الانحراف (الإحصاء)

الانحراف الذي يمثل الفرق بين القيمة المرصودة وتقدير القيمة الحقيقية (مثل متوسط ​​العينة) هو الباقي . تنطبق هذه المفاهيم على البيانات على مستوى الفترات والنسب . ^{[ 3 ]}

الانحراف المطلق في الإحصاء هو مقياس يقيس الفرق الإجمالي بين نقاط البيانات الفردية وقيمة مركزية، عادةً ما تكون المتوسط ​​أو الوسيط لمجموعة البيانات. ويُحسب بأخذ القيمة المطلقة للفرق بين كل نقطة بيانات والقيمة المركزية، ثم حساب متوسط ​​هذه الفروق المطلقة. ^{[ 4 ]} وتُكتب الصيغة كما يلي: $${\displaystyle D_{i}=|x_{i}-m(X)|,}$$أين

• D _i هو الانحراف المطلق،
• يمثل x _i عنصر البيانات،
• m ( X ) هو المقياس المختار للنزعة المركزية لمجموعة البيانات - وأحيانًا يكون المتوسط ​​(${\displaystyle {\overline {x}}}$)، ولكن في أغلب الأحيان الوسيط .

يُعدّ متوسط ​​الانحراف المطلق (AAD) في الإحصاء مقياسًا لتشتت أو انتشار مجموعة من نقاط البيانات حول قيمة مركزية، عادةً ما تكون المتوسط ​​أو الوسيط. ويُحسب بأخذ متوسط ​​الفروق المطلقة بين كل نقطة بيانات والقيمة المركزية المختارة. يوفر متوسط ​​الانحراف المطلق مقياسًا لحجم الانحرافات النموذجية عن القيمة المركزية في مجموعة البيانات، مما يُعطي نظرة ثاقبة على التباين الكلي للبيانات. ^{[ 5 ]}

يُعدّ الانحراف المطلق الأدنى (LAD) أسلوبًا إحصائيًا يُستخدم في تحليل الانحدار لتقدير معاملات النموذج الخطي. وعلى عكس طريقة المربعات الصغرى الأكثر شيوعًا، والتي تُقلّل مجموع مربعات المسافات الرأسية (البواقي) بين القيم المرصودة والمتوقعة، فإنّ طريقة الانحراف المطلق الأدنى تُقلّل مجموع المسافات الرأسية المطلقة.

في سياق الانحدار الخطي، إذا كانت ( x1 , _y1 ) _، ( x2 , _y2 ) _، ... هي نقاط البيانات، و a و b هما المعاملان المطلوب تقديرهما للنموذج الخطي

$${\displaystyle y=ax+b}$$

يتم الحصول على أقل تقديرات الانحراف المطلق ( أ و ب ) عن طريق تقليل المجموع.

تُعد طريقة LAD أقل حساسية للقيم المتطرفة مقارنةً بطريقة المربعات الصغرى، مما يجعلها تقنية انحدار قوية في وجود توزيعات متبقية ملتوية أو ذات ذيول سميكة. ^{[ 6 ]}

بالنسبة للمُقدِّر غير المتحيز ، فإن متوسط ​​الانحرافات المُوَقَّعة عبر مجموعة جميع المشاهدات عن قيمة مُعَلَّمة المجتمع غير المرصودة يساوي صفرًا عند إجراء عدد كبير من العينات. ومع ذلك، وبحسب التعريف، فإن متوسط ​​الانحرافات المُوَقَّعة للقيم عن متوسط ​​العينة يساوي صفرًا دائمًا، على الرغم من أن متوسط ​​الانحراف المُوَقَّع عن مقياس آخر للنزعة المركزية، مثل وسيط العينة، قد لا يساوي صفرًا.

الانحراف المتوسط ​​الموجه هو مقياس إحصائي يُستخدم لتقييم متوسط ​​انحراف مجموعة من القيم عن نقطة مركزية، عادةً ما تكون المتوسط. ويُحسب بأخذ المتوسط ​​الحسابي للفروق الموجهة بين كل نقطة بيانات ومتوسط ​​مجموعة البيانات.

يشير مصطلح "مُوَقَّع" إلى أن الانحرافات تُؤخذ في الاعتبار مع إشاراتها، أي ما إذا كانت أعلى أو أدنى من المتوسط. وتُدرج الانحرافات الموجبة (أعلى من المتوسط) والانحرافات السالبة (أدنى من المتوسط) في الحساب. يوفر متوسط ​​الانحراف المُوَقَّع مقياسًا لمتوسط ​​المسافة واتجاه نقاط البيانات عن المتوسط، مما يُتيح فهمًا أفضل للاتجاه العام وتوزيع البيانات. ^{[ 3 ]}

تُستخدم إحصاءات توزيع الانحرافات كمقاييس للتشتت الإحصائي .

• الانحراف المعياري هو مقياس شائع الاستخدام لمدى انتشار أو تشتت مجموعة البيانات. وهو يحدد متوسط ​​مقدار التباين أو الانحراف لنقاط البيانات الفردية عن متوسط ​​مجموعة البيانات. ويستخدم مربعات الانحرافات، وله خصائص مرغوبة. إلا أن الانحراف المعياري حساس للقيم المتطرفة، مما يجعله غير دقيق . ^{[ 7 ]}
• يُعدّ متوسط ​​الانحراف المطلق مقياسًا لتشتت البيانات، وهو أقل تأثرًا بالقيم المتطرفة. يُحسب هذا المتوسط ​​بإيجاد الفرق المطلق بين كل نقطة بيانات والمتوسط، ثم جمع هذه الفروق المطلقة، ثم قسمة الناتج على عدد المشاهدات. يوفر هذا المقياس تقديرًا أكثر دقة للتباين مقارنةً بالانحراف المعياري. ^{[ 8 ]}
• الانحراف المطلق الوسيطي هو مقياس إحصائي قوي يستخدم الوسيط، بدلاً من المتوسط، لقياس تشتت مجموعة البيانات. يُحسب هذا المقياس بإيجاد الفرق المطلق بين كل نقطة بيانات والوسيط، ثم حساب وسيط هذه الفروق المطلقة. وهذا ما يجعل الانحراف المطلق الوسيطي أقل تأثراً بالقيم المتطرفة، مما يوفر بديلاً قوياً للانحراف المعياري. ^{[ 9 ]}
• يُعدّ الانحراف المطلق الأقصى مقياسًا مباشرًا لأقصى فرق بين أي نقطة بيانات فردية ومتوسط ​​مجموعة البيانات. مع ذلك، فهو غير دقيق إلى حد كبير، إذ يمكن أن يتأثر بشكل غير متناسب بقيمة متطرفة واحدة. قد لا يوفر هذا المقياس قياسًا موثوقًا للتشتت عند التعامل مع مجموعات بيانات تحتوي على قيم متطرفة. ^{[ 8 ]}