نموذج المتوسط ​​المتحرك التراجعي الذاتي

يشير الرمز AR( p ) إلى نموذج الانحدار الذاتي من الرتبة p . ويُكتب نموذج AR( p ) على النحو التالي:

${\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{ti}+\varepsilon _{t}}$

أين${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{p}}$المعلمات والمتغير العشوائي${\displaystyle \varepsilon _{t}}$هي ضوضاء بيضاء ، وعادة ما تكون متغيرات عشوائية طبيعية مستقلة وموزعة توزيعًا متطابقًا (iid) . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

لكي يظل النموذج مستقرًا ، يجب أن تقع جذور متعددة الحدود المميزة له خارج دائرة الوحدة. على سبيل المثال، العمليات في نموذج AR(1) مع${\displaystyle |\varphi _{1}|\geq 1}$ليست ثابتة لأن جذر${\displaystyle 1-\varphi _{1}B=0}$يقع داخل دائرة الوحدة. ^{[ 3 ]}

يُمكن لاختبار ديكي-فولر المُعزز تقييم استقرار دالة الوضع الجوهرية ومكونات الاتجاه. بالنسبة للسلاسل الزمنية المستقرة، يُمكن استخدام نماذج ARMA، بينما بالنسبة للسلاسل غير المستقرة، يُمكن استخدام نماذج الذاكرة طويلة المدى لاستخلاص السمات المجردة. تُحسب القيمة النهائية من خلال إعادة بناء النتائج المتوقعة لكل سلسلة زمنية.

يشير الرمز MA( q ) إلى نموذج المتوسط ​​المتحرك من الرتبة q :

${\displaystyle X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{ti}\,}$

حيث${\displaystyle \theta _{1},...,\theta _{q}}$هي معلمات النموذج،${\displaystyle \mu }$هو توقع${\displaystyle X_{t}}$(يُفترض غالبًا أنها تساوي صفرًا)، و${\displaystyle \varepsilon _{1}}$...${\displaystyle \varepsilon _{t}}$هي حدود خطأ ضوضاء بيضاء مستقلة ومتطابقة التوزيع، وهي عادةً متغيرات عشوائية طبيعية. ^{[ 4 ]}

يشير الرمز ARMA( p , q ) إلى النموذج الذي يحتوي على p من حدود الانحدار الذاتي و q من حدود المتوسط ​​المتحرك. يتضمن هذا النموذج نموذجي AR( p ) و MA( q )، ^{[ 5 ]}

${\displaystyle X_{t}=\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{ti}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{ti}.\,}$

في بعض النصوص، يتم تحديد النماذج باستخدام عامل التأخير L. وبناءً على ذلك، يُعطى نموذج AR( p ) بالصيغة التالية:

${\displaystyle \varepsilon _{t}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\varphi (L)X_{t}\,}$

أين${\displaystyle \varphi }$يمثل متعدد الحدود

${\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}.\,}$

يُعطى نموذج MA( q ) بالصيغة التالية:

${\displaystyle X_{t}-\mu =\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}=\theta (L)\varepsilon _{t},\,}$

أين${\displaystyle \theta }$يمثل متعدد الحدود

${\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,}$

وأخيرًا، يُعطى نموذج ARMA( p , q ) المدمج بالصيغة التالية:

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,,}$

أو باختصار أكثر،

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,}$

أو

${\displaystyle {\frac {\varphi (L)}{\theta (L)}}X_{t}=\varepsilon _{t}\,.}$

هذا هو النموذج المستخدم في Box و Jenkins و Reinsel. ^{[ 6 ]}

علاوة على ذلك، بدء عمليات الجمع من ${\displaystyle i=0}$والضبط${\displaystyle \phi _{0}=-1}$و${\displaystyle \theta _{0}=1}$ثم نحصل على صيغة أكثر أناقة:${\displaystyle -\sum _{i=0}^{p}\phi _{i}L^{i}\;X_{t}=\sum _{i=0}^{q}\theta _{i}L^{i}\;\varepsilon _{t}\,.}$

يمكن إيجاد قيمة مناسبة لـ p في نموذج ARMA( p , q ) برسم دوال الارتباط الذاتي الجزئي . وبالمثل، يمكن تقدير q باستخدام دوال الارتباط الذاتي . ويمكن تحديد كل من p و q معًا باستخدام دوال الارتباط الذاتي الموسعة (EACF). ^{[ 9 ]} ويمكن الحصول على مزيد من المعلومات بدراسة الدوال نفسها لبواقي نموذج مُلائم بقيم أولية مختارة لـ p و q .

يوصي بروكويل وديفيس باستخدام معيار معلومات أكايكي (AIC) لإيجاد p و q . ^{[ 10 ]} خيار آخر هو معيار معلومات بايز (BIC).

بعد اختيار قيمتي p و q، يمكن ملاءمة نماذج ARMA باستخدام انحدار المربعات الصغرى لإيجاد قيم المعاملات التي تقلل من حد الخطأ. من الممارسات الجيدة إيجاد أصغر قيم لـ p و q التي توفر ملاءمة مقبولة للبيانات. بالنسبة لنموذج AR البحت، يمكن استخدام معادلات يول-ووكر لتحقيق الملاءمة.

تُستخدم مخرجات نماذج ARMA بشكل أساسي للتنبؤ (التوقع)، وليس لاستنتاج السببية كما هو الحال في مجالات أخرى من الاقتصاد القياسي وطرق الانحدار مثل OLS و2SLS.

• في لغة R ، تحتوي الحزمة القياسية statsعلى دالة arimaموثقة في " نمذجة السلاسل الزمنية باستخدام نماذج ARIMA ". وتحتوي حزمة أخرى astsaعلى برنامج نصي مُحسَّن يُسمى " نمذجة السلاسل الزمنية sarimaباستخدام نماذج ARMA" لتركيب نماذج ARMA (الموسمية وغير الموسمية) sarima.simومحاكاة البيانات من هذه النماذج. وتتضمن حزم إضافية وظائف ذات صلة وموسعة: tseriesتتضمن حزمة arma()"نمذجة السلاسل الزمنية باستخدام نماذج ARMA" الدالة الموثقة في "تركيب نماذج ARMA على السلاسل الزمنية"fracdiff ؛ وتحتوي حزمة " نمذجة السلاسل الزمنية باستخدام نماذج ARMA المتكاملة جزئيًا" على دالة أخرى؛ وتتضمن fracdiff()حزمة "نمذجة السلاسل الزمنية باستخدام نماذج ARMA المتكاملة جزئيًا" دالة أخرى لاختيار مجموعة مُقتصدة من قيم p وq . ويمكن الوصول إلى معظم هذه الحزم من خلال عرض مهام السلاسل الزمنية على CRAN .forecastauto.arima
• يحتوي برنامج Mathematica على مكتبة كاملة من دوال السلاسل الزمنية بما في ذلك ARMA. ^{[ 11 ]}
• يتضمن برنامج MATLAB دوالًا مثل armaو لتقدير نماذج الانحدار الذاتي، والانحدار الذاتي الخارجي، ونماذج ARMAX. راجع arمجموعة أدوات تحديد النظام ومجموعة أدوات الاقتصاد القياسي لمزيد من التفاصيل.arx
• تحتوي لغة جوليا على حزم برمجية مدعومة من المجتمع تقوم بتنفيذ عملية التوفيق مع نموذج ARMA مثل arma.jl.
• تحتوي لغة بايثون على حزمة statsmodelsS التي تتضمن العديد من النماذج والوظائف لتحليل السلاسل الزمنية، بما في ذلك نموذج ARMA. كانت هذه الحزمة سابقًا جزءًا من مكتبة scikit-learn ، وهي الآن مستقلة وتتكامل بشكل جيد مع مكتبة Pandas .
• يحتوي PyFlux على تطبيق قائم على لغة بايثون لنماذج ARIMAX، بما في ذلك نماذج ARIMAX البايزية.
• مكتبات IMSL العددية هي مكتبات لوظائف التحليل العددي بما في ذلك إجراءات ARMA و ARIMA المنفذة بلغات برمجة قياسية مثل C و Java و C# .NET و Fortran.
• يمكن لـ gretl تقدير نماذج ARMA، كما هو مذكور هنا.
• تدعم حزمة GNU Octave الإضافية octave-forgeنماذج الواقع المعزز.
• يتضمن برنامج Stataarima الدالة . لنماذج ARMA و ARIMA .
• SuanShu هي مكتبة جافا للطرق العددية التي تنفذ نماذج ARMA أحادية المتغير / متعددة المتغيرات، و ARIMA، و ARMAX، وما إلى ذلك، موثقة في "SuanShu، مكتبة جافا العددية والإحصائية" .
• يحتوي برنامج SAS على حزمة اقتصادية قياسية، ETS، تقوم بتقدير نماذج ARIMA. انظر التفاصيل .

يشير الرمز ARMAX( p , q , b ) إلى نموذج يحتوي على p حدًا من حدود الانحدار الذاتي، و q حدًا من حدود المتوسط ​​المتحرك، و b حدًا من حدود المدخلات الخارجية. الحد الأخير هو توليفة خطية من آخر b حدًا من سلسلة زمنية خارجية معروفة.${\displaystyle d_{t}}$ويتم الحصول عليه من خلال:

${\displaystyle X_{t}=\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}+\sum _{i=1}^{b}\eta _{i}d_{t-i}.\,}$

أين${\displaystyle \eta _{1},\ldots ,\eta _{b}}$هي معلمات المدخلات الخارجية${\displaystyle d_{t}}$.

تم تعريف بعض المتغيرات غير الخطية للنماذج ذات المتغيرات الخارجية: انظر على سبيل المثال نموذج الانحدار الذاتي الخارجي غير الخطي .

تُطبّق الحزم الإحصائية نموذج ARMAX باستخدام متغيرات "خارجية" (أي مستقلة). يجب توخي الحذر عند تفسير مخرجات هذه الحزم، لأن المعلمات المُقدّرة عادةً (على سبيل المثال، في R ^{[ 15 ]} و gretl ) تُشير إلى الانحدار.

${\displaystyle X_{t}-m_{t}=\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}(X_{t-i}-m_{t-i})+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}.\,}$

أين${\displaystyle m_{t}}$يشمل جميع المتغيرات الخارجية (أو المستقلة):

${\displaystyle m_{t}=c+\sum _{i=0}^{b}\eta _{i}d_{t-i}.\,}$