الموضع (الرياضيات)

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 17 صور
الموسوعة الحرة
كل منحنى في هذا المثال هو محل هندسي يُعرَّف بأنه سطح محاري للنقطة P والخط l . في هذا المثال، تبعد P مسافة 8  سم عن l .

في الهندسة ، يُعرف الموضع الهندسي (جمعه: مواضع هندسية ؛ وهي كلمة لاتينية تعني " مكان" أو "موقع " ) بأنه مجموعة من جميع النقاط (عادةً ما تكون خطًا مستقيمًا ، أو قطعة مستقيمة ، أو منحنى ، أو سطحًا )، التي يُحقق موقعها شرطًا واحدًا أو أكثر من الشروط المحددة، أو يتم تحديده من خلالها. [ 1 ] [ 2 ]

تُسمى مجموعة النقاط التي تحقق خاصية معينة عادةً بالموضع الهندسي لنقطة تحقق هذه الخاصية. ويُعدّ استخدام صيغة المفرد في هذا المصطلح دليلاً على أن علماء الرياضيات، حتى نهاية القرن التاسع عشر، لم يكونوا يُدركون المجموعات غير المنتهية . فبدلاً من النظر إلى الخطوط والمنحنيات كمجموعات من النقاط، كانوا ينظرون إليها كمواضع يُمكن أن تتواجد فيها نقطة أو أن تتحرك إليها.

التاريخ والفلسفة

حتى مطلع القرن العشرين، لم يُنظر إلى الشكل الهندسي (كالمنحنى مثلاً) على أنه مجموعة لانهائية من النقاط، بل كان يُنظر إليه ككيان يمكن أن تتواجد عليه نقطة أو تتحرك عليه. وهكذا، عُرّفت الدائرة في المستوى الإقليدي بأنها المحل الهندسي لنقطة تقع على مسافة محددة من نقطة ثابتة، وهي مركز الدائرة. في الرياضيات الحديثة، تُعاد صياغة مفاهيم مماثلة بشكل متكرر بوصف الأشكال كمجموعات؛ فعلى سبيل المثال، يُقال إن الدائرة هي مجموعة النقاط التي تقع على مسافة محددة من المركز. [ 3 ]

على النقيض من وجهة النظر القائمة على نظرية المجموعات، تتجنب الصيغة القديمة النظر في المجموعات اللانهائية، حيث كان تجنب اللانهائية الفعلية موقفًا فلسفيًا مهمًا لدى علماء الرياضيات السابقين. [ 4 ] [ 5 ]

بمجرد أن أصبحت نظرية المجموعات الأساس العالمي الذي تُبنى عليه الرياضيات بأكملها، [ 6 ] أصبح مصطلح "الموضع" قديمًا نوعًا ما. [ 7 ] ومع ذلك، لا تزال الكلمة مستخدمة على نطاق واسع، لا سيما لصياغة موجزة، على سبيل المثال:

في الآونة الأخيرة، عادت تقنيات مثل نظرية المخططات ، واستخدام نظرية الفئات بدلاً من نظرية المجموعات لإرساء أساس للرياضيات، إلى مفاهيم أقرب إلى التعريف الأصلي للموضع ككائن في حد ذاته بدلاً من كونه مجموعة من النقاط. [ 5 ]

أمثلة في الهندسة المستوية

تتضمن الأمثلة من الهندسة المستوية ما يلي:

تظهر أمثلة أخرى للمواضع في مجالات مختلفة من الرياضيات. على سبيل المثال، في الديناميكا المعقدة ، تُعد مجموعة ماندلبروت مجموعة جزئية من المستوى المركب يمكن وصفها بأنها موضع الاتصال لعائلة من الدوال متعددة الحدود.

إثبات وجود موضع

لإثبات أن شكلاً هندسياً هو المحل الهندسي الصحيح لمجموعة معينة من الشروط، يُقسّم البرهان عموماً إلى مرحلتين: إثبات أن جميع النقاط التي تحقق الشروط تقع على الشكل المعطى، وإثبات أن جميع النقاط على الشكل المعطى تحقق الشروط. [ 10 ]

أمثلة

(المسافة PA ) = 3.(المسافة PB )

المثال الأول

أوجد المحل الهندسي لنقطة P التي لها نسبة معينة من المسافات k = d 1 / d 2 إلى نقطتين معطيتين.

في هذا المثال k = 3، يتم اختيار A (−1, 0) و B (0, 2) كنقاط ثابتة.

النقطة P ( x , y ) هي نقطة من المحل الهندسي
⇔|Pأ|=3|Pب|{\displaystyle \Leftrightarrow |PA|=3|PB|}
⇔|Pأ|2=9|Pب|2{\displaystyle \Leftrightarrow |PA|^{2}=9|PB|^{2}}
⇔(x+1)2+(y-0)2=9(x-0)2+9(y-2)2{\displaystyle \Leftrightarrow (x+1)^{2}+(y-0)^{2}=9(x-0)^{2}+9(y-2)^{2}}
⇔8(x2+y2)-2x-36y+35=0{\displaystyle \Leftrightarrow 8(x^{2}+y^{2})-2x-36y+35=0}
⇔(x-18)2+(y-94)2=4564.{\displaystyle \Leftrightarrow \left(x-{\frac {1}{8}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {9}{4}}\right)^{2}={\frac {45}{64}}.}

تمثل هذه المعادلة دائرة مركزها (1/8، 9/4) ونصف قطرها385{\displaystyle {\tfrac {3}{8}}{\sqrt {5}}}. إنها دائرة أبولونيوس المحددة بهذه القيم لـ k و A و B.

المثال الثاني

موضع النقطة ج

للمثلث ABC ضلع ثابت [ AB ] طوله c . حدد المحل الهندسي للرأس الثالث C بحيث تكون المتوسطات من A و C متعامدة .

اختر نظام إحداثيات متعامد بحيث تكون A (− c /2, 0)، B ( c /2, 0). C ( x , y ) هي الرأس الثالث المتغير. مركز [ BC ] هو M ((2 x + c )/4, y /2). ميل الوسيط المنطلق من C هو y / x . ميل الوسيط AM هو 2 y / (2 x + 3 c ).

المحل الهندسي عبارة عن دائرة
C ( x , y ) هي نقطة من المحل الهندسي
⇔{\displaystyle \Leftrightarrow }الوسيطات من A و C متعامدة
⇔yx⋅2y2x+3ج=-1{\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {y}{x}}\cdot {\frac {2y}{2x+3c}}=-1}
⇔2y2+2x2+3جx=0{\displaystyle \Leftrightarrow 2y^{2}+2x^{2}+3cx=0}
⇔x2+y2+(3ج/2)x=0{\displaystyle \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+(3c/2)x=0}
⇔(x+3ج/4)2+y2=9ج2/16.{\displaystyle \Leftrightarrow (x+3c/4)^{2}+y^{2}=9c^{2}/16.}

المحل الهندسي للرأس C هو دائرة مركزها (−3 c /4, 0) ونصف قطرها 3 c /4.

المثال الثالث

تمثل نقطة تقاطع الخطين k و l الدائرة

يمكن تعريف الموضع أيضاً بمنحنيين مرتبطين يعتمدان على مُعامل مشترك واحد . إذا تغير هذا المُعامل، فإن نقاط تقاطع المنحنيين المرتبطين تصف الموضع.

في الشكل، النقطتان K و L نقطتان ثابتتان على خط m مُعطى . الخط k خط متغير يمر بالنقطة K. الخط l المار بالنقطة L عمودي على الخط k . الزاويةα{\displaystyle \alpha }يمثل المتغير بين k و m المعامل. أما k و l فهما خطان مرتبطان يعتمدان على هذا المعامل المشترك. وتمثل نقطة التقاطع المتغيرة S بين k و l دائرة. هذه الدائرة هي المحل الهندسي لنقطة تقاطع الخطين المرتبطين.

المثال الرابع

لا يشترط أن يكون المحل الهندسي للنقاط أحادي البعد (كدائرة أو خط مستقيم، إلخ). على سبيل المثال، [ 1 ] المحل الهندسي للمتباينة 2x + 3y – 6 < 0 هو الجزء من المستوى الذي يقع أسفل خط المعادلة 2x + 3y – 6 = 0 .

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 جيمس، روبرت كلارك؛ جيمس، جلين (1992)، قاموس الرياضيات ، سبرينغر، ص  255، ISBN 978-0-412-99041-0.
  2. ↑ وايتهيد، ألفريد نورث (1911)، مقدمة في الرياضيات ، إتش. هولت، ص 121، رقم ISBN  978-1-103-19784-2{{citation}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) .
  3. ↑ كوك، روجر ل. (2012)، "38.3 الطوبولوجيا"، تاريخ الرياضيات: دورة موجزة ( الطبعة الثالثة)، جون وايلي وأولاده، ISBN  9781118460290، إن كلمة "الموضع" هي كلمة ما زلنا نستخدمها اليوم للدلالة على المسار الذي تتبعه نقطة تتحرك وفقًا لقيود محددة، على الرغم من أنه منذ إدخال نظرية المجموعات، يُنظر إلى الموضع في كثير من الأحيان بشكل ثابت على أنه مجموعة النقاط التي تحقق مجموعة معينة.
  4. ↑ بورباكي، ن. (2013)، عناصر تاريخ الرياضيات ، ترجمة ج. ميلدروم ، سبرينغر، ص 26، ISBN  9783642616938لقد تجنب علماء الرياضيات الكلاسيكيون بعناية إدخال مفهوم "اللانهاية الفعلية" في استدلالاتهم..
  5. 1 2 بوروفيك، ألكسندر (2010)، "6.2.4 هل يمكن للمرء أن يعيش بدون اللانهاية الفعلية؟"، الرياضيات تحت المجهر: ملاحظات حول الجوانب المعرفية للممارسة الرياضية ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 124، ISBN  9780821847619.
  6. ↑ مايبيري، جون ب. (2000)، أسس الرياضيات في نظرية المجموعات ، موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد 82، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 7، ISBN   9780521770347تُشكّل نظرية المجموعات الأساس لجميع الرياضيات.
  7. ↑ ليدرمان، والتر؛ فاجدا، س. (1985)، التوافقية والهندسة، الجزء 1 ، دليل الرياضيات التطبيقية، المجلد 5، وايلي، ص 32، ISBN   9780471900238نبدأ بشرح مصطلح قديم الطراز بعض الشيء.
  8. ↑ جورج إي. مارتن، أسس الهندسة والمستوى غير الإقليدي ، سبرينغر-فيرلاغ، 1975.
  9. ↑ هاميلتون، هنري بار (1834)، نظام تحليلي للقطوع المخروطية: مصمم لاستخدام الطلاب ، سبرينغر.
  10. ↑ جي بي ويست، الهندسة الجديدة: الشكل 1 .