منطقة الثقة

في الإحصاء ، تُعدّ منطقة الثقة تعميمًا متعدد الأبعاد لفترة الثقة . بالنسبة للتوزيع الطبيعي ثنائي المتغيرات ، تكون منطقة الثقة على شكل قطع ناقص ، يُعرف أيضًا بقطع ناقص الخطأ . وبشكل أعم، هي مجموعة من النقاط في فضاء ذي أبعاد n ، وغالبًا ما تُمثَّل على شكل قطع ناقص فائق حول نقطة تمثل حلًا مُقدَّرًا لمسألة ما، مع إمكانية ظهور أشكال أخرى.

تُحسب منطقة الثقة بحيث إذا تكررت مجموعة من القياسات عدة مرات، وحُسبت منطقة الثقة بنفس الطريقة لكل مجموعة قياسات، فإن نسبة معينة من الوقت (مثلاً 95%) ستشمل منطقة الثقة النقطة التي تمثل القيم "الحقيقية" لمجموعة المتغيرات المُقدَّرة. مع ذلك، ما لم تُوضع افتراضات معينة حول الاحتمالات المسبقة ، فإن حساب منطقة ثقة واحدة لا يعني بالضرورة وجود احتمال بنسبة 95% أن تقع القيم "الحقيقية" داخلها، إذ لا نفترض أي توزيع احتمالي محدد لهذه القيم، وقد تتوفر لدينا معلومات أخرى حول مواقعها المحتملة.

لنفترض أننا وجدنا حلاً${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$إلى المسألة المحددة بشكل زائد التالية:

${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

حيث Y هو متجه عمودي ذو n بُعد يحتوي على القيم المرصودة للمتغير التابع ، و X هي مصفوفة n × p من القيم المرصودة للمتغيرات المستقلة (والتي يمكن أن تمثل نموذجًا فيزيائيًا) والتي يُفترض أنها معروفة بدقة.${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$هو متجه عمودي يحتوي على المعلمات p التي سيتم تقديرها، و${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$هو متجه عمودي ذو n بُعد من الأخطاء التي يُفترض أنها موزعة بشكل مستقل بتوزيعات طبيعية بمتوسط ​​صفري ولكل منها نفس التباين المجهول${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

منطقة ثقة مشتركة بنسبة 100(1 − α ) % لعناصر   ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$يتم تمثيلها بواسطة مجموعة قيم المتجه b التي تحقق المتباينة التالية: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle ({\boldsymbol {\hat {\beta }}}-\mathbf {b} )^{\operatorname {T} }\mathbf {X} ^{\operatorname {T} }\mathbf {X} ({\boldsymbol {\hat {\beta }}}-\mathbf {b} )\leq ps^{2}F_{1-\alpha }(p,\nu ),}$

حيث يمثل المتغير b أي نقطة في منطقة الثقة، و p هو عدد المعلمات، أي عدد عناصر المتجه${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }},}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}}$يمثل متجه المعلمات المقدرة، و ^s² هو مربع كاي المختزل ، وهو تقدير غير متحيز لـ${\displaystyle \sigma ^{2}}$يساوي

${\displaystyle s^{2}={\frac {\varepsilon ^{\operatorname {T} }\varepsilon }{np}}.}$

علاوة على ذلك، فإن F هي دالة الكمية لتوزيع F ، حيث p و${\displaystyle \nu =np}$درجات الحرية ،${\displaystyle \alpha }$يمثل مستوى الدلالة الإحصائية ، والرمز${\displaystyle X^{\operatorname {T} }}$يعني نقل​${\displaystyle X}$.

يمكن إعادة كتابة التعبير على النحو التالي:

${\displaystyle ({\boldsymbol {\hat {\beta }}}-\mathbf {b} )^{\operatorname {T} }\mathbf {C} _{\mathbf {\beta } }^{-1}({\boldsymbol {\hat {\beta }}}-\mathbf {b} )\leq pF_{1-\alpha }(p,\nu ),}$

أين${\displaystyle \mathbf {C} _{\mathbf {\beta } }=s^{2}\left(\mathbf {X} ^{\operatorname {T} }\mathbf {X} \right)^{-1}}$هي مصفوفة التغاير المُقاسة بطريقة المربعات الصغرى لـ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}}$.

تحدد المتباينة أعلاه منطقة بيضاوية في فضاء المعلمات الديكارتية ذي الأبعاد p ، R ^p . يقع مركز القطع الناقص عند التقدير${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}}$بحسب بريس وآخرون، يسهل رسم القطع الناقص بعد إجراء تحليل القيم المفردة . تتناسب أطوال محاور القطع الناقص مع مقلوب قيم عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة القطرية ، وتُحدد اتجاهات هذه المحاور بصفوف المصفوفة الثالثة للتحليل.

والآن لننظر في الحالة الأكثر عمومية حيث توجد بعض العناصر المتميزة من${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$لنفترض أن لدينا تباينًا مشتركًا غير صفري معروف (بمعنى آخر، أن الأخطاء في المشاهدات ليست موزعة بشكل مستقل)، و/أو أن الانحرافات المعيارية للأخطاء ليست متساوية. لنفترض أن مصفوفة التباين المشترك لـ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$يكون${\displaystyle \mathbf {V} \sigma ^{2}}$حيث V هي مصفوفة غير منفردة من الرتبة n × n، وكانت تساوي${\displaystyle \mathbf {I} }$في الحالة الأكثر تحديدًا التي تم تناولها في القسم السابق، (حيث I هي مصفوفة الوحدة )، ولكن هنا يُسمح لها بأن تحتوي على عناصر غير صفرية خارج القطر الرئيسي تمثل التباين المشترك لأزواج الملاحظات الفردية، بالإضافة إلى عدم ضرورة أن تكون جميع العناصر القطرية متساوية.

من الممكن إيجاد ^{[ 2 ]} مصفوفة متناظرة غير منفردة P بحيث

${\displaystyle \mathbf {P} ^{\prime }\mathbf {P} =\mathbf {P} \mathbf {P} =\mathbf {V} }$

في الواقع، P هو الجذر التربيعي لمصفوفة التغاير V.

مسألة المربعات الصغرى

${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

ويمكن بعد ذلك تحويلها عن طريق ضرب كل حد من اليسار بمعكوس P ، مما يشكل صياغة جديدة للمسألة

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {Q} {\boldsymbol {\beta }}+\mathbf {f} ,}$

أين

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {Y} }$

${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {X} }$و

${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {P} ^{-1}{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

منطقة ثقة مشتركة للمعلمات، أي لعناصر${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$، ثم يكون محصوراً بالقطع الناقص المعطى بواسطة: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle (\mathbf {b} -{\boldsymbol {\hat {\beta }}})^{\prime }\mathbf {Q} ^{\prime }\mathbf {Q} (\mathbf {b} -{\boldsymbol {\hat {\beta }}})={\frac {p}{np}}(\mathbf {Z} ^{\prime }\mathbf {Z} -\mathbf {b} ^{\prime }\mathbf {Q} ^{\prime }\mathbf {Z} )F_{1-\alpha }(p,np).}$

هنا يمثل F النسبة المئوية لتوزيع F ، والكميات p و np هي درجات الحرية التي تمثل معلمات هذا التوزيع.

يمكن تحديد مناطق الثقة لأي توزيع احتمالي. يستطيع الباحث اختيار مستوى الدلالة وشكل المنطقة، ثم يُحدد حجم المنطقة بناءً على التوزيع الاحتمالي. ومن الخيارات الطبيعية استخدام مجموعة من النقاط ذات قيمة ثابتة كحدود.${\displaystyle \chi ^{2}}$قيم ( مربع كاي ).

يتمثل أحد الأساليب في استخدام تقريب خطي للنموذج غير الخطي، والذي قد يكون تقريبًا دقيقًا في جوار الحل، ثم تطبيق التحليل على مسألة خطية لإيجاد منطقة ثقة تقريبية. قد يكون هذا أسلوبًا مناسبًا إذا لم تكن منطقة الثقة كبيرة جدًا، وكانت المشتقات الثانية للنموذج صغيرة أيضًا.

يمكن أيضاً استخدام أساليب التمهيد . ^{[ 4 ]}

• خطأ دائري محتمل
• الانحدار الخطي
• سوار الثقة
• منطقة موثوقة

• دريبر، إن آر؛ إتش. سميث (1981) [1966]. تحليل الانحدار التطبيقي (  الطبعة الثانية). الولايات المتحدة الأمريكية: جون وايلي وأولاده المحدودة. ISBN 0-471-02995-5.
• بريس، دبليو إتش؛ إس إيه توكولسكي؛ دبليو تي فيترلينغ؛ بي بي فلانيري (1992) [1988]. وصفات عددية بلغة سي: فن الحوسبة العلمية (الطبعة الثانية  ). كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-43720-2.