووزنه الذاتي ( مع غياب مقاومة الهواء )، يكون التسارع في اتجاه التدحرج لأسفل المنحدر كما يلي:

$${\displaystyle a={\frac {g\sin(\theta )}{1+\left({r_{\text{g}}}/{r}\right)^{2}}}}$$

الاشتقاق بافتراض أن الجسم موضوع بحيث يتدحرج لأسفل باتجاه السطح المائل (وليس بشكل جانبي جزئيًا)، يمكن تحليل الوزن إلى مركبة في اتجاه التدحرج ومركبة عمودية على السطح المائل. المركبة الأولى فقط هي التي تُسبب تدحرج الجسم، أما الثانية فتُوازنها قوة التلامس، لكنها لا تُشكل معها زوج فعل ورد فعل (تمامًا كما هو الحال مع جسم ساكن على طاولة). لذلك، في هذا التحليل، تُؤخذ المركبة الأولى فقط في الاعتبار، كما يلي: $${\displaystyle F_{\text{external}}=gm\sin(\theta )}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {F_{\text{net}}}{m}}\\&={\frac {\left({\frac {F_{\text{external}}}{1+\left({r_{\text{g}}}/{r}\right)^{2}}}\right)}{m}}\\&={\frac {\left({\frac {gm\sin(\theta )}{1+\left({r_{\text{g}}}/{r}\right)^{2}}}\right)}{m}}\\&={\frac {gm\sin(\theta )}{m\left(1+\left({r_{\text{g}}}/{r}\right)^{2}\right)}}\\&={\frac {g\sin(\theta )}{1+\left({r_{\text{g}}}/{r}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}$$ في المعادلة الأخيرة، يكون المقام هو نفسه كما في صيغة القوة، ولكن العامل${\displaystyle m}$يختفي لأن تأثيره في قوة الجاذبية يلغي تأثيره بسبب قانون نيوتن الثالث.

${\displaystyle {r_{\text{g}}}/{r}}$يعتمد هذا التسارع على شكل الجسم وتوزيع كتلته، ولا يتأثر بحجمه أو كثافته. مع ذلك، فإنه يختلف باختلاف نصف قطر دوران الجسم؛ فعلى سبيل المثال، يختلف بين عجلة قطار تدور بشكل طبيعي (بواسطة إطارها) وأخرى تدور بواسطة محورها. وبناءً على ذلك، فإنه عند وجود جسم مرجعي يدور، فإن أي جسم آخر أكبر حجمًا أو ذو كثافة مختلفة سيدور بنفس التسارع. هذا السلوك مماثل لسلوك جسم يسقط سقوطًا حرًا أو جسم ينزلق دون احتكاك (بدلًا من التدحرج) على سطح مائل.

عندما يلامس جسم متناظر محوريًا قابل للتشوه سطحًا ما، تتشكل واجهة يمكن من خلالها نقل القوى العمودية وقوى القص. على سبيل المثال، يحمل إطار السيارة الملامس للطريق وزن السيارة (الحمل العمودي) بالإضافة إلى أي قوى قص ناتجة عن التسارع أو الكبح أو التوجيه. يمكن وصف التشوهات والحركات في جسم يتدحرج بثبات بكفاءة باستخدام وصف أويلري لدوران الجسم الصلب ووصف لاغرانجي للتشوه. ^{[ 2 ] [ 3 ]} يُبسط هذا النهج التحليل بشكل كبير من خلال إزالة الاعتماد على الزمن، مما ينتج عنه مجالات إزاحة وسرعة وإجهاد وانفعال تتغير مكانيًا فقط. طُوّرت إجراءات تحليل العناصر المحدودة للتدحرج في الحالة المستقرة لأول مرة بواسطة بادوفان ، وهي الآن مُدرجة في العديد من البرامج التجارية.