التباين غير المتجانس المشروط الانحداري التلقائي

في القياس الاقتصادي ، نموذج التباين غير المتجانس المشروط الانحداري الذاتي ( ARCH ) هو نموذج إحصائي لبيانات السلاسل الزمنية يصف تباين مصطلح الخطأ الحالي أو الابتكار كدالة للأحجام الفعلية لمصطلحات خطأ الفترات الزمنية السابقة؛ ^[1] غالبًا ما يكون التباين مرتبطًا بمربعات الابتكارات السابقة. يكون نموذج ARCH مناسبًا عندما يتبع تباين الخطأ في سلسلة زمنية نموذجًا انحداريًا ذاتيًا (AR)؛ إذا تم افتراض نموذج متوسط ​​متحرك انحداري ذاتي (ARMA) لتباين الخطأ، فإن النموذج هو نموذج تباين غير متجانس مشروط انحداري ذاتي معمم ( GARCH ). ^[2]

تُستخدم نماذج ARCH بشكل شائع في نمذجة السلاسل الزمنية المالية التي تظهر تقلبات متغيرة مع الزمن وتجمعات التقلبات ، أي فترات التقلبات المتخللة بفترات من الهدوء النسبي. تعتبر نماذج ARCH في بعض الأحيان ضمن عائلة نماذج التقلب العشوائية ، على الرغم من أن هذا غير صحيح تمامًا لأنه في الوقت t يكون التقلب محددًا مسبقًا تمامًا (حتمي) بالنظر إلى القيم السابقة. ^[3]

لنمذجة سلسلة زمنية باستخدام عملية ARCH، دعنا نشير إلى مصطلحات الخطأ (البقايا العائدة، فيما يتعلق بعملية المتوسط)، أي مصطلحات السلسلة. يتم تقسيمها إلى جزء عشوائي وانحراف معياري يعتمد على الوقت يميز الحجم النموذجي للمصطلحات بحيث ${\displaystyle ~\epsilon _{t}~}$${\displaystyle ~\epsilon _{t}~}$${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle \sigma _{t}}$

${\displaystyle ~\epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t}~}$

المتغير العشوائي عبارة عن عملية ضوضاء بيضاء قوية. يتم نمذجة السلسلة بواسطة${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{tq}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{ti}^{2}}$,

أين و .${\displaystyle ~\alpha _{0}>0~}$${\displaystyle \alpha _{i}\geq 0,~i>0}$

يمكن تقدير نموذج ARCH( q ) باستخدام المربعات الصغرى العادية . اقترح إنجل (1982) طريقة لاختبار ما إذا كانت البقايا تظهر تباينًا غير متجانسًا متغيرًا بمرور الوقت باستخدام اختبار مضاعف لاغرانج . هذا الإجراء هو كما يلي: ${\displaystyle \epsilon _{t}}$

1. تقدير أفضل نموذج الانحدار الذاتي المناسب AR( q ) .${\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{tq}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{ti}+\epsilon _{t}}$
2. احصل على مربعات الخطأ وارجعها إلى القيم الثابتة والمتأخرة q : ${\displaystyle {\hat {\epsilon }}^{2}}$

   ${\displaystyle {\hat {\epsilon }}_{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}{\hat {\epsilon }}_{ti}^{2}}$

   حيث q هو طول تأخرات ARCH.

3. الفرضية الصفرية هي أنه في غياب مكونات ARCH، لدينا لجميع . الفرضية البديلة هي أنه في وجود مكونات ARCH، يجب أن يكون أحد المعاملات المقدرة على الأقل مهمًا. في عينة من بقايا T تحت الفرضية الصفرية لعدم وجود أخطاء ARCH، تتبع إحصائية الاختبار T'R² التوزيع بدرجات حرية q ، حيث هو عدد المعادلات في النموذج التي تناسب المتبقيات مقابل التأخيرات (أي ). إذا كانت T'R² أكبر من قيمة جدول مربع كاي، فإننا نرفض الفرضية الصفرية ونستنتج أن هناك تأثير ARCH في نموذج ARMA . إذا كانت T'R² أصغر من قيمة جدول مربع كاي، فإننا لا نرفض الفرضية الصفرية.${\displaystyle \alpha _{i}=0}$${\displaystyle i=1,\cdots ,q}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle T'}$${\displaystyle T'=Tq}$

إذا تم افتراض نموذج متوسط ​​متحرك انحداري ذاتي (ARMA) لتباين الخطأ، فإن النموذج هو نموذج تباين مشروط انحداري ذاتي معمم (GARCH). ^[2]

في هذه الحالة، يتم إعطاء نموذج GARCH ( p ، q ) (حيث p هو ترتيب مصطلحات GARCH و q هو ترتيب مصطلحات ARCH )، وفقًا لتدوين الورقة الأصلية، بواسطة ${\displaystyle ~\sigma ^{2}}$${\displaystyle ~\epsilon ^{2}}$

${\displaystyle y_{t}=x'_{t}b+\epsilon _{t}}$

${\displaystyle \epsilon _{t}|\psi _{t-1}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{t}^{2})}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\أوميغا +\ألفا _{1}\إبسيلون _{t-1}^{2}+\cdots +\ألفا _{q}\إبسيلون _{tq}^{2}+\بيتا _{1}\سيجما _{t-1}^{2}+\cdots +\بيتا _{p}\سيجما _{tp}^{2}=\أوميغا +\مجموع _{i=1}^{q}\ألفا _{i}\إبسيلون _{ti}^{2}+\مجموع _{i=1}^{p}\بيتا _{i}\سيجما _{ti}^{2}}$

بشكل عام، عند اختبار عدم تجانس التباين في النماذج القياسية الاقتصادية، فإن أفضل اختبار هو اختبار وايت . ومع ذلك، عند التعامل مع بيانات السلاسل الزمنية ، فإن هذا يعني اختبار أخطاء ARCH وGARCH.

المتوسط ​​المتحرك المرجح أسيًا (EWMA) هو نموذج بديل في فئة منفصلة من نماذج التنعيم الأسي. كبديل لنموذج GARCH، يتمتع ببعض الخصائص الجذابة مثل الوزن الأكبر للملاحظات الأحدث، ولكن لديه أيضًا عيوب مثل عامل الاضمحلال التعسفي الذي يضفي الذاتية على التقدير.

يتم تحديد طول التأخير p لعملية GARCH( p , q ) في ثلاث خطوات:

1. تقدير أفضل نموذج AR( q ) مناسب

   ${\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{tq}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{ti}+\epsilon _{t}}$.

2. احسب وارسم الارتباطات الذاتية لـ ${\displaystyle \epsilon ^{2}}$

   ${\displaystyle \rho ={{\sum _{t=i+1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})({\hat {\epsilon }}_{t-1}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t-1}^{2})} \over {\sum _{t=1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})^{2}}}}$

3. الانحراف المعياري المقارب، أي للعينات الكبيرة، هو . تشير القيم الفردية الأكبر من هذا إلى أخطاء GARCH. لتقدير العدد الإجمالي للتأخيرات، استخدم اختبار Ljung–Box حتى تصبح قيمة هذه القيم أقل من 10% على سبيل المثال. تتبع إحصائية Ljung–Box Q التوزيع مع n درجة من الحرية إذا كانت المتبقيات التربيعية غير مرتبطة. يوصى بالنظر في ما يصل إلى قيم T/4 لـ n . تنص الفرضية الصفرية على عدم وجود أخطاء ARCH أو GARCH. وبالتالي فإن رفض العدم يعني وجود مثل هذه الأخطاء في التباين الشرطي .${\displaystyle \rho(i)}$${\displaystyle 1/{\sqrt {T}}}$${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle \epsilon _{t}^{2}}$

يحتاج هذا القسم إلى التوسع بما يلي: [4] [5] . يمكنك المساعدة عن طريق الإضافة إليه. ( أكتوبر 2017 )

نموذج GARCH(1,1) غير الخطي غير المتماثل ( NAGARCH ) هو نموذج بالمواصفات التالية: ^{[6] [7]}

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}}$,

حيث و ، مما يضمن عدم سلبية وثبات عملية التباين.${\displaystyle ~\alpha \geq 0,~\beta \geq 0,~\omega >0}$${\displaystyle ~\alpha (1+~\theta ^{2})+~\beta <1}$

بالنسبة لعائدات الأسهم، عادة ما يتم تقدير المعلمة بأنها إيجابية؛ في هذه الحالة، تعكس ظاهرة يشار إليها عادة باسم "تأثير الرافعة المالية"، مما يدل على أن العائدات السلبية تزيد من التقلبات المستقبلية بمقدار أكبر من العائدات الإيجابية بنفس المقدار. ^{[6] [7]}${\displaystyle ~\theta }$

لا ينبغي الخلط بين هذا النموذج ونموذج NARCH، إلى جانب امتداد NGARCH، الذي قدمه هيجينز وبيرا في عام 1992. ^[8]

التباين غير المتجانس المشروط المعمم المتكامل (IGARCH) هو نسخة مقيدة من نموذج GARCH، حيث يبلغ مجموع المعلمات المستمرة واحدًا، ويستورد جذر الوحدة في عملية GARCH. ^[9] الشرط لذلك هو

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1}$.

نموذج الانحدار الذاتي المشروط المعمم الأسي غير المتجانس (EGARCH) الذي وضعه نيلسون وكاو (1991) هو شكل آخر من أشكال نموذج GARCH. رسميًا، EGARCH(p,q):

${\displaystyle \log \sigma _{t}^{2}=\omega +\sum _{k=1}^{q}\beta _{k}g(Z_{t-k})+\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\log \sigma _{t-k}^{2}}$

حيث أن , هو التباين الشرطي , , , , و هي معاملات. قد يكون متغيرًا طبيعيًا قياسيًا أو يأتي من توزيع خطأ معمم . تسمح الصيغة لـ لعلامة وحجم أن يكون لهما تأثيرات منفصلة على التقلب. وهذا مفيد بشكل خاص في سياق تسعير الأصول. ^{[10] [11]}${\displaystyle g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda (|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))}$${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle Z_{t}}$${\displaystyle g(Z_{t})}$${\displaystyle Z_{t}}$

نظرًا لأنه قد يكون سلبيًا، فلا توجد قيود على الإشارة للمعلمات. ${\displaystyle \log \sigma _{t}^{2}}$

يضيف نموذج GARCH-in-mean (GARCH-M) مصطلح عدم تجانس التباين إلى معادلة المتوسط. وهو يحتوي على المواصفات التالية:

${\displaystyle y_{t}=~\beta x_{t}+~\lambda ~\sigma _{t}+~\epsilon _{t}}$

يتم تعريف المتبقي على النحو التالي:${\displaystyle ~\epsilon _{t}}$

${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}~\times z_{t}}$

يتم استخدام نموذج GARCH التربيعي (QGARCH) الذي وضعه سنتانا (1995) لنمذجة التأثيرات غير المتماثلة للصدمات الإيجابية والسلبية.

في مثال نموذج GARCH(1,1)، تكون العملية المتبقية هي ${\displaystyle ~\sigma _{t}}$

${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$

أين iid و ${\displaystyle z_{t}}$

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=K+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}}$

على غرار QGARCH، فإن نموذج Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR-GARCH) الذي وضعه Glosten وJagannathan وRunkle (1993) يقوم أيضًا بنمذجة عدم التماثل في عملية ARCH. والاقتراح هو النمذجة حيث يكون iid، و ${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$${\displaystyle z_{t}}$

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}^{2}I_{t-1}}$

أين إذا ، وإذا . ${\displaystyle I_{t-1}=0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\geq 0}$${\displaystyle I_{t-1}=1}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}<0}$

نموذج Threshold GARCH (TGARCH) الذي وضعه Zakoian (1994) يشبه نموذج GJR GARCH. المواصفات هي واحدة على الانحراف المعياري الشرطي بدلاً من التباين الشرطي :

${\displaystyle ~\sigma _{t}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}+~\alpha _{1}^{+}~\epsilon _{t-1}^{+}+~\alpha _{1}^{-}~\epsilon _{t-1}^{-}}$

حيث إذا ، وإذا . وعلى نحو مماثل، إذا ، وإذا . ${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{+}=~\epsilon _{t-1}}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}>0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{+}=0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\leq 0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{-}=~\epsilon _{t-1}}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\leq 0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{-}=0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t-1}>0}$

نموذج fGARCH لهينتشيل ، ^[12] والمعروف أيضًا باسم عائلة GARCH ، هو نموذج شامل يضم مجموعة متنوعة من نماذج GARCH المتماثلة وغير المتماثلة الشائعة الأخرى بما في ذلك APARCH وGJR وAVGARCH وNGARCH وما إلى ذلك.

في عام 2004، اقترح كلوديا كلوبلبيرج وألكسندر ليندنر وروس مالر تعميمًا مستمرًا للزمن لعملية GARCH(1,1) في الزمن المنفصل. والفكرة هي البدء بمعادلات نموذج GARCH(1,1)

${\displaystyle \epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t},}$

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\sigma _{t-1}^{2}z_{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2},}$

ثم استبدال عملية الضوضاء البيضاء القوية بالزيادات اللامتناهية في الصغر لعملية ليفي ، واستبدال عملية الضوضاء التربيعية بالزيادات ، حيث ${\displaystyle z_{t}}$${\displaystyle \mathrm {d} L_{t}}$ ${\displaystyle (L_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle z_{t}^{2}}$${\displaystyle \mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }}$

${\displaystyle [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }=\sum _{s\in [0,t]}(\Delta L_{t})^{2},\quad t\geq 0,}$

هو الجزء غير المتصل تمامًا من عملية التباين التربيعي لـ . والنتيجة هي النظام التالي من المعادلات التفاضلية العشوائية : ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \mathrm {d} G_{t}=\sigma _{t-}\,\mathrm {d} L_{t},}$

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma _{t}^{2}=(\beta -\eta \sigma _{t}^{2})\,\mathrm {d} t+\varphi \sigma _{t-}^{2}\,\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} },}$

حيث يتم تحديد المعلمات الموجبة و و بواسطة و . الآن مع الأخذ بعين الاعتبار بعض الشروط الأولية ، فإن النظام أعلاه لديه حل فريد على طول المسار والذي يسمى بعد ذلك نموذج GARCH المستمر ( COGARCH ). ^[13]${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \beta _{1}}$${\displaystyle (G_{0},\sigma _{0}^{2})}$${\displaystyle (G_{t},\sigma _{t}^{2})_{t\geq 0}}$

على عكس نموذج GARCH، فإن نموذج GARCH Zero-Drift (ZD-GARCH) الذي وضعه Li وZhang وZhu وLing (2018) ^[14] يسمح بمصطلح الانجراف في نموذج GARCH من الدرجة الأولى. نموذج ZD-GARCH هو نموذج ، حيث iid، و ${\displaystyle ~\omega =0}$${\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}$${\displaystyle z_{t}}$

${\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=~\alpha _{1}~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta _{1}~\sigma _{t-1}^{2}.}$

لا يتطلب نموذج ZD-GARCH ، وبالتالي فهو يتداخل مع نموذج المتوسط ​​المتحرك المرجح أسيًا (EWMA) في " RiskMetrics ". نظرًا لأن مصطلح الانجراف ، فإن نموذج ZD-GARCH غير ثابت دائمًا، وطرق الاستدلال الإحصائي الخاصة به مختلفة تمامًا عن تلك الخاصة بنموذج GARCH الكلاسيكي. بناءً على البيانات التاريخية، يمكن تقدير المعلمات و بواسطة طريقة QMLE المعممة . ${\displaystyle ~\alpha _{1}+~\beta _{1}=1}$${\displaystyle ~\omega =0}$${\displaystyle ~\alpha _{1}}$${\displaystyle ~\beta _{1}}$

تعتبر عمليات GARCH المكانية التي أجراها أوتو وشميد وجارثوف (2018) ^[15] بمثابة المعادل المكاني لنماذج التباين غير المتجانس المشروط المعمم ذاتيًا الزمنيًا (GARCH). وعلى النقيض من نموذج ARCH الزمني، حيث يكون التوزيع معروفًا بالنظر إلى مجموعة المعلومات الكاملة للفترة السابقة، فإن التوزيع ليس مباشرًا في البيئة المكانية والزمانية المكانية بسبب الترابط بين المواقع المكانية المجاورة. يتم إعطاء النموذج المكاني بواسطة و ${\displaystyle ~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})}$

${\displaystyle ~\sigma (s_{i})^{2}=~\alpha _{i}+\sum _{v=1}^{n}\rho w_{iv}\epsilon (s_{v})^{2},}$

حيث يشير إلى الموقع المكاني - ويشير إلى المدخل - في مصفوفة الأوزان المكانية و بالنسبة إلى . تحدد مصفوفة الأوزان المكانية المواقع التي تعتبر متجاورة. ${\displaystyle ~s_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle ~w_{iv}}$${\displaystyle iv}$${\displaystyle w_{ii}=0}$${\displaystyle ~i=1,...,n}$

في سياق مختلف، اقترح مجتمع التعلم الآلي استخدام نماذج الانحدار الغاوسي للعمليات للحصول على مخطط GARCH. ^[16] وينتج عن هذا مخطط نمذجة غير معياري، يسمح بما يلي: (أ) المتانة المتقدمة للملاءمة المفرطة، حيث يقوم النموذج بتهميش معلماته لأداء الاستدلال، بموجب منطق الاستدلال البايزي؛ و (ب) التقاط التبعيات غير الخطية للغاية دون زيادة تعقيد النموذج. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

• بولرسليف، تيم؛ راسل، جيفري؛ واتسون، مارك (مايو 2010). "الفصل الثامن: مسرد المصطلحات الخاصة بـ ARCH (GARCH)" (PDF) . التقلبات والقياسات الاقتصادية للسلاسل الزمنية: مقالات تكريماً لروبرت إنجل (الطبعة الأولى). أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ص 137-163. رقم ISBN 9780199549498.
• إندرز، دبليو. (2004). "نمذجة التقلبات". سلسلة زمنية للقياس الاقتصادي التطبيقي (الطبعة الثانية). جون-وايلي وأولاده. ص 108-155. رقم ISBN 978-0-471-45173-0.
• إنجل، روبرت ف. (1982). "تباين التباين الشرطي التلقائي الانحداري مع تقديرات تباين التضخم في المملكة المتحدة". إيكونومتريكا . 50 (4): 987-1008. doi :10.2307/1912773. JSTOR  1912773. S2CID  18673159. (الورقة التي أثارت الاهتمام العام بنماذج ARCH)
• إنجل، روبرت ف. (1995). ARCH: قراءات مختارة . مطبعة جامعة أكسفورد. رقم ISBN 978-0-19-877432-7.
• إنجل، روبرت ف. (2001). "GARCH 101: استخدام نماذج ARCH/GARCH في القياس الاقتصادي التطبيقي". مجلة المنظورات الاقتصادية . 15 (4): 157-168. doi :10.1257/jep.15.4.157. JSTOR  2696523. (مقدمة قصيرة وسهلة القراءة)
• جوجاراتي، دي إن (2003). القياس الاقتصادي الأساسي . ص 856-862.
• هاكر، آر إس؛ هاتيمي-جيه، إيه. (2005). "اختبار لتأثيرات ARCH المتعددة المتغيرات". رسائل الاقتصاد التطبيقي . 12 (7): 411-417. doi :10.1080/13504850500092129. S2CID  218639533.
• نيلسون، دي بي (1991). "تباين التباين الشرطي في عوائد الأصول: نهج جديد". إيكونومتريكا . 59 (2): 347-370. doi :10.2307/2938260. JSTOR  2938260.