متوسط ​​الانحراف المطلق

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 23 صور
الموسوعة الحرة

الانحراف المطلق المتوسط ​​( AAD ) لمجموعة بيانات هو متوسط ​​الانحرافات المطلقة عن نقطة مركزية . وهو إحصائية موجزة للتشتت أو التباين الإحصائي . بشكل عام، يمكن أن تكون النقطة المركزية هي المتوسط ​​الحسابي ، أو الوسيط ، أو المنوال ، أو نتيجة أي مقياس آخر للنزعة المركزية، أو أي قيمة مرجعية متعلقة بمجموعة البيانات المعطاة. يشمل الانحراف المطلق المتوسط ​​كلاً من الانحراف المطلق المتوسط ​​والانحراف المطلق الوسيط (ويُختصر كلاهما إلى MAD ).

مقاييس التشتت

تُعرَّف العديد من مقاييس التشتت الإحصائي بدلالة الانحراف المطلق. ولا يُعدّ مصطلح "متوسط ​​الانحراف المطلق" مؤشرًا دقيقًا لمقياس التشتت الإحصائي ، إذ توجد عدة مقاييس يمكن استخدامها لقياس الانحرافات المطلقة، بالإضافة إلى عدة مقاييس للنزعة المركزية . لذا، لتحديد الانحراف المطلق بدقة، من الضروري تحديد كلٍّ من مقياس الانحراف ومقياس النزعة المركزية. ولم تعتمد الأدبيات الإحصائية بعدُ ترميزًا موحدًا، حيث يُشار إلى كلٍّ من متوسط ​​الانحراف المطلق حول المتوسط ​​ووسيط الانحراف المطلق حول الوسيط بالاختصار "MAD"، مما قد يُسبب التباسًا، نظرًا لاختلاف قيمهما اختلافًا كبيرًا.

متوسط ​​الانحراف المطلق حول نقطة مركزية

متوسط ​​الانحراف المطلق لمجموعة X = { x 1 , x 2 , …, x n } هو:1ن∑أنا=1ن|xأنا-م(X)|.{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-m(X)|.}

اختيار مقياس النزعة المركزية،م(X){\displaystyle m(X)}، وله تأثير ملحوظ على قيمة الانحراف المتوسط. على سبيل المثال، بالنسبة لمجموعة البيانات {2، 2، 3، 4، 14} :

مقياس النزعة المركزيةم(X){\displaystyle m(X)}متوسط ​​الانحراف المطلق
المتوسط ​​الحسابي = 5|2-5|+|2-5|+|3-5|+|4-5|+|14-5|5=3.6{\displaystyle {\frac {|2-5|+|2-5|+|3-5|+|4-5|+|14-5|}{5}}=3.6}
الوسيط = 3|2-3|+|2-3|+|3-3|+|4-3|+|14-3|5=2.8{\displaystyle {\frac {|2-3|+|2-3|+|3-3|+|4-3|+|14-3|}{5}}=2.8}
الوضع = 2|2-2|+|2-2|+|3-2|+|4-2|+|14-2|5=3.0{\displaystyle {\frac {|2-2|+|2-2|+|3-2|+|4-2|+|14-2|}{5}}=3.0}

متوسط ​​الانحراف المطلق حول المتوسط

الانحراف المطلق المتوسط ​​( MAD)، والذي يُشار إليه أيضاً باسم "الانحراف المتوسط" أو أحياناً "متوسط ​​الانحراف المطلق"، هو متوسط ​​الانحرافات المطلقة للبيانات حول متوسطها: أي متوسط ​​المسافة (المطلقة) من المتوسط. ويمكن أن يشير مصطلح "متوسط ​​الانحراف المطلق" إلى هذا الاستخدام، أو إلى الصيغة العامة المتعلقة بنقطة مركزية محددة (انظر أعلاه).

تم اقتراح استخدام متوسط ​​الانحراف المطلق (MAD) بدلاً من الانحراف المعياري لأنه يتوافق بشكل أفضل مع الواقع. [ 1 ] ولأن متوسط ​​الانحراف المطلق يُعد مقياسًا أبسط للتباين من الانحراف المعياري ، فإنه يُمكن أن يكون مفيدًا في التدريس المدرسي. [ 2 ] [ 3 ]

تعتمد دقة التنبؤ في هذه الطريقة بشكل كبير على طريقة متوسط ​​مربع الخطأ (MSE)، وهي ببساطة متوسط ​​مربع الخطأ في التنبؤات. ورغم التشابه الكبير بين هاتين الطريقتين، إلا أن متوسط ​​الانحراف المطلق (MAD) هو الأكثر شيوعًا لسهولة حسابه (إذ لا يتطلب تربيعًا) [ 4 ] وسهولة فهمه. [ 5 ]

العلاقة بالانحراف المعياري

بالنسبة للتوزيع الطبيعي ، فإن نسبة الانحراف المطلق المتوسط ​​عن المتوسط ​​إلى الانحراف المعياري هي2/π=0.79788456...{\textstyle {\sqrt {2/\pi }}=0.79788456\ldots }وبالتالي، إذا كان X متغيرًا عشوائيًا موزعًا توزيعًا طبيعيًا بقيمة متوقعة 0، فانظر إلى Geary (1935): [ 6 ]w=هـ⁡[|X|]هـ⁡[X2]=2π.{\displaystyle w={\frac {\operatorname {E} \left[|X|\right]}{\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]}}}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,.} بمعنى آخر، في التوزيع الطبيعي، يبلغ متوسط ​​الانحراف المطلق حوالي 0.8 ضعف الانحراف المعياري. مع ذلك، تُعطي القياسات داخل العينة قيم نسبة متوسط ​​الانحراف إلى الانحراف المعياري لعينة غاوسية معينة (n) ضمن الحدود التالية:wن∈[0،1]{\displaystyle w_{n}\in [0,1]}، مع تحيز نحو قيم n الصغيرة . [ 7 ]

الانحراف المطلق المتوسط ​​عن المتوسط ​​أقل من أو يساوي الانحراف المعياري ؛ إحدى طرق إثبات ذلك تعتمد على متباينة جنسن .

دليل

عدم المساواة عند جنسن هيφ(هـ⁡[Y])≤هـ⁡[φ(Y)]{\displaystyle \varphi \left(\operatorname {E} [Y]\right)\leq \operatorname {E} \left[\varphi (Y)\right]}، أينφ{\displaystyle \varphi }بما أن الدالة محدبة، فهذا يعني أنY=|X-μ|{\displaystyle Y=\vert X-\mu \vert }الذي - التي: (هـ⁡[|X-μ|])2≤هـ⁡[|X-μ|2]=متغير⁡(X){\displaystyle \left(\operatorname {E} \left[|X-\mu |\right]\right)^{2}\leq \operatorname {E} \left[|X-\mu |^{2}\right]=\operatorname {Var} (X)}

بما أن كلا الطرفين موجبان، والجذر التربيعي دالة متزايدة بشكل رتيب في المجال الموجب: هـ⁡[|X-μ|]≤متغير⁡(X){\displaystyle \operatorname {E} \left[|X-\mu |\right]\leq {\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}}

للاطلاع على حالة عامة لهذا البيان، انظر إلى متباينة هولدر .

متوسط ​​الانحراف المطلق حول الوسيط

الوسيط هو النقطة التي يكون عندها الانحراف المتوسط ​​في أدنى قيمة له. يوفر الوسيط المطلق المتوسط ​​مقياسًا مباشرًا لمدى اتساع المتغير العشوائي حول وسيطه .دميد=هـ⁡[|X-متوسط|]{\displaystyle D_{\text{med}}=\operatorname {E} \left[|X-{\text{median}}|\right]}

هذا هو تقدير الاحتمال الأقصى لمعامل المقياسب{\displaystyle b}من توزيع لابلاس .

بما أن الوسيط يقلل متوسط ​​المسافة المطلقة، فإننا نحصل علىدميد≤ديقصد{\displaystyle D_{\text{med}}\leq D_{\text{mean}}}الانحراف المطلق المتوسط ​​عن الوسيط أقل من أو يساوي الانحراف المطلق المتوسط ​​عن المتوسط. في الواقع، الانحراف المطلق المتوسط ​​عن الوسيط يكون دائمًا أقل من أو يساوي الانحراف المطلق المتوسط ​​عن أي قيمة ثابتة أخرى.

باستخدام دالة التشتت العامة، عرّف حبيب (2011) متوسط ​​الانحراف المطلق حول الوسيط على النحو التالي: دميد=هـ⁡[|X-متوسط|]=2كوف⁡(X،أنايا){\displaystyle D_{\text{med}}=\operatorname {E} \left[|X-{\text{median}}|\right]=2\operatorname {Cov} (X,I_{O})} حيث تكون وظيفة المؤشر أنايا:={1لو x>متوسط،0خلاف ذلك.{\displaystyle \mathbf {I} _{O}:={\begin{cases}1&{\text{if }}x>{\text{median}},\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}

يسمح هذا التمثيل بالحصول على معاملات الارتباط الوسيطة MAD.

الانحراف المطلق الوسيط حول نقطة مركزية

بينما من حيث المبدأ يمكن اعتبار المتوسط ​​أو أي نقطة مركزية أخرى بمثابة النقطة المركزية للانحراف المطلق الوسيط، إلا أنه في أغلب الأحيان يتم أخذ القيمة الوسيطة بدلاً من ذلك.

الانحراف المطلق الوسيط حول الوسيط

الانحراف المطلق الوسيط (أو MAD) هو متوسط ​​الانحراف المطلق عن الوسيط . وهو مقياس قوي للتشتت .

بالنسبة للمثال {2، 2، 3، 4، 14} : 3 هو الوسيط، لذا فإن الانحرافات المطلقة عن الوسيط هي {1، 1، 0، 1، 11} (أعيد ترتيبها كـ {0، 1، 1، 1، 11} ) مع وسيط 1، في هذه الحالة غير متأثر بقيمة القيمة الشاذة 14، لذا فإن الانحراف المطلق للوسيط هو 1.

بالنسبة للتوزيع المتماثل، يكون الانحراف المطلق الوسيط مساوياً لنصف المدى الربيعي .

أقصى انحراف مطلق

أقصى انحراف مطلق حول نقطة معينة هو أكبر مجموع للانحرافات المطلقة لعينة من تلك النقطة. ورغم أنه ليس مقياسًا دقيقًا للنزعة المركزية، إلا أنه يمكن إيجاد أقصى انحراف مطلق باستخدام صيغة متوسط ​​الانحراف المطلق المذكورة أعلاه.م(X)=الأعلى(X){\displaystyle m(X)=\max(X)}، أينالأعلى(X){\displaystyle \max(X)}هي القيمة القصوى للعينة .

التقليل

تُصنِّف مقاييس التشتت الإحصائي المُستمدة من الانحراف المطلق مختلف مقاييس النزعة المركزية على أنها تُقلِّل التشتت: الوسيط هو مقياس النزعة المركزية الأكثر ارتباطًا بالانحراف المطلق. ويمكن مقارنة بعض معايير الموقع كما يلي:

تقدير

يُعدّ متوسط ​​الانحراف المطلق لعينة ما مُقدِّراً متحيزاً لمتوسط ​​الانحراف المطلق للمجتمع. ولكي يكون الانحراف المطلق مُقدِّراً غير متحيز، يجب أن تتساوى القيمة المتوقعة (المتوسط) لجميع الانحرافات المطلقة للعينة مع الانحراف المطلق للمجتمع. إلا أن هذا لا يحدث. فبالنسبة للمجتمع 1، 2، 3، يبلغ كل من الانحراف المطلق للمجتمع حول الوسيط والانحراف المطلق للمجتمع حول المتوسط ​​2/3. ويبلغ متوسط ​​جميع الانحرافات المطلقة للعينات حول المتوسط، والتي يبلغ حجمها 3، والتي يمكن سحبها من المجتمع، 44/81، بينما يبلغ متوسط ​​جميع الانحرافات المطلقة للعينات حول الوسيط 4/9. لذلك، يُعدّ الانحراف المطلق مُقدِّراً متحيزاً.

مع ذلك، تستند هذه الحجة إلى مفهوم عدم التحيز المتوسط. لكل مقياس للموقع شكله الخاص من عدم التحيز (انظر مدخل المقدر المتحيز ). الشكل ذو الصلة من عدم التحيز هنا هو عدم التحيز الوسيطي.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ طالب، نسيم نيكولاس (2014). "ما هي الفكرة العلمية الجاهزة للتقاعد؟" . إيدج . مؤرشف من الأصل في 16 يناير 2014. تم الاسترجاع في 16 يناير 2014 .{{cite web}}: CS1 maint: bot: حالة عنوان URL الأصلي غير معروفة ( رابط )
  2. ↑ كادر، غاري (مارس 1999). "المتوسطات والمجاميع المطلقة" . تدريس الرياضيات في المرحلة المتوسطة . 4 (6): 398-403 . doi : 10.5951/MTMS.4.6.0398 . مؤرشف من الأصل في 18 مايو 2013. تم الاطلاع عليه في 20 فبراير 2013 .
  3. ↑ فرانكلين، كريستين، غاري كادر، دينيس ميوبورن، جيري مورينو، روكسي بيك ، مايك بيري، وريتشارد شيفر (2007). إرشادات التقييم والتدريس في تعليم الإحصاء (ملف PDF) . الجمعية الإحصائية الأمريكية. ISBN 978-0-9791747-1-1تمت أرشفة الملف (PDF) من النسخة الأصلية بتاريخ 7 مارس 2013. تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 فبراير 2013 .{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  4. ↑ نحمياس، ستيفن؛ أولسن، تافا لينون (2015)، تحليل الإنتاج والعمليات ( الطبعة السابعة)، دار نشر ويڤلاند، ص 62، رقم ISBN   9781478628248، غالبًا ما تكون طريقة MAD هي الطريقة المفضلة لقياس خطأ التنبؤ لأنها لا تتطلب التربيع.
  5. ↑ ستادتلر، هارتموت؛ كيلجر، كريستوف؛ ماير، هربرت، محرران (2014)، إدارة سلسلة التوريد والتخطيط المتقدم: المفاهيم والنماذج والبرمجيات ودراسات الحالة ، نصوص سبرينغر في الأعمال والاقتصاد ( الطبعة الخامسة)، سبرينغر، ص 143، ISBN   9783642553097معنى الانحراف المطلق المتوسط ​​(MAD) أسهل في التفسير.
  6. ↑ جيري، آر سي (1935). نسبة الانحراف المتوسط ​​إلى الانحراف المعياري كاختبار للتوزيع الطبيعي. بيومتريكا، 27(3/4)، 310-332.
  7. ↑ انظر أيضًا ورقتي جيري لعامي 1936 و1946: جيري، آر سي (1936). عزم نسبة الانحراف المتوسط ​​إلى الانحراف المعياري للعينات الطبيعية. بيومتريكا، 28(3/4)، 295-307، وجيري، آر سي (1947). اختبار التوزيع الطبيعي. بيومتريكا، 34(3/4)، 209-242.