طريقة بوكس-جينكينز

في تحليل السلاسل الزمنية ، تطبق طريقة بوكس-جينكينز ، ^[1] التي سميت على اسم الإحصائيين جورج بوكس ​​وجويليم جينكينز ، نماذج المتوسط ​​المتحرك الانحداري التلقائي (ARMA) أو المتوسط ​​المتحرك المتكامل الانحداري التلقائي (ARIMA) لإيجاد أفضل ملاءمة لنموذج السلاسل الزمنية للقيم السابقة للسلاسل الزمنية .

يستخدم النموذج الأصلي نهج النمذجة التكرارية المكون من ثلاث مراحل:

1. تحديد النموذج واختياره : التأكد من ثبات المتغيرات ، وتحديد الموسمية في السلسلة التابعة (الاختلاف الموسمي إذا لزم الأمر)، واستخدام مخططات وظائف الارتباط الذاتي (ACF) والارتباط الذاتي الجزئي (PACF) للسلسلة الزمنية التابعة لتحديد أي مكون من مكونات الانحدار الذاتي أو المتوسط ​​المتحرك (إن وجد) يجب استخدامه في النموذج.
2. تقدير المعاملات باستخدام خوارزميات الحساب للوصول إلى المعاملات التي تناسب نموذج ARIMA المحدد على أفضل وجه. تستخدم الطرق الأكثر شيوعًا تقدير الاحتمالية القصوى أو تقدير المربعات الصغرى غير الخطية .
3. التحقق من النموذج الإحصائي عن طريق اختبار ما إذا كان النموذج المقدر يتوافق مع مواصفات عملية أحادية المتغير ثابتة. وعلى وجه الخصوص، يجب أن تكون البقايا مستقلة عن بعضها البعض وثابتة في المتوسط ​​والتباين بمرور الوقت. (إن رسم متوسط ​​وتباين البقايا بمرور الوقت وإجراء اختبار Ljung-Box أو رسم الارتباط الذاتي والارتباط الذاتي الجزئي للبقايا مفيد لتحديد التحديد الخاطئ). إذا كان التقدير غير كافٍ، فيجب علينا العودة إلى الخطوة الأولى ومحاولة بناء نموذج أفضل.

كانت البيانات التي استخدموها مأخوذة من فرن غاز. هذه البيانات معروفة جيدًا باسم بيانات فرن الغاز من Box وJenkins لنماذج التنبؤ المعيارية.

يزعم كوماندور وكوبمان (2007، الفقرة 10.4) ^[2] أن نهج بوكس-جينكينز يمثل مشكلة أساسية. تنشأ المشكلة لأنه "في المجالين الاقتصادي والاجتماعي، لا تكون السلاسل الحقيقية ثابتة أبدًا مهما تم إجراء قدر كبير من الاختلاف". وبالتالي يتعين على الباحث أن يواجه السؤال: ما مدى قرب الثبات الكافي؟ وكما لاحظ المؤلفان، "هذا سؤال يصعب الإجابة عليه". ويزعم المؤلفان أيضًا أنه بدلاً من استخدام بوكس-جينكينز، من الأفضل استخدام أساليب فضاء الحالة، حيث لا تكون ثبات السلسلة الزمنية مطلوبًا بعد ذلك.

الخطوة الأولى في تطوير نموذج بوكس-جينكينز هي تحديد ما إذا كانت السلسلة الزمنية ثابتة وما إذا كان هناك أي موسمية كبيرة تحتاج إلى نمذجتها.

يمكن تقييم الثبات من رسم تسلسل التشغيل . يجب أن يُظهر رسم تسلسل التشغيل موقعًا ومقياسًا ثابتين . ويمكن أيضًا اكتشافه من رسم الارتباط التلقائي . على وجه التحديد، غالبًا ما يُشار إلى عدم الثبات من خلال رسم الارتباط التلقائي مع اضمحلال بطيء للغاية. يمكن للمرء أيضًا استخدام اختبار ديكي فولر أو اختبار ديكي فولر المعزز .

يمكن عادةً تقييم الموسمية (أو الدورية) من رسم الارتباط الذاتي، أو رسم السلاسل الفرعية الموسمية ، أو الرسم الطيفي .

يوصي بوكس ​​وجينكينز باستخدام نهج التفاضل لتحقيق الثبات. ومع ذلك، يمكن أيضًا استخدام ملاءمة المنحنى وطرح القيم الملائمة من البيانات الأصلية في سياق نماذج بوكس ​​وجينكينز.

في مرحلة تحديد النموذج، يكون الهدف هو اكتشاف الموسمية، إذا كانت موجودة، وتحديد ترتيب مصطلحات الانحدار التلقائي الموسمية ومتوسط ​​الحركة الموسمي. بالنسبة للعديد من السلاسل، تكون الفترة معروفة ويكون مصطلح موسمي واحد كافيًا. على سبيل المثال، بالنسبة للبيانات الشهرية، عادةً ما يتضمن المرء إما مصطلح AR 12 موسميًا أو مصطلح MA 12 موسميًا. بالنسبة لنماذج Box–Jenkins، لا يتم إزالة الموسمية صراحةً قبل ملاءمة النموذج. بدلاً من ذلك، يتم تضمين ترتيب المصطلحات الموسمية في مواصفات النموذج لبرنامج تقدير ARIMA . ومع ذلك، قد يكون من المفيد تطبيق اختلاف موسمي على البيانات وإعادة إنشاء مخططات الارتباط التلقائي والارتباط التلقائي الجزئي. قد يساعد هذا في تحديد النموذج للمكون غير الموسمي للنموذج. في بعض الحالات، قد يؤدي الاختلاف الموسمي إلى إزالة معظم أو كل تأثير الموسمية.

بمجرد معالجة الثبات والموسمية، فإن الخطوة التالية هي تحديد الترتيب (أي p و q ) لمصطلحات الانحدار الذاتي والمتوسط ​​المتحرك. يتبع مؤلفون مختلفون طرقًا مختلفة لتحديد p و q . يذكر بروكويل وديفيس (1991) ^[3] "سيكون معيارنا الأساسي لاختيار النموذج [من بين نماذج ARMA (p، q)] هو AICc"، أي معيار معلومات أكايكي مع التصحيح. يستخدم مؤلفون آخرون مخطط الارتباط الذاتي ومخطط الارتباط الذاتي الجزئي، الموضح أدناه.

يتم مقارنة مخطط الارتباط الذاتي للعينة ومخطط الارتباط الذاتي الجزئي للعينة بالسلوك النظري لهذه المخططات عندما يكون الترتيب معروفًا.

على وجه التحديد، بالنسبة لعملية AR(1) ، يجب أن يكون لدالة الارتباط التلقائي للعينة مظهر متناقص بشكل أسي. ومع ذلك، غالبًا ما تكون عمليات AR ذات الترتيب الأعلى عبارة عن مزيج من المكونات الجيبية المتناقصة بشكل أسي والمخمدة.

بالنسبة لعمليات الانحدار الذاتي ذات الدرجة الأعلى، يلزم استكمال الارتباط الذاتي للعينة برسم الارتباط الذاتي الجزئي. يصبح الارتباط الذاتي الجزئي لعملية AR( p ) صفرًا عند تأخر p  + 1 وأكبر، لذلك نفحص دالة الارتباط الذاتي الجزئي للعينة لمعرفة ما إذا كان هناك دليل على الانحراف عن الصفر. يتم تحديد ذلك عادةً عن طريق وضع فاصل ثقة بنسبة 95% على رسم الارتباط الذاتي الجزئي للعينة (ترسم معظم برامج الكمبيوتر التي تولد مخططات الارتباط الذاتي للعينة أيضًا فاصل الثقة هذا). إذا لم يولد برنامج الكمبيوتر نطاق الثقة، فسيكون تقريبًا ، مع N يدل على حجم العينة. ${\displaystyle \pm 2/{\sqrt {N}}}$

تصبح دالة الارتباط الذاتي لعملية MA( q ) صفرًا عند تأخر q  + 1 وأكبر، لذا نفحص دالة الارتباط الذاتي للعينة لنرى أين تصبح صفرًا بشكل أساسي. نفعل ذلك عن طريق وضع فاصل الثقة 95% لدالة الارتباط الذاتي للعينة على مخطط الارتباط الذاتي للعينة. يمكن لمعظم البرامج التي يمكنها إنشاء مخطط الارتباط الذاتي أيضًا إنشاء فاصل الثقة هذا.

إن دالة الارتباط الذاتي الجزئي للعينة لا تكون مفيدة بشكل عام في تحديد ترتيب عملية المتوسط ​​المتحرك.

يوضح الجدول التالي ملخصًا لكيفية استخدام دالة الارتباط التلقائي للعينة لتحديد النموذج.

شكل	النموذج المشار إليه
أسي، يتحلل إلى الصفر	نموذج الانحدار الذاتي . استخدم مخطط الارتباط الذاتي الجزئي لتحديد ترتيب نموذج الانحدار الذاتي.
التناوب بين الموجب والسالب، والانحدار إلى الصفر	نموذج الانحدار الذاتي. استخدم مخطط الارتباط الذاتي الجزئي للمساعدة في تحديد الترتيب.
ارتفاع واحد أو أكثر، والباقي يساوي صفرًا (أو قريبًا من الصفر)	نموذج المتوسط ​​المتحرك ، يتم تحديد الترتيب من خلال المكان الذي يصبح فيه الرسم البياني صفراً.
الاضمحلال، يبدأ بعد بضعة تأخيرات	نموذج الانحدار الذاتي المختلط والمتوسط ​​المتحرك ( ARMA ).
كلها صفر أو قريبة من الصفر	البيانات عشوائية بشكل أساسي.
قيم عالية على فترات زمنية ثابتة	تضمين مصطلح الانحدار التلقائي الموسمي.
لا يوجد تحلل إلى الصفر (أو يتحلل ببطء شديد)	السلسلة ليست ثابتة.

يقترح هيندمان وأثاناسوبولوس ما يلي: ^[4]

قد تتبع البيانات نموذج ARIMA( p , d ,0) إذا أظهرت مخططات ACF وPACF للبيانات المتباينة الأنماط التالية:

• ACF يتحلل بشكل كبير أو جيبي؛
• هناك ارتفاع كبير في تأخر p في PACF، ولكن لا يوجد ارتفاع بعد تأخر p .

قد تتبع البيانات نموذج ARIMA(0, d , q ) إذا أظهرت مخططات ACF وPACF للبيانات المتباينة الأنماط التالية:

• PACF يتحلل بشكل كبير أو جيبي؛
• هناك ارتفاع كبير في تأخر q في ACF، ولكن لا يوجد ارتفاع بعد تأخر q .

في الممارسة العملية، تعد وظائف الارتباط التلقائي للعينة والارتباط التلقائي الجزئي متغيرات عشوائية ولا تعطي نفس الصورة التي تعطيها الوظائف النظرية. وهذا يجعل تحديد النموذج أكثر صعوبة. وعلى وجه الخصوص، قد يكون من الصعب بشكل خاص تحديد النماذج المختلطة. وعلى الرغم من أن الخبرة مفيدة، فإن تطوير نماذج جيدة باستخدام مخططات العينات هذه قد ينطوي على الكثير من التجربة والخطأ.

تتضمن عملية تقدير معلمات نماذج بوكس-جينكينز تقريب حلول المعادلات غير الخطية عدديًا. ولهذا السبب، من الشائع استخدام برامج إحصائية مصممة للتعامل مع هذا النهج - حيث تتميز جميع الحزم الإحصائية الحديثة تقريبًا بهذه القدرة. والنهجان الرئيسيان لملاءمة نماذج بوكس-جينكينز هما المربعات الصغرى غير الخطية وتقدير الاحتمال الأقصى. ويعتبر تقدير الاحتمال الأقصى عمومًا التقنية المفضلة. ومعادلات الاحتمال لنموذج بوكس-جينكينز الكامل معقدة ولا يتم تضمينها هنا. راجع (Brockwell and Davis, 1991) للحصول على التفاصيل الرياضية.

إن تشخيص النموذج لنماذج بوكس-جينكينز يشبه التحقق من صحة النموذج لملاءمة المربعات الصغرى غير الخطية.

وهذا يعني أن مصطلح الخطأ A _t يفترض أنه يتبع الافتراضات الخاصة بعملية أحادية المتغير ثابتة. ويجب أن تكون البقايا عبارة عن رسومات ضوضاء بيضاء (أو مستقلة عندما تكون توزيعاتها طبيعية) من توزيع ثابت بمتوسط ​​وتباين ثابتين. وإذا كان نموذج بوكس-جينكينز نموذجًا جيدًا للبيانات، فيجب أن تلبي البقايا هذه الافتراضات.

إذا لم يتم استيفاء هذه الافتراضات، فمن الضروري أن نلجأ إلى نموذج أكثر ملاءمة. أي أن نعود إلى خطوة تحديد النموذج ونحاول تطوير نموذج أفضل. ونأمل أن يساعد تحليل المتبقيات في تقديم بعض الأدلة التي قد تساعدنا في التوصل إلى نموذج أكثر ملاءمة.

إحدى الطرق لتقييم ما إذا كانت البقايا من نموذج بوكس-جينكينز تتبع الافتراضات هي إنشاء رسوم بيانية إحصائية (بما في ذلك رسم الارتباط الذاتي) للبقايا. يمكن للمرء أيضًا أن ينظر إلى قيمة إحصائية بوكس-ليونج .

• Beveridge, S.; Oickle, C. (1994)، "مقارنة بين Box–Jenkins والطرق الموضوعية لتحديد ترتيب نموذج ARMA غير الموسمي"، مجلة التنبؤ ، 13 (5): 419-434، doi :10.1002/for.3980130502
• بانكراتز، آلان (1983)، التنبؤ باستخدام نماذج بوكس-جينكينز أحادية المتغير: المفاهيم والحالات ، جون وايلي وأولاده

• دورة أولى في تحليل السلاسل الزمنية – كتاب مفتوح المصدر حول تحليل السلاسل الزمنية باستخدام SAS (الفصل 7)
• نماذج بوكس-جينكينز في دليل إحصاءات الهندسة التابع للمعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا
• نمذجة بوكس-جينكينز بواسطة روب جيه هيندمان
• منهجية بوكس-جينكينز لنماذج السلاسل الزمنية بقلم تيريزا هوانج دييم نجو

 تتضمن هذه المقالة مواد من المجال العام من المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا