النظرية التقاربية (الإحصاء)

التسلسل${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$يقال إنها متسقة (بشكل ضعيف) ، إذا تقاربت احتمالياً مع القيمة الحقيقية للمعلمة التي يتم تقديرها:

$${\displaystyle {\hat {\theta}}_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ \theta _{0}.}$$

هذا يعني أن احتمال اقتراب القيمة المقدرة بشكل تعسفي من${\displaystyle \theta _{0}}$يتقارب إلى الصفر عندما${\displaystyle n}$يؤول إلى اللانهاية. ^{[ 2 ]} وبشكل أكثر تحديدًا، إذا كان تقارب${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ل${\displaystyle \theta _{0}}$هو من رتبة عشوائية${\displaystyle 1/a_{n}}$(مكتوب أيضًا)${\displaystyle {\textit {O}}_{p}(1/a_{n})}$) لبعض التسلسلات${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$من الأعداد الحقيقية التي تتباعد إلى ما لا نهاية، أي

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} (|a_{n}({\hat {\theta }}_{n}-\theta _{0})|>K)=0\quad {\text{for all }}K>0,}$$

ثم${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle a_{n}}$متسق . ^{[ 3 ]}

يقال إن سلسلة التقديرات متسقة بقوة ، إذا كانت تتقارب بشكل شبه مؤكد مع المعلمة الحقيقية:

$${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}{\overset {\mathrm {a.s.} }{\longrightarrow }}\ \theta _{0}.}$$

الفرق الدقيق بين المُقدِّر المتسق بشكل ضعيف والمُقدِّر المتسق بشكل قوي هو أن المُقدِّر المتسق بشكل قوي يضمن الاقتراب بشكل تعسفي من${\displaystyle \theta _{0}}$مثل${\displaystyle n}$يميل إلى اللانهاية في النهاية.

إذا كان من الممكن إيجاد متواليات من الثوابت غير العشوائية${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$،${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$(ربما يعتمد ذلك على القيمة)${\displaystyle \theta _{0}}$)، وتوزيع غير منحط${\displaystyle \mu }$بحيث

$${\displaystyle b_{n}({\hat {\theta }}_{n}-a_{n})\ \xrightarrow {d} \ \mu ,}$$

ثم سلسلة المقدرات${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}}$يقال إن لها التوزيع التقاربي${\displaystyle \mu }$.

في أغلب الأحيان، يكون التوزيع التقاربي للمُقدِّرات التي تُصادف في الممارسة العملية هو التوزيع الطبيعي.${\displaystyle \mu ={\mathcal {N}}(0,V)}$لبعض مصفوفة التغاير${\displaystyle V}$وفي هذه الحالة، يُطلق على المُقدِّر اسم المُقدِّر الطبيعي تقاربياً . ^{[ 4 ]} ويشترط بعض المؤلفين تحديداً${\displaystyle a_{n}=\theta _{0}}$و${\displaystyle b_{n}={\sqrt {n}}}$ثم نسمي متتالية المقدرات طبيعية تقاربياً لـ${\displaystyle \theta _{0}}$[ ^{5 ]​}

يُطلق على المتتالية اسم المتتالية غير المتحيزة في النهاية ، إذا${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {E} [{\hat {\theta }}_{n}]=\theta _{0}}$[ ^{6 ]} يُطلق على المُقدِّر الذي يتمتع بهذه الخاصية أحيانًا اسم ^{المُقدِّر} غير المتحيز تقريبًا . ^{[ 7 ]}

يُطلق على المتتالية اسم المتتالية غير المتحيزة تقاربياً بالنسبة للمعامل${\displaystyle \theta _{0}}$، لو${\displaystyle \sigma _{n}({\hat {\theta }}_{n}-\theta _{0})}$يتقارب في التوزيع إلى متغير عشوائي${\displaystyle G\neq 0}$مع${\displaystyle \mathbb {E} [G]=0}$لبعض التسلسلات${\displaystyle (\sigma _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$من الأعداد الحقيقية. ^{[ 8 ]}

إذا وُجدت متتالية${\displaystyle (\tau _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$من الأعداد الحقيقية بحيث${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\tau _{n}\mathrm {Var} ({{\hat {\theta }}_{n}})=\sigma ^{2}}$، ثم${\displaystyle \sigma ^{2}}$يُطلق عليه اسم التباين المحدود لـ${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$عادةً ما يتم اختياره${\displaystyle \tau _{n}=n}$[ ^{9 ]​}

إذا وُجدت متتالية${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$بحيث

$${\displaystyle b_{n}({\hat {\theta }}_{n}-\theta _{0})\xrightarrow {d} G}$$

مع${\displaystyle 0<\mathbb {E} [G^{2}]<\infty }$، ثم${\displaystyle V=\mathrm {Var} (G)}$يُطلق عليه اسم التباين التقاربي لـ${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$^{[ 10 ]} على وجه الخصوص ، إذا${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$إذا كان غير متحيز تقاربياً،${\displaystyle V=\mathbb {E} [G^{2}]}$.

تُسمى المتتالية فعالة تقاربياً ، إذا كانت طبيعية تقاربياً لـ${\displaystyle \theta _{0}}$وتباينها التقاربي هو${\displaystyle V=I(\theta _{0})^{-1}}$مع معلومات فيشر${\displaystyle I(\theta _{0})}$أي أن التباين التقاربي يحقق حد كرامر-راو . ^{[ 11 ] [ 12 ]}

إذا كانت التقديرات على الشكل${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(X_{i})}$لبعض الوظائف القابلة للقياس${\displaystyle f}$بحيث${\displaystyle \mathbb {E} [|f(X_{1})|]<\infty }$ثم، وفقًا لقانون الأعداد الكبيرة القوي

$${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}\xrightarrow {a.s.} \mathbb {E} [f(X_{1})].}$$

وبالتالي، إذا${\displaystyle \theta =\mathbb {E} [f(X_{1})]}$، ثم${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$متسق للغاية.

يفترض${\displaystyle \theta =f(\tau )}$بالنسبة لبعض المعايير الأخرى${\displaystyle \tau }$ودالة متصلة${\displaystyle f}$. بالنظر إلى سلسلة متسقة (بشكل قوي) من المقدرات${\displaystyle ({\hat {\tau }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$بالنسبة للمعامل${\displaystyle \tau }$ثم، وفقًا لنظرية التطبيق المستمر ، فإن سلسلة المقدرات${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(f({\hat {\tau }}_{n}))_{n\in \mathbb {N} }}$متسق (بقوة) بالنسبة للمعامل${\displaystyle \theta }$[ ^{15 ]​}

إذا كانت التقديرات على الشكل${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(X_{i})}$لبعض الدوال القابلة للقياس ذات القيم الحقيقية${\displaystyle f}$بحيث${\displaystyle \mathbb {E} [|f(X_{1})|^{2}]<\infty }$ثم، بحسب نظرية النهاية المركزية ،${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$طبيعي تقاربياً بالمعنى

$${\displaystyle {\sqrt {n}}{\frac {{\hat {\theta }}_{n}-\mu }{\sigma }}\ {\overset {d}{\longrightarrow }}\ {\mathcal {N}}(0,1)}$$

مع التعريفات${\displaystyle \mathbb {E} [f(X_{1})]=\mu }$و${\displaystyle \mathrm {Var} (f(X_{1}))=\sigma ^{2}}$.

إذا كانت التقديرات على الشكل${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}=\max _{i=1,\dots ,n}f(X_{i})}$لبعض الدوال القابلة للقياس ذات القيم الحقيقية${\displaystyle f}$وإذا وُجدت متتابعات${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$و${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$وتوزيع غير منحط${\displaystyle G}$بحيث

$${\displaystyle {\frac {{\hat {\theta }}_{n}-a_{n}}{b_{n}}}\ {\overset {d}{\longrightarrow }}\ G,}$$

ثم، وفقًا لنظرية فيشر-تيبت-غنيدينكو ، التوزيع التقاربي${\displaystyle G}$ل${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$هو توزيع القيمة القصوى المعمم .

يفترض${\displaystyle \theta =f(\tau )}$بالنسبة لبعض المعايير الأخرى${\displaystyle \tau }$ودالة قابلة للتفاضل${\displaystyle f}$مع${\displaystyle \nabla f(\tau )\neq 0}$. بالنظر إلى سلسلة من المقدرات${\displaystyle ({\hat {\tau }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$بالنسبة للمعامل${\displaystyle \tau }$له توزيع تقاربي${\displaystyle G}$بمعنى

$${\displaystyle {\frac {{\hat {\tau }}_{n}-\tau }{\sigma _{n}}}\ {\overset {d}{\longrightarrow }}\ Z\sim G}$$

لبعض متتابعات الأعداد الحقيقية${\displaystyle (\sigma _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ثم باستخدام طريقة دلتا ، سلسلة المقدرات${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(f({\hat {\tau }}_{n}))_{n\in \mathbb {N} }}$له توزيع تقاربي لـ${\displaystyle \nabla f(\tau )^{\top }Z}$.

في الحالة الخاصة، حيث${\displaystyle ({\hat {\tau }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$يكون طبيعيًا تقاربيًا لـ${\displaystyle \tau }$مع التباين التقاربي${\displaystyle V}$، التسلسل${\displaystyle ({\hat {\theta }}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$يتبع التوزيع الطبيعي التقاربي بتباين تقاربي${\displaystyle \nabla f(\tau )^{\top }V\nabla f(\tau )}$.