عملية ثابتة

بصورة رسمية، دع${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ليكن عملية عشوائية ولتكن${\displaystyle F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{n}+\tau })}$تمثل دالة التوزيع التراكمي للتوزيع المشترك غير المشروط (أي بدون الإشارة إلى أي قيمة ابتدائية معينة) لـ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$في بعض الأحيان${\displaystyle t_{1}+\tau ,\ldots ,t_{n}+\tau }$ثم ،${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$يُقال إنها ثابتة تمامًا ، أو ثابتة بقوة، أو ثابتة بالمعنى الدقيق إذا ^{[ 1 ] : 155}

${\displaystyle F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{n}+\tau })=F_{X}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{n}})\quad {\text{لكل }}\tau ,t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} {\text{ولكل }}n\in \mathbb {N} _{>0}}$

المعادلة 1

منذ${\displaystyle \tau }$لا يؤثر${\displaystyle F_{X}(\cdot )}$،​${\displaystyle F_{X}}$مستقل عن الزمن.

الضوضاء البيضاء هي أبسط مثال على عملية ثابتة.

مثال على عملية ثابتة منفصلة الزمن حيث تكون مساحة العينة منفصلة أيضًا (بحيث يمكن للمتغير العشوائي أن يأخذ أحد القيم التالية :${\displaystyle N}$القيم الممكنة) هي مخطط برنولي . تشمل الأمثلة الأخرى لعملية ثابتة منفصلة الزمن ذات فضاء عينة مستمر بعض عمليات الانحدار الذاتي والمتوسط ​​المتحرك ، وكلاهما مجموعات فرعية من نموذج الانحدار الذاتي والمتوسط ​​المتحرك . قد تكون النماذج ذات المكون الانحداري الذاتي غير التافه ثابتة أو غير ثابتة، اعتمادًا على قيم المعلمات، ومن الحالات الخاصة غير الثابتة المهمة وجود جذور الوحدة في النموذج.

يُعرف شكلٌ أضعف من أشكال الاستقرار، شائع الاستخدام في معالجة الإشارات ، بالاستقرار بالمعنى الضعيف ، أو الاستقرار بالمعنى الواسع (WSS) ، أو استقرار التغاير . تتطلب العمليات العشوائية ذات الاستقرار بالمعنى الواسع فقط ألا يتغير العزم الأول (أي المتوسط) والتغاير الذاتي مع الزمن، وأن يكون العزم الثاني محدودًا لجميع الأزمنة. أي عملية مستقرة تمامًا ذات متوسط ​​وتغاير محدودين تُعتبر أيضًا ذات استقرار بالمعنى الواسع . ^{[ 2 ] : 299}

إذن، عملية عشوائية مستمرة الزمن${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$أي أن WSS يفرض القيود التالية على دالة المتوسط ​​الخاصة به${\displaystyle m_{X}(t)\triangleq \operatorname {E} [X_{t}]}$ودالة التغاير الذاتي​${\displaystyle K_{XX}(t_{1},t_{2})\triangleq \operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]}$⁠ :

$\begin{aligned}\displaystyle\begin{aligned}\m_{X}(t)=m_{X}(t+\tau)&&\text{لكل }}\tau,t\in \mathbb{R} \\\K_{XX}(t_{1},t_{2})=K_{XX}(t_{1}-t_{2},0)&&\text{لكل }}t_{1},t_{2}\in \mathbb{R} \\\operatorname{E}[|X_{t}|^{2}]<\infty&&\text{لكل }}t\in \mathbb{R} \end{aligned}}}$

المعادلة 3

تشير الخاصية الأولى إلى أن دالة المتوسط${\displaystyle m_{X}(t)}$يجب أن تكون ثابتة. تشير الخاصية الثانية إلى أن دالة التغاير الذاتي تعتمد فقط على الفرق بين${\displaystyle t_{1}}$و${\displaystyle t_{2}}$ولا يحتاج إلا إلى فهرسة بمتغير واحد بدلاً من متغيرين. ^{[ 1 ] : 159} وبالتالي، بدلاً من كتابة،

${\displaystyle \,\!K_{XX}(t_{1}-t_{2},0)\,}$

غالباً ما يتم اختصار هذه الصيغة بالاستبدال ⁠${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$⁠ :

${\displaystyle K_{XX}(\tau )\triangleq K_{XX}(t_{1}-t_{2},0)}$

وهذا يعني أيضاً أن الارتباط الذاتي يعتمد فقط على${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$أي​

${\displaystyle R_{X}(t_{1},t_{2})=R_{X}(t_{1}-t_{2},0)\triangleq R_{X}(\tau ).}$

تنص الخاصية الثالثة على أن العزوم الثانية يجب أن تكون محدودة لأي وقت${\displaystyle t}$⁠ .

تتمثل الميزة الرئيسية للاستقرار بالمعنى الواسع في أنه يضع السلاسل الزمنية في سياق فضاءات هيلبرت . ليكن${\displaystyle H}$ليكن فضاء هيلبرت الناتج عن${\displaystyle \{x(t)\}}$( أي إغلاق مجموعة جميع التراكيب الخطية لهذه المتغيرات العشوائية في فضاء هيلبرت لجميع المتغيرات العشوائية القابلة للتكامل التربيعي على فضاء الاحتمال المعطى). وبسبب الإيجابية المحددة لدالة التغاير الذاتي، يترتب من نظرية بوخنر وجود مقياس موجب.${\displaystyle \mu }$على خط الأعداد الحقيقية بحيث${\displaystyle H}$⁠ متماثل مع فضاء هيلبرت الفرعي لـ ⁠${\displaystyle L^{2}(\mu )}$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle \{e^{-2\pi i\xi \cdot t}\}}$. وهذا يعطينا تحليل فورييه التالي لعملية عشوائية ثابتة في الزمن المستمر: توجد عملية عشوائية${\displaystyle \أوميغا _{\xi }}$بزيادات متعامدة بحيث ، لجميع${\displaystyle t}$⁠ :

${\displaystyle X_{t}=\int e^{-2\pi i\lambda \cdot t}\,d\omega _{\lambda },}$

حيث يُفسَّر التكامل في الطرف الأيمن تفسيراً مناسباً (بمعنى ريمان). وينطبق الأمر نفسه على عملية ثابتة منفصلة الزمن، حيث يُعرَّف المقياس الطيفي الآن على دائرة الوحدة.

عند معالجة الإشارات العشوائية ذات التردد المتغير (WSS) باستخدام مرشحات خطية ثابتة زمنيًا ( LTI ) ، من المفيد اعتبار دالة الارتباط بمثابة مؤثر خطي . ولأنها مؤثر دائري (يعتمد فقط على الفرق بين وسيطين)، فإن دوالها الذاتية هي دوال أسية مركبة لفورييه . بالإضافة إلى ذلك، ولأن الدوال الذاتية للمؤثرات الخطية الثابتة زمنيًا هي أيضًا دوال أسية مركبة ، فإن معالجة الإشارات العشوائية ذات التردد المتغير باستخدام هذه المرشحات سهلة للغاية، حيث يمكن إجراء جميع العمليات الحسابية في مجال التردد . لذا، يُستخدم افتراض التردد المتغير على نطاق واسع في خوارزميات معالجة الإشارات .

في الحالة التي${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$هي عملية عشوائية معقدة، وتُعرَّف دالة التغاير الذاتي على النحو التالي:${\displaystyle K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]}$وبالإضافة إلى المتطلبات الواردة في المعادلة 3 ، يُشترط أن تكون دالة التغاير الذاتي الزائف${\displaystyle J_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]}$يعتمد ذلك فقط على التأخير الزمني. في الصيغ،${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$هو WSS، إذا

${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{X}(t)=m_{X}(t+\tau )&&{\text{for all }}\tau ,t\in \mathbb {R} \\&K_{XX}(t_{1},t_{2})=K_{XX}(t_{1}-t_{2},0)&&{\text{for all }}t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \\&J_{XX}(t_{1},t_{2})=J_{XX}(t_{1}-t_{2},0)&&{\text{for all }}t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \\&\operatorname {E} [|X(t)|^{2}]<\infty &&{\text{for all }}t\in \mathbb {R} \end{aligned}}}$

المعادلة 4

عمليتان عشوائيتان${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$و${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$تُسمى هذه المتغيرات مستقرة بالمعنى الدقيق المشترك إذا كان توزيعها التراكمي المشترك${\displaystyle F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})}$يبقى دون تغيير في ظل تغيرات الوقت، أي إذا

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})&=F_{XY}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{m}+\tau },y_{t_{1}^{'}+\tau },\ldots ,y_{t_{n}^{'}+\tau })\\&\quad {\text{for all }}\tau ,t_{1},\ldots ,t_{m},t_{1}^{'},\ldots ,t_{n}^{'}\in \mathbb {R} {\text{, and for all }}m,n\in \mathbb {N} \end{aligned}}}$

المعادلة 5

عمليتان عشوائيتان${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$و${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$يقال إنهم مشتركين ( ⁠${\displaystyle M+N}$تكون ثابتة من الرتبة n إذا : ^{[ 1 ] : 159}

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})&=F_{XY}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{m}+\tau },y_{t_{1}^{'}+\tau },\ldots ,y_{t_{n}^{'}+\tau })\\&\quad {\text{for all }}\tau ,t_{1},\ldots ,t_{m},t_{1}^{'},\ldots ,t_{n}^{'}\in \mathbb {R} {\text{ and for all }}m\in \{1,\ldots ,M\},n\in \{1,\ldots ,N\}\end{aligned}}}$

المعادلة 6

عمليتان عشوائيتان${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$و${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$تُسمى هذه المتغيرات مستقرة بالمعنى الواسع إذا كانت كلتاهما مستقرة بالمعنى الواسع ودالة التغاير المتقاطع الخاصة بهما${\displaystyle K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]}$يعتمد الأمر فقط على فرق التوقيت${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$ويمكن تلخيص ذلك على النحو التالي :

${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{X}(t)=m_{X}(t+\tau )&&{\text{for all }}\tau ,t\in \mathbb {R} \\&m_{Y}(t)=m_{Y}(t+\tau )&&{\text{for all }}\tau ,t\in \mathbb {R} \\&K_{XX}(t_{1},t_{2})=K_{XX}(t_{1}-t_{2},0)&&{\text{for all }}t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \\&K_{YY}(t_{1},t_{2})=K_{YY}(t_{1}-t_{2},0)&&{\text{for all }}t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \\&K_{XY}(t_{1},t_{2})=K_{XY}(t_{1}-t_{2},0)&&{\text{for all }}t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \end{aligned}}}$

المعادلة 7

إحدى طرق جعل السلاسل الزمنية مستقرة من الدرجة الأولى هي حساب الفروق بين المشاهدات المتتالية. يُعرف هذا باسم التفاضل . يُساعد التفاضل على استقرار متوسط ​​السلسلة الزمنية عن طريق إزالة التغيرات في مستواها، وبالتالي التخلص من الاتجاهات. كما يُمكنه إزالة الموسمية، إذا تم حساب الفروق بشكل مناسب (مثل تفاضل المشاهدات التي تفصل بينها سنة واحدة لإزالة الاتجاه السنوي). تُساعد التحويلات، مثل اللوغاريتمات، على استقرار تباين السلسلة الزمنية.

تعتمد طريقة الاستبدال لتحقيق الاستقرار ^{[ 7 ]} على توليد سلسلة زمنية جديدة تحافظ على بعض الخصائص الإحصائية للسلسلة الأصلية مع إزالة مكوناتها غير المستقرة. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} يتمثل أحد الأساليب الشائعة في تطبيق تحويل فورييه على السلسلة الزمنية الأصلية للحصول على طيفي السعة والطور. يُحتفظ بطيف السعة، الذي يحدد توزيع القدرة عبر الترددات، للحفاظ على بنية الارتباط الذاتي الكلية. أما طيف الطور، الذي يشفر التوافق الزمني لمكونات التردد وغالبًا ما يكون مسؤولاً عن الديناميكيات المعتمدة على الزمن في السلسلة الزمنية (مثل حالات عدم الاستقرار)، فيتم بعد ذلك عشوائيته، عادةً عن طريق استبداله بمجموعة من الأطوار العشوائية المسحوبة بشكل منتظم من${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$مع فرض التناظر المترافق لضمان معكوس حقيقي القيمة. يؤدي تطبيق تحويل فورييه العكسي على الأطياف المعدلة إلى سلسلة زمنية بديلة ثابتة تمامًا: ^{[ 11 ]} لها نفس طيف القدرة للسلسلة الأصلية ولكنها تفتقر إلى البنى الزمنية التي تسببت في عدم الاستقرار. تُستخدم هذه التقنية غالبًا في اختبارات الفرضيات لاستكشاف خاصية الاستقرار. ^{[ 8 ] [ 10 ] [ 12 ] [ 13 ]}