نقطة التقاء (تفرد)

في الرياضيات ، تُعرف النقطة المدببة ، والتي تُسمى أحيانًا نقطة الدوران في النصوص القديمة، بأنها نقطة على منحنى حيث يجب على نقطة متحركة أن تُغير اتجاهها. يوضح الشكل مثالًا نموذجيًا. وبالتالي، تُعد النقطة المدببة نوعًا من النقاط الشاذة على المنحنى .

بالنسبة لمنحنى مستوٍ مُعرَّف بمعادلة تحليلية وسيطية

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=f(t)\\y&=g(t),\end{aligned}}}$

النقطة المدببة هي نقطة تكون فيها مشتقتا الدالتين f و g تساويان صفرًا، وتغير فيها إشارة المشتقة الاتجاهية في اتجاه المماس ( اتجاه المماس هو اتجاه الميل).${\displaystyle \lim(g'(t)/f'(t))}$تُعدّ النقاط الحدّية نقاطًا شاذة محلية ، بمعنى أنها تتضمن قيمة واحدة فقط للمعامل t ، على عكس نقاط التقاطع الذاتي التي تتضمن أكثر من قيمة. في بعض السياقات، يمكن حذف شرط المشتقة الاتجاهية، مع أن النقطة الشاذة في هذه الحالة قد تبدو كنقطة عادية.

بالنسبة لمنحنى مُعرَّف بمعادلة ضمنية

${\displaystyle F(x,y)=0,}$

وهي نقطة ملساء ، وتُعرف النقاط المدببة بأنها النقاط التي تكون فيها حدود أدنى درجة في متسلسلة تايلور للدالة F عبارة عن قوة لكثير حدود خطي ؛ ومع ذلك، ليست كل النقاط الشاذة التي تتمتع بهذه الخاصية نقاطًا مدببة. تشير نظرية متسلسلات بويزو إلى أنه إذا كانت F دالة تحليلية (على سبيل المثال، كثير حدود )، فإن تغييرًا خطيًا للإحداثيات يسمح بتمثيل المنحنى ، في جوار النقطة المدببة، على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=at^{m}\\y&=S(t),\end{aligned}}}$

حيث a عدد حقيقي ، وm عدد صحيح زوجي موجب ، و S ( t ) متسلسلة قوى من الرتبة k (درجة الحد غير الصفري ذي الدرجة الأدنى) أكبر من m . يُطلق على العدد m أحيانًا رتبة أو تعددية الحد، وهو يساوي درجة الجزء غير الصفري ذي الدرجة الأدنى من F. في بعض السياقات، يقتصر تعريف الحد على حالة الحدود من الرتبة الثانية، أي الحالة التي يكون فيها m = 2 .

تم تعميم تعريفات المنحنيات المستوية والمنحنيات المحددة ضمنيًا بواسطة رينيه ثوم وفلاديمير أرنولد لتشمل المنحنيات المحددة بواسطة الدوال القابلة للتفاضل : يكون للمنحنى نقطة حادة عند نقطة ما إذا كان هناك تماثل تفاضلي لجوار النقطة في الفضاء المحيط، والذي يرسم المنحنى على إحدى النقاط الحادة المحددة أعلاه.

لنفترض دالة حقيقية سلسة لمتغيرين ، ولتكن f ( x , y ) حيث x و y عددان حقيقيان . إذن، f دالة من المستوى إلى الخط. يخضع فضاء جميع هذه الدوال السلسة لتأثير زمرة التشاكلات التفاضلية للمستوى والخط، أي التغيرات التفاضلية للإحداثيات في كل من المصدر والهدف . يقسم هذا التأثير فضاء الدالة بأكمله إلى فئات تكافؤ ، أي مدارات تأثير الزمرة .

يُرمز إلى إحدى هذه العائلات من فئات التكافؤ بـ ⁠${\displaystyle A_{k}^{\pm },}$حيث k عدد صحيح غير سالب. يُقالإنالدالة f من النوع${\displaystyle A_{k}^{\pm }}$إذا كان يقع في مدار${\displaystyle x^{2}\pm y^{k+1},}$أي أن هناك تغييرًا تماثليًا للإحداثيات في المصدر والهدف يأخذ f إلى أحد هذه الأشكال. هذه الأشكال البسيطة${\displaystyle x^{2}\pm y^{k+1}}$يقال إنها تعطي أشكالاً طبيعية للنوع${\displaystyle A_{k}^{\pm }}$- نقاط التفرد . لاحظ أن${\displaystyle A_{2n}^{+}}$هي نفسها الـ${\displaystyle A_{2n}^{-}}$بما أن التغيير التفاضلي للإحداثيات${\displaystyle (x,y)\to (x,-y)}$يأخذ المصدر${\displaystyle x^{2}+y^{k+1}}$ل${\displaystyle x^{2}-y^{2n+1}.}$لذا يمكننا حذف ± من ⁠${\displaystyle A_{2n}^{\pm }}$الترميز .

ثم يتم تحديد نقاط التحول بواسطة مجموعات المستوى الصفري لممثلي ⁠${\displaystyle A_{2n}}$فئات التكافؤ ، حيث n ≥ 1 هو عدد صحيح.

• يُعطى الحدبة العادية بواسطة${\displaystyle x^{2}-y^{3}=0,}$أي مجموعة المستوى الصفري لنقطة تفرد من النوع A2 _. لنفترض أن f ( x , y ) دالة سلسة لـ x و y، ولنفترض، للتبسيط، أن f (0, 0) = 0. عندئذٍ ، يمكن وصف نقطة التفرد من النوع A2 _للدالة f عند (0, 0) بما يلي:
  1. بوجود جزء تربيعي منعدم، أي أن الحدود التربيعية في متسلسلة تايلور للدالة f تُشكل مربعًا كاملًا، ولنقل L ( x , y ) ^² ، حيث L ( x , y ) دالة خطية في x و y ، و
  2. لا يقسم L ( x , y ) الحدود التكعيبية في متسلسلة تايلور لـ f ( x , y ) .
• يشير مصطلح "الحدبة المعينية " ( من اليونانية بمعنى " شبيهة بالمنقار " ) في الأصل إلى حدبة يكون فيها كلا الفرعين على نفس جانب المماس ^{[ 1 ]} ، كما هو الحال بالنسبة لمنحنى المعادلة ${\displaystyle (xy^{2})^{2}-y^{5}=0}$. بما أن هذه النقطة الشاذة تقع في نفس الفئة التفاضلية التي تقع فيها نقطة التقاء المعادلة${\displaystyle x^{2}-y^{5}=0,}$وهي حالة شاذة من النوع A ₄ ، وقد تم توسيع المصطلح ليشمل جميع هذه الحالات الشاذة. هذه النتوءات غير عامة مثل الكاوستيكات وجبهات الموجات . النتوء المعيني والنتوء العادي غير متماثلين. الشكل البارامتري هو${\displaystyle x=t^{2},\,y=at^{4}+t^{5},\,a\neq 0.}$

بالنسبة لنوع A ₄ -singularity نحتاج إلى أن يكون لـ f جزء تربيعي متدهور (هذا يعطي النوع A _≥2 )، وأن L يقسم الحدود التكعيبية (هذا يعطي النوع A _≥3 )، وشرط قابلية القسمة آخر (يعطي النوع A _≥4 )، وشرط عدم قابلية القسمة النهائي (يعطي النوع A ₄ بالضبط ).

لفهم مصدر شروط قابلية القسمة الإضافية هذه، افترض أن للدالة f جزءًا تربيعيًا منعدمًا L² ^، وأن L يقسم الحدود التكعيبية. يترتب على ذلك أن متسلسلة تايلور من الرتبة الثالثة للدالة f تُعطى بالصيغة التالية:${\displaystyle L^{2}\pm LQ,}$حيث Q دالة تربيعية في x و y . يمكننا إكمال المربع لإثبات ذلك.${\displaystyle L^{2}\pm LQ=(L\pm Q/2)^{2}-Q^{4}/4.}$يمكننا الآن إجراء تغيير شكلي للمتغير (في هذه الحالة نستبدل ببساطة كثيرات الحدود بأجزاء خطية مستقلة خطيًا ) بحيث${\displaystyle (L\pm Q/2)^{2}-Q^{4}/4\to x_{1}^{2}+P_{1}}$حيث P1 دالة من الدرجة الرابعة (الرتبة _{الرابعة )} في x1 و y1 . شرط قابلية القسمة للنوع A _{≥ 4 هو} أن x1 يقسم P1 . إذا لم يقسم _{x1 دالة} P1 _، فإننا نحصل على النوع A3 تحديدًا _{( مجموعة} المستوى الصفري هنا هي عقدة ). إذا كان _x1 يقسم دالة P1 ، فإننا _نكمل المربع على${\displaystyle x_{1}^{2}+P_{1}}$ونغير الإحداثيات بحيث يكون لدينا${\displaystyle x_{2}^{2}+P_{2}}$حيث P ₂ دالة من الدرجة الخامسة في x 2 _و y 2. _إذا لم يقسم x _{2 الدالة} P _2، فإننا نحصل بالضبط على النوع A ₄ ، أي أن مجموعة المستوى الصفري ستكون حدبة منحنيّة.

تظهر النقاط المدببة بشكل طبيعي عند إسقاط منحنى أملس في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد على مستوى . عمومًا، يكون هذا الإسقاط منحنىً تتمثل نقاطه الشاذة في نقاط التقاطع الذاتي والنقاط المدببة العادية. تظهر نقاط التقاطع الذاتي عندما يكون لنقطتين مختلفتين من المنحنى نفس الإسقاط. أما النقاط المدببة العادية فتظهر عندما يكون المماس للمنحنى موازيًا لاتجاه الإسقاط (أي عندما يسقط المماس على نقطة واحدة). وتحدث نقاط شاذة أكثر تعقيدًا عند حدوث عدة ظواهر في آن واحد. على سبيل المثال، تظهر النقاط المدببة المعينية عند نقاط الانعطاف (وعند نقاط التموج ) التي يكون فيها المماس موازيًا لاتجاه الإسقاط.

في كثير من الحالات، وخاصة في مجالي رؤية الحاسوب ورسومات الحاسوب ، يكون المنحنى المُسقط هو منحنى النقاط الحرجة لتقييد الإسقاط على جسم مكاني (أملس). وبالتالي، يظهر الحدبة كنقطة تفرد في محيط صورة الجسم (في الرؤية) أو ظله (في رسومات الحاسوب).

تعتبر الكاوستيكات وجبهات الموجات أمثلة أخرى على المنحنيات التي تحتوي على نقاط حادة مرئية في العالم الحقيقي.

• كارثة على حافة الهاوية
• نمط القلب

• بروس، جيه دبليو؛ جيبيلين، بيتر (1984). المنحنيات والنقاط الشاذة . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-42999-3.
• بورتيوس، إيان (1994). التفاضل الهندسي . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-39063-7.

• علماء الفيزياء يرون الكون في فنجان قهوة