القطع الناقص الفائق

القطع الناقص الفائق ، المعروف أيضًا باسم منحنى لاميه نسبة إلى غابرييل لاميه ، هو منحنى مغلق يشبه القطع الناقص ، مع الاحتفاظ بالميزات الهندسية للمحور شبه الرئيسي والمحور شبه الثانوي ، والتناظر حولهما، ولكن يتم تعريفه من خلال معادلة تسمح بأشكال مختلفة بين المستطيل والقطع الناقص.

في نظام الإحداثيات الديكارتية ثنائي الأبعاد ، يتم تعريف القطع الناقص الفائق على أنه مجموعة جميع النقاط على المنحنى التي تلبي المعادلة حيث و هي أرقام موجبة يشار إليها بأقطار أو محاور نصف القطع الناقص الفائق، و هي معلمة موجبة تحدد الشكل. عندما يكون القطع الناقص الفائق قطعًا ناقصًا عاديًا. بالنسبة لـ يكون الشكل مستطيلًا أكثر بزوايا مستديرة، وبالنسبة لـ يكون أكثر مدببًا. ^{[1] [2] [3]}${\displaystyle (x,y)}$$${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,}$$${\displaystyle أ}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle 0<n<2}$

في نظام الإحداثيات القطبية ، معادلة القطع الناقص الفائق هي (مجموعة جميع النقاط على المنحنى التي تلبي المعادلة):${\displaystyle (r,\theta )}$$${\displaystyle r=\left(\left|{\frac {\cos(\theta )}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {\sin(\theta )}{b}}\right|^{n}\!\right)^{-1/n}\!.}$$

تحدد هذه الصيغة منحنى مغلق موجود في المستطيل − a ≤ x ≤ + a و − b ≤ y ≤ + b . المعلمات و هي أنصاف أقطار أو أنصاف محاور المنحنى. يتم تحديد الشكل العام للمنحنى من خلال قيمة الأس ، كما هو موضح في الجدول التالي: ${\displaystyle أ}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle 0<n<1}$	يبدو القطع الناقص الفائق مثل نجم ذي أربعة أذرع وجوانب مقعرة (منحنية للداخل). بالنسبة لـ ، على وجه الخصوص، كل من الأقواس الأربعة عبارة عن جزء من قطع مكافئ . الكويكب هو الحالة الخاصة ،${\displaystyle n=1/2}$ ${\displaystyle أ=ب}$${\displaystyle n=2/3}$
${\displaystyle n=1}$	المنحنى عبارة عن معين له زوايا ( ) و ( ). ${\displaystyle \pm a,0}$${\displaystyle 0,\pm b}$
${\displaystyle 1<n<2}$	يبدو المنحنى مثل المعين بنفس الزوايا ولكن بأضلاع محدبة (منحنية للخارج). يزداد الانحناء بلا حدود كلما اقتربنا من نقاطه القصوى.
${\displaystyle n=2}$	المنحنى عبارة عن قطع ناقص عادي (على وجه الخصوص، دائرة إذا ). ${\displaystyle أ=ب}$
${\displaystyle n>2}$	يبدو المنحنى ظاهريًا مثل المستطيل ذي الزوايا المستديرة. الانحناء يساوي صفرًا عند النقطتين ( ) و ( ). ${\displaystyle \pm a,0}$${\displaystyle 0,\pm b}$

إذا كان الشكل يسمى أيضًا ناقصًا ناقصًا ؛ وإذا كان ناقصًا زائدًا . وعندما يكون و فإن القطع الناقص الفائق هو حدود كرة في القاعدة - . النقاط القصوى للقطع الناقص الفائق هي ( ) و ( )، و"زواياه" الأربع هي ( ، )، حيث (يُطلق عليها أحيانًا "القطع الناقص الفائق" ^[4] ). ${\displaystyle n<2}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle أ=ب}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pm a,0}$${\displaystyle 0,\pm b}$${\displaystyle \pm s_{a}}$${\displaystyle \pm s_{b}}$${\displaystyle s=2^{-1/n}}$

عندما يكون n عددًا نسبيًا موجبًا (بأدنى قيمة)، فإن كل ربع من القطع الناقص الفائق يكون منحنى جبريًا مستويًا من الدرجة . ^[5] وعلى وجه الخصوص، عندما يكون n عددًا صحيحًا زوجيًا، فإنه يكون منحنى فيرما من الدرجة n . في هذه الحالة يكون غير مفرد، ولكن بشكل عام سيكون مفردًا . إذا لم يكن البسط زوجيًا، فسيتم تجميع المنحنى من أجزاء من نفس المنحنى الجبري في اتجاهات مختلفة. ${\displaystyle p/q}$${\displaystyle p/q}$${\displaystyle أ=ب=1}$

يتم تحديد المنحنى بواسطة المعادلات البارامترية (مع عدم وجود تفسير هندسي أولي للمعامل) حيث يمكن اختيار كل منها على حدة بحيث تعطي كل قيمة أربع نقاط على المنحنى. على نحو مكافئ، نترك النطاق فوق حيث تكون دالة الإشارة هنا ليست الزاوية بين المحور الأفقي الموجب والشعاع من الأصل إلى النقطة، حيث أن ظل هذه الزاوية يساوي بينما في التعبيرات البارامترية${\displaystyle t}$$${\displaystyle \left.{\begin{aligned}x\left(t\right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}t\y\left(t\right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}t\end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}}$$${\displaystyle \pm }$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 0\leq t<2\pi ,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(t\right)&={\left|\cos t\right|}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\\y\left(t\right)&={\left|\sin t\right|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin t)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \operatorname {sgn}(w)={\begin{cases}-1,&w<0\\0,&w=0\\+1,&w>0.\end{cases}}}$$${\displaystyle t}$${\displaystyle y/x}$${\textstyle {\frac {y}{x}}={\frac {b}{a}}(\tan t)^{2/n}\neq \tan t.}$

يمكن التعبير عن المساحة داخل القطع الناقص الفائق من حيث دالة جاما أو من حيث دالة بيتا$${\displaystyle \mathrm {Area} =4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}},}$$

${\displaystyle \mathrm {Area} ={\frac {4ab}{n}}\mathrm {B} \!\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}+1\right).}$^[6]

لا يسمح محيط القطع الناقص الفائق، مثل محيط القطع الناقص، بالحل المغلق باستخدام الدوال الأولية فقط . توجد حلول دقيقة لمحيط القطع الناقص الفائق باستخدام المجاميع اللانهائية ؛ ^[7] ويمكن اقتطاع هذه المجاميع للحصول على حلول تقريبية. التكامل العددي هو خيار آخر للحصول على تقديرات المحيط بدقة تعسفية.

التقريب المغلق الشكل الذي تم الحصول عليه من خلال الانحدار الرمزي هو أيضًا خيار يوازن بين الاقتصاد والدقة. ضع في اعتبارك شكلًا بيضاويًا فائقًا يتركز حول أصل المستوى ثنائي الأبعاد. الآن، تخيل أن الشكل البيضاوي الفائق (مع معامل الشكل ) ممتد بحيث يكون الربع الأول (على سبيل المثال، ، ) عبارة عن قوس من إلى ، مع . بعد ذلك، يتم تقريب طول قوس الشكل البيضاوي الفائق داخل هذا الربع الفردي على أنه الدالة التالية لـ و : ^[8]${\displaystyle n}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle y>0}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (0,h)}$${\displaystyle h\geq 1}$${\displaystyle h}$${\displaystyle n}$

h + (((((n-0.88487077) * h + 0.2588574 / h) ^ exp(n / -0.90069205)) + h) + 0.09919785) ^ (-1.4812293 / n)

يعد تقريب طول القوس في الربع الواحد دقيقًا بنسبة ±0.2% لجميع قيم ، ويمكن استخدامه لتقدير المحيط الإجمالي للقطع الناقص الفائق بكفاءة. ${\displaystyle n}$

إن منحنى الدواسة سهل الحساب نسبيًا. على وجه التحديد، يتم إعطاء دواسة الإحداثيات القطبية بواسطة ^[9]$${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,}$$$${\displaystyle (a\cos \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}+(b\sin \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}=r^{\tfrac {n}{n-1}}.}$$

This section needs expansion. You can help by adding to it. (June 2008)

يمكن أن يتضمن تعميم هذه الأشكال عدة طرق. تحتفظ تعميمات القطع الناقص الفائق في الأبعاد الأعلى بالهيكل الرياضي الأساسي للقطع الناقص الفائق مع تكييفه مع سياقات وتطبيقات مختلفة.

تحتفظ تعميمات القطع الناقص الفائق في الأبعاد الأعلى بالبنية الرياضية الأساسية للقطع الناقص الفائق مع تكييفها مع سياقات وتطبيقات مختلفة. ^[10]

• يمتد القطع الناقص الفائق إلى ثلاثة أبعاد، مما يخلق أشكالًا تتنوع بين القطع الناقص والمستطيلات ذات الحواف المستديرة. يتم تعريف القطع الناقص الفائق على أنه مجموعة جميع النقاط التي تلبي المعادلة: حيث و هي أرقام موجبة يشار إليها باسم أنصاف محاور القطع الناقص الفائق، و هي معلمة موجبة تحدد الشكل. ^[6]${\displaystyle (x,y,z)}$$${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {z}{c}}\right|^{n}\!=1,}$$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle n}$
• القطع الناقص الزائد هو نظير القطع الناقص ذي الأبعاد المختلفة (وبالتالي القطع الناقص الفائق). وهو يُعرَّف بأنه مجموعة جميع النقاط التي تحقق المعادلة: حيث هي أرقام موجبة يشار إليها باسم أنصاف محاور القطع الناقص الزائد، و هي معلمة موجبة تحدد الشكل. ^[11]${\displaystyle d}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{d})}$$${\displaystyle \left|{\frac {x_{1}}{a_{1}}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {x_{2}}{a_{2}}}\right|^{n}\!+\ldots +\left|{\frac {x_{d}}{a_{d}}}\right|^{n}\!=1,}$$${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{d}}$${\displaystyle n}$

استخدام أسس مختلفة لكل مصطلح في المعادلة، مما يسمح بمزيد من المرونة في تكوين الشكل. ^[12]

بالنسبة للحالة ثنائية الأبعاد، تكون المعادلة حيث تساوي أو تختلف عن . إذا كانت ، فهي القطع الناقص الفائق للامي. إذا كانت ، فإن المنحنى يتمتع بمرونة أكبر في السلوك، ومن الممكن أن يكون أكثر ملاءمة لوصف بعض المعلومات التجريبية. ^[11]${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1;m,n>0,}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m=n}$${\displaystyle m\neq n}$

بالنسبة للحالة ثلاثية الأبعاد، يمكن استخدام ثلاث قوى موجبة مختلفة ، و في المعادلة . إذا ، يتم الحصول على شكل بيضاوي فائق. إذا اختلفت أي قوتين أو كل القوى الثلاث عن بعضها البعض، يتم الحصول على جسم صلب قد يمتلك مرونة أكبر في تمثيل البيانات البنيوية الحقيقية من الشكل البيضاوي الفائق. يمثل الشكل البيضاوي الفائق ثلاثي الأبعاد مع ، ونصف القطر ، هيكل المركز الوطني للفنون المسرحية في الصين. ^[11]${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {z}{c}}\right|^{p}\!=1}$${\displaystyle m=n=p}$${\displaystyle m=n=2.2}$${\displaystyle p=2.4}$${\displaystyle a=b=1}$${\displaystyle c=0.5}$

في الحالة العامة ذات الأبعاد، تكون المعادلة هي ، حيث بشكل عام، قد تختلف عن بعضها البعض. إنه الشكل الإهليلجي الفائق فقط إذا . ^[11]${\displaystyle N}$${\displaystyle \left|{\frac {x_{1}}{a_{1}}}\right|^{N_{1}}\!\!+\left|{\frac {x_{2}}{a_{2}}}\right|^{N_{2}}\!+\ldots +\left|{\frac {x_{N}}{a_{N}}}\right|^{N_{N}}\!=1}$${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{N}}$${\displaystyle n_{1}=n_{2}=\ldots =n_{N}=n}$

المربعات الفائقة هي عائلة من الأشكال التي تتضمن القطع الناقص الفائق كحالة خاصة. تُستخدم في الرسومات الحاسوبية والنمذجة الهندسية لإنشاء أشكال معقدة وسلسة ذات معلمات قابلة للتعديل بسهولة. ^[13] على الرغم من أنها ليست تعميمًا مباشرًا للقطع الناقص الفائق، إلا أن الكرات الفائقة تشترك أيضًا في مفهوم توسيع الأشكال الهندسية إلى أبعاد أعلى. توضح هذه الأشكال ذات الصلة تنوع المبادئ الأساسية التي تقوم عليها القطع الناقص الفائق وإمكانية تطبيقها على نطاق واسع.

يتضمن القياس المتباين الخواص قياس الشكل بشكل مختلف على طول محاور مختلفة، مما يوفر تحكمًا إضافيًا في الهندسة. يمكن تطبيق هذا النهج على القطع الناقص الفائق، والقطع الناقص الفائق، ونظائرها ذات الأبعاد الأعلى لإنتاج مجموعة متنوعة أكبر من الأشكال وملاءمة المتطلبات المحددة بشكل أفضل في التطبيقات مثل الرسومات الحاسوبية والتصميم البنيوي وتصور البيانات. على سبيل المثال، يسمح القياس المتباين الخواص بإنشاء أشكال يمكنها نمذجة الأشياء في العالم الحقيقي بدقة أكبر من خلال ضبط النسب على طول كل محور بشكل مستقل. ^[14]

يأتي التدوين الديكارتي العام للشكل من عالم الرياضيات الفرنسي غابرييل لامي (1795-1870)، الذي قام بتعميم معادلة القطع الناقص.

يستخدم خط Melior الذي ابتكره هيرمان زابف ، والذي نُشر عام 1952، أشكال القطع الناقص الفائقة للحروف مثل o . وبعد ثلاثين عامًا، قام دونالد كنوث ببناء القدرة على الاختيار بين أشكال القطع الناقص الحقيقية والقطع الناقص الفائقة (كلاهما مقرب بواسطة خطوط مكعبة ) في عائلة خطوط الكمبيوتر الحديثة الخاصة به .

تم تسمية القطع الناقص الفائق من قبل الشاعر والعالم الدنماركي بيت هاين (1905-1996) على الرغم من أنه لم يكتشفه كما يُزعم أحيانًا. في عام 1959، أعلن مخططو المدن في ستوكهولم ، السويد عن تحدي تصميم لدوار في ساحة مدينتهم سيرجيلز تورج . كان اقتراح بيت هاين الفائز قائمًا على قطع ناقص فائق مع n = 2.5 و a / b = 6/5. ^[15] كما أوضح ذلك:

إن الإنسان هو الحيوان الذي يرسم خطوطاً ثم يتعثر هو نفسه فيها. وفي كل أنماط الحضارة كان هناك اتجاهان، أحدهما نحو الخطوط المستقيمة والأنماط المستطيلة، والآخر نحو الخطوط الدائرية. وهناك أسباب ميكانيكية ونفسية وراء كلا الاتجاهين. فالأشياء المصنوعة بخطوط مستقيمة تتلاءم مع بعضها البعض بشكل جيد وتوفر المساحة. ونحن نستطيع أن نتحرك بسهولة ـ جسدياً أو عقلياً ـ حول الأشياء المصنوعة بخطوط دائرية. ولكننا نخضع لقيود، ونضطر إلى قبول أحد الخيارين، في حين أن بعض الأشكال الوسطية غالباً ما تكون أفضل. إن رسم شيء ما يدوياً ـ مثل دوار المرور الذي جربوه في ستوكهولم ـ لن يكون كافياً. فهو ليس ثابتاً، وليس محدداً مثل الدائرة أو المربع. فأنت لا تعرف ما هو. وهو ليس مرضياً من الناحية الجمالية. وقد حلت القطع الناقص الفائق المشكلة. فهو ليس دائرياً ولا مستطيلاً، بل هو في المنتصف بينهما. ومع ذلك فهو ثابت ومحدد ـ وله وحدة.

اكتمل بناء سيرجيلز تورج في عام 1967. وفي الوقت نفسه، واصل بيت هاين استخدام القطع الناقص الفائق في قطع أثرية أخرى، مثل الأسرة والأطباق والطاولات وما إلى ذلك. ^[16] من خلال تدوير القطع الناقص الفائق حول أطول محور، ابتكر البيضة الفائقة ، وهي شكل صلب يشبه البيضة يمكن أن يقف منتصبًا على سطح مستو، وتم تسويقه كلعبة جديدة .

في عام 1968، عندما لم يتمكن المفاوضون في باريس بشأن حرب فيتنام من الاتفاق على شكل طاولة المفاوضات، اقترح بالينسكي وكيرون أندروود وهولت طاولة بيضاوية الشكل في رسالة إلى صحيفة نيويورك تايمز . ^[15] تم استخدام الشكل البيضاوي الشكل لشكل ملعب أزتيكا الأوليمبي عام 1968 ، في مدينة مكسيكو .

يتكون الطابق الثاني من مركز التجارة العالمي الأصلي في مدينة نيويورك من شرفة كبيرة على شكل قطع ناقص كبير.

قام والدو ر. توبلر بتطوير إسقاط خريطة ، إسقاط توبلر الإهليلجي الفائق ، والذي نُشر في عام 1973، ^[17] حيث تكون خطوط الطول عبارة عن أقواس من القطع الناقص الفائق.

يتكون شعار شركة الأخبار The Local من شكل بيضاوي مائل يطابق أبعاد Sergels Torg. يتم استخدام ثلاثة أشكال بيضاوية متصلة في شعار فريق Pittsburgh Steelers .

في الحوسبة، يستخدم نظام التشغيل المحمول iOS منحنى القطع الناقص الفائق لأيقونات التطبيقات، ليحل محل نمط الزوايا المستديرة المستخدم حتى الإصدار 6. ^[18]

• النجم النجمي ، وهو القطع الناقص الفائق الذي n  =  2 ⁄ 3 و a  =  b ، هو شكل حلزوني تحت دائري له أربع قمم.
  • منحنى الدالية ، المنحنى تحت الدائري لثلاث قمم.
• يبدو الشكل الدائري ، وهو القطع الناقص الفائق الذي n  = 4 و a  =  b ، مثل "العجلة ذات الزوايا الأربع".
  • مثلث رولو ، "العجلة ذات الزوايا الثلاث".
• صيغة فائقة ، تعميم للقطع الناقص الفائق.
• المربعات الفائقة : القطع الناقص الفائق والمستطيلات الفائقة ، وهي "الأقارب" ثلاثية الأبعاد للمستطيلات الفائقة.
• المنحنى الفائق القطع الناقص ، معادلة من النموذج Y ⁿ = f ( X ).
• مساحات L ^p

• سوكولوف، د. د. (2001) [1994]، "منحنى لاميه"، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS
• "منحنى لاميه" في MathCurve.
• وايسشتاين، إريك دبليو. "القطع الناقص الفائق". MathWorld .
• أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند ف ، "المنحنيات العرجاء"، أرشيف تاريخ الرياضيات في ماكتوتور ، جامعة سانت أندروز
• "Super Ellipse" على 2dcurves.com
• حاسبة القطع الناقص الفائق ومولد القوالب
• صندوق أدوات تركيب القطع الناقص الفائق في MATLAB
• كود C لتركيب القطع الناقص الفائقة