المعادلة المميزة (التفاضل والتكامل)

في الرياضيات ، المعادلة المميزة (أو المعادلة المساعدة ^{[ 1 ]} ) هي معادلة جبرية من الدرجة $n$ يعتمد عليها حل معادلة تفاضلية معينة من الرتبة n $[$ ²^]^أو معادلة فرقية . ^[³^]^[⁴^] لا يمكن تكوين المعادلة المميزة إلا عندما تكون المعادلة التفاضلية خطية ومتجانسة ، ولها معاملات ثابتة . ^[¹^] هذه المعادلة التفاضلية، حيث $y$ هو المتغير التابع ، والرمز العلوي $($ $n$ $)$ يشير إلى المشتقة من الرتبة n ، و $a$ ^n $$ $،$ $a$ $n$ $-1$ $، ...،$ $a$ $1$ $،$ $a$ $0$ هي ثوابت.

a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0,

سيكون لها معادلة مميزة على الشكل التالي

a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0

حلولها $r1 ، r2 ، ...، rn هي$ الجذور التي يمكن من خلالها تكوين الحل العام . ^{[ 1 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} $وبالمثل، فإن$ معادلة الفرق الخطية من الشكل

y_{t+n}=b_{1}y_{t+n-1}+\cdots +b_{n}y_{t}

لها معادلة مميزة

r^{n}-b_{1}r^{n-1}-\cdots -b_{n}=0,

تمت مناقشتها بمزيد من التفصيل في قسم التكرار الخطي ذي المعاملات الثابتة .

تُقدّم الجذور المميزة ( جذور المعادلة المميزة) معلومات نوعية حول سلوك المتغير الذي يصف تطوره المعادلة الديناميكية. بالنسبة للمعادلة التفاضلية المُعطاة بالزمن، يكون تطور المتغير مستقرًا إذا وفقط إذا كان الجزء الحقيقي لكل جذر سالبًا. أما بالنسبة لمعادلات الفرق، فيكون الاستقرار قائمًا إذا وفقط إذا كان معيار كل جذر أقل من 1. وفي كلا النوعين من المعادلات، تحدث تقلبات مستمرة إذا وُجد زوج واحد على الأقل من الجذور المركبة .

اكتشف ليونارد أويلر طريقة تكامل المعادلات التفاضلية الخطية العادية ذات المعاملات الثابتة ، حيث وجد أن الحلول تعتمد على معادلة جبرية مميزة. ^[²^] وقد تناول عالما الرياضيات الفرنسيان أوغستين لويس كوشي وغاسبار مونج خصائص معادلة أويلر المميزة بمزيد من التفصيل لاحقًا . ^[²^]^[⁶^]

الاشتقاق

بدءًا من معادلة تفاضلية خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة $a n ، a n - 1 ، ...، a 1 ، a 0$ ،

a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0,

يتضح أنه إذا كانت $y (x) = e^(rx)$ ، فإن كل حد سيكون مضاعفًا ثابتًا لـ $e^(rx)$ . وينتج هذا عن كون مشتقة الدالة الأسية $e^(rx)$ مضاعفًا لنفسها. لذلك، فإن $y' = re^(rx)$ ، $وy ″ = r^(2) e ^(rx)$ ، و $y (n) = r^(n) e^(rx)$ كلها مضاعفات. يشير هذا إلى أن قيمًا معينة لـ $r$ تسمح لمضاعفات $e^(rx)$ بأن يكون مجموعها صفرًا، وبالتالي حل المعادلة التفاضلية المتجانسة. ^{[ 5 ]} ولحل المعادلة لإيجاد قيمة $r$ ، يمكن استبدال $y = e^(rx)$ ومشتقاتها في المعادلة التفاضلية للحصول على

a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0

بما أن $e rx$ لا يمكن أن تساوي صفرًا أبدًا، فإنه يمكن قسمتها، مما يعطي المعادلة المميزة

a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0.

بحلّ المعادلة المميزة لإيجاد جذور المعادلة التفاضلية ، $r ، يمكن إيجاد الحل العام لها.$ ^{[ 1 ]}^{[ 6 ]} على سبيل المثال، إذا كانت جذور $r$ تساوي 3 و11 و40، فسيكون الحل العام هو $y(x)=c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{11x}+c_{3}e^{40x}$ ، أين $c_{1}$ ، $c_{2}$ ، و $c_{3}$ هي ثوابت اختيارية يجب تحديدها من خلال الشروط الحدية و/أو الشروط الأولية.

تكوين المحلول العام

يُتيح حل المعادلة المميزة لإيجاد جذورها، $r₁ ، ...، rₙ ،$ إيجاد الحل العام للمعادلة التفاضلية. قد تكون الجذور حقيقية أو مركبة ، وكذلك مختلفة أو متكررة. إذا كانت للمعادلة المميزة أجزاء ذات جذور حقيقية مختلفة، أو $h$ $جذور$ متكررة، أو $k جذور مركبة$ $،$ تُقابل الحلول العامة $yD (x)$ ، $yR₁$ $($ $x$ $)، ...،$ $yRh$ $($ $x$ $)$ $،$ و $yC₁ (x ) ، ...،$ $yCk$ $($ $x$ $)$ $،$ $على$ $التوالي$ $، فإن$ الحل العام للمعادلة التفاضلية $هو$

y(x)=y_{\mathrm {D}}(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)

مثال

المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة

y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0

لها المعادلة المميزة

r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0

عن طريق تحليل المعادلة المميزة إلى

(r-3)(r^{2}+2r+2)^{2}=0

يمكن ملاحظة أن حلول $r$ هي الجذر المفرد المميز $r₁ = 3 والجذور$ المركبة المزدوجة $r₂, ₃, ₄, ₅ = 1 \pm i$ . وهذا يتوافق مع الحل العام ذي القيم الحقيقية.

y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)

مع الثوابت $c 1 ، ... ، c 5$ .

جذور حقيقية مميزة

ينص مبدأ التراكب للأنظمة الخطية المتجانسة على أنه إذا كانت u₁ , $...$ $, uₙ حلولًا$ مستقلة خطيًا $لمعادلة$ تفاضلية معينة، فإن $c₁u₁$ $+$ $... +$ $cₙuₙ$ هو أيضًا حل لجميع قيم ^{c₁, ..., cₙ. [1} $]$ $[$ $7$ $]$ $لذلك$ ^، $إذا$ ^كانت^{للمعادلة}^{المميزة} $جذور$ $حقيقية$ مختلفة r₁ $,$ $...$ $,$ $rₙ$ $،$ $فسيكون$ ^الحل العام على الصورة $التالية$ $:$

y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}

جذور حقيقية متكررة

$إذا$ $كان$ للمعادلة $المميزة$ ^جذر $r₁$ يتكرر $k$ ^مرة $،$ فمن $الواضح$ ^أن $yp (x$ $)$ $=$ $c₁e⁻ᵏ$ $...$ $$ $$ $$ $$ $$

\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0.

حقيقة أن $yp (x) = c1e^(r1) x$ هو أحد الحلول تسمح بافتراض أن الحل العام قد يكون على الصورة $y (x) = u (x) e^(r1)x$ ، حيث $u (x)$ دالة مطلوب تحديدها. وبالتعويض عن $u^(r1) x$ نحصل على

\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)\!ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}

عندما $k = 1.$ بتطبيق هذه الحقيقة $k$ مرة، ينتج أن

\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0.

بقسمة $e r 1 x$ ، يمكن ملاحظة أن

{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0.

$لذا ،$ $فإن$ الحالة العامة لـ u $(x) هي$ متعددة حدود من الدرجة $k$ $-$ $1$ ، بحيث يكون $u$ $(x) = c₁ + c₂x + c₃x² + ... + cₖx⁻¹ . [6$ ^{] وبما أن} y ( $x$ $)$ $=$ $ue$ $r₁x$ $،$ $فإن$ $جزء$ $الحل$ العام $المقابل$ $لـ$ $r₁$ $هو$

y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\!\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right).

مجمعات

$إذا كانت$ معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية لها معادلة مميزة بجذور مركبة مترافقة $على$ الصورة $r₁ = a + bi$ و $r₂ = a - bi$ ، فإن الحل العام هو $y (x) = c₁e (a + bi) x + c₂e (a - bi) x$ . وباستخدام صيغة أويلر $،$ التي تنص على أن $eᵢθ = cos(θ) + i sin(θ)$ $،$ يمكن إعادة كتابة هذا الحل على النحو التالي $:$

{\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}

حيث $c1 و$ $c2 ثابتان$ قد يكونان غير حقيقيين ويعتمدان على الشروط الابتدائية. ^{[ 6 ]} (في الواقع، بما أن $y (x)$ حقيقي، فإن $c1 - c2$ يجب أن يكون $تخيليًا أو صفرًا، و c1 + c2$ يجب أن يكون $حقيقيًا$ $، حتى$ $يكون$ كلا الحدين بعد علامة المساواة $الأخيرة$ حقيقيين. $)$

على سبيل المثال، إذا كان $c₁$ $=$ $c₂ = ½ ، فإن الحل$ الخاص $y₁$ $($ $x$ $)$ $=$ $e⁻ᵏᵗ$ $ax$ $cos($ $bx$ $)$ يتكون. وبالمثل، إذا كان $c₁$ $= ½ᵗ i و c₂ = -½ᵗ i، فإن الحل المستقل المتكون هو y₂$ $($ $x$ $)$ $=$ $e⁻ᵏᵗ$ $ax$ $sin$ $($ $bx$ $)$ $.$ $وبالتالي$ ، $وفقًا$ $لمبدأ$ $التراكب$ $للمعادلات$ $التفاضلية$ $الخطية$ $المتجانسة$ $،$ $فإن$ $معادلة$ $تفاضلية$ من الرتبة الثانية $ذات$ $جذور$ $مركبة$ r $=$ $a$ $\pm$ $bi$ $ستؤدي$ $إلى$ $الحل$ العام التالي $:$

y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}(C_{1}\cos bx+C_{2}\sin bx)

ينطبق هذا التحليل أيضًا على أجزاء حلول المعادلة التفاضلية ذات الرتبة الأعلى التي تتضمن معادلتها المميزة جذورًا مركبة غير حقيقية مترافقة.

انظر أيضاً

متعددة الحدود المميزة

مراجع

1 2 3 4 5 6 7 إدواردز، سي. هنري؛ بيني، ديفيد إي. (2008). "الفصل 3". المعادلات التفاضلية: الحساب والنمذجة . ديفيد كالفيس. أبر سادل ريفر ، نيو جيرسي : بيرسون إديوكيشن. ص 156-170 . ISBN 978-0-13-600438-7.
1 2 3 سميث، ديفيد يوجين. "تاريخ الرياضيات الحديثة: المعادلات التفاضلية" . جامعة جنوب فلوريدا .
↑ باومول، ويليام ج. (1970). الديناميات الاقتصادية ( الطبعة الثالثة). ص 172 .
↑ تشيانغ، ألفا (1984). الأساليب الأساسية للاقتصاد الرياضي ( الطبعة الثالثة). ماكجرو هيل. الصفحات 578 ، 600. ISBN 9780070107809.
1 2 تشو، هيرمان؛ شاه، غاوراف؛ ماكال، توم. "المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة العادية ذات المعاملات الثابتة" . إي فوندا . تم الاسترجاع في 1 مارس 2011 .
1 2 3 4 5 كوهين، أبراهام (1906). رسالة تمهيدية في المعادلات التفاضلية . دي سي هيث وشركاه .
↑ دوكينز، بول. "مصطلحات المعادلات التفاضلية" . ملاحظات بول الرياضية على الإنترنت . تم الاطلاع عليه في 2 مارس 2011 .

[edwards-1] 1 2 3 4 5 6 7 إدواردز، سي. هنري؛ بيني، ديفيد إي. (2008). "الفصل 3". المعادلات التفاضلية: الحساب والنمذجة . ديفيد كالفيس. أبر سادل ريفر ، نيو جيرسي : بيرسون إديوكيشن. ص 156-170 . ISBN 978-0-13-600438-7.

[smith-2] 1 2 3 سميث، ديفيد يوجين. "تاريخ الرياضيات الحديثة: المعادلات التفاضلية" . جامعة جنوب فلوريدا .

[3] باومول، ويليام ج. (1970). الديناميات الاقتصادية ( الطبعة الثالثة). ص 172 .

[4] تشيانغ، ألفا (1984). الأساليب الأساسية للاقتصاد الرياضي ( الطبعة الثالثة). ماكجرو هيل. الصفحات 578 ، 600. ISBN 9780070107809.

[eFunda-5] 1 2 تشو، هيرمان؛ شاه، غاوراف؛ ماكال، توم. "المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة العادية ذات المعاملات الثابتة" . إي فوندا . تم الاسترجاع في 1 مارس 2011 .

[cohen-6] 1 2 3 4 5 كوهين، أبراهام (1906). رسالة تمهيدية في المعادلات التفاضلية . دي سي هيث وشركاه .

[dawkins-7] دوكينز، بول. "مصطلحات المعادلات التفاضلية" . ملاحظات بول الرياضية على الإنترنت . تم الاطلاع عليه في 2 مارس 2011 .

[ 1 ]

2

[

[

[ 5 ]

[ 6 ]

للمعادلة

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗