مصفوفة بيزو

في الرياضيات ، مصفوفة بيزو (أو مصفوفة بيزو أو مصفوفة بيزو ) هي مصفوفة مربعة خاصة مرتبطة بكثيرتي حدود ، قدمها جيمس جوزيف سيلفستر عام 1853 وآرثر كايلي عام 1857، وسُميت نسبةً إلى إتيان بيزو . ^{[ 1 ] [ 2 ]} قد يُشير مصطلح بيزو أيضًا إلى مُحدد هذه المصفوفة، والذي يساوي محصلة كثيرتي الحدود. تُستخدم مصفوفات بيزو أحيانًا لاختبار استقرار كثير حدود مُعين.

يترك${\displaystyle f(z)}$و${\displaystyle g(z)}$ليكن اثنان من كثيرات الحدود المركبة من الدرجة n على الأكثر ،

${\displaystyle f(z)=\sum _{i=0}^{n}u_{i}z^{i},\qquad g(z)=\sum _{i=0}^{n}v_{i}z^{i}.}$

(لاحظ أن أي معامل${\displaystyle u_{i}}$أو${\displaystyle v_{i}}$(قد تكون صفرًا.) مصفوفة بيزو من الرتبة n المرتبطة بكثيرتي الحدود f و g هي

${\displaystyle B_{n}(f,g)=\left(b_{ij}\right)_{i,j=0,\dots ,n-1}}$

حيث المدخلات${\displaystyle b_{ij}}$نتيجة للهوية

${\displaystyle {\frac {f(x)g(y)-f(y)g(x)}{xy}}=\sum _{i,j=0}^{n-1}b_{ij}\,x^{i}\,y^{j}.}$

هي مصفوفة عقدية من الرتبة n × n ، وعناصرها بحيث إذا وضعنا${\displaystyle \ell _{ij}=\max\{0,ij\}}$و${\displaystyle m_{ij}=\min\{i,n-1-j\}}$لكل${\displaystyle i,j=0,\dots ,n-1}$، ثم:

${\displaystyle b_{ij}=\sum _{k=\ell _{ij}}^{m_{ij}}(u_{j+k+1}v_{ik}-u_{ik}v_{j+k+1}).}$

يمكن ربط كل مصفوفة بيزو بالشكل الثنائي الخطي التالي ، والذي يسمى بيزوتيان:

${\displaystyle \operatorname {بيز}$ :\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}  :(x,y)\mapsto \operatorname {Bez} (x,y)=x^{*}B_{n}(f,g)\,y.}

• بالنسبة لـ n  =  3، لدينا لأي كثيرتي حدود f و g من الدرجة (على الأكثر) 3:

${\displaystyle B_{3}(f,g)=\left[{\begin{matrix}u_{1}v_{0}-u_{0}v_{1}&u_{2}v_{0}-u_{0 }v_{2}&u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}\\u_{2}v_{0}-u_{0}v_{2}&u_{2}v_{1}-u_{1}v _{2}+u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}&u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\\u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}&u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}&u_{3}v_{2}-u_{2}v_{3}\end{matrix}}\right]\!.}$

• يترك${\displaystyle f(x)=3x^{3}-x}$و${\displaystyle g(x)=5x^{2}+1}$ليكن هاتان كثيرتا الحدود. إذن:

${\displaystyle B_{4}(f,g)=\left[{\begin{matrix}-1&0&3&0\\0&8&0&0\\3&0&15&0\\0&0&0&0\end{matrix}}\right]\!.}$

الصف والعمود الأخيران كلاهما أصفار لأن درجة f و g أقل من n (وهي 4). أما القيم الصفرية الأخرى فهي لأن لكل${\displaystyle i=0,\dots ,n}$، أيضاً${\displaystyle u_{i}}$أو${\displaystyle v_{i}}$يساوي صفرًا.

• ${\displaystyle B_{n}(f,g)}$متناظر (كمصفوفة) ؛
• ${\displaystyle B_{n}(f,g)=-B_{n}(g,f)}$؛
• ${\displaystyle B_{n}(f,f)=0}$؛
• ${\displaystyle (f,g)\mapsto B_{n}(f,g)}$هي دالة ثنائية الخطية ؛
• ${\displaystyle B_{n}(f,g)}$تكون مصفوفة حقيقية إذا كانت معاملات f و g حقيقية ؛
• ${\displaystyle B_{n}(f,g)}$غير مفرد مع${\displaystyle n=\max(\deg(f),\deg(g))}$إذا وفقط إذا لم يكن للدالتين f و g جذور مشتركة .
• ${\displaystyle B_{n}(f,g)}$مع${\displaystyle n=\max(\deg(f),\deg(g))}$لها محدد وهو محصلة f و g .​
• يمكن اختزال مصفوفات بيزوتيان إلى شكل قطري كتلي بمساعدة مصفوفة فانديرموند المتقاربة . ^{[ 3 ]}

يُمكن إيجاد تطبيق مهم لمصفوفات بيزو في نظرية التحكم . ولتوضيح ذلك، لنفترض أن f ( z ) متعددة حدود عقدية من الدرجة n، ولنرمز بـ q و p إلى متعددات الحدود الحقيقية التي تحقق f (i, y )  = q ( y ) + i p ( y ) (حيث y عدد حقيقي). كما نرمز بـ r إلى رتبة المصفوفة و σ إلى توقيعها.   ${\displaystyle B_{n}(p,q)}$ثم لدينا العبارات التالية:

• للدالة f ( z ) عدد n  − r من الجذور المشتركة مع مرافقها؛ 
• يتم تحديد مواقع الجذور اليسرى للدالة f ( z ) على النحو التالي:
  • يقع نصفها ( r  + σ ) في النصف الأيسر المفتوح من المستوى، و 
  • ( r  − σ )/2 تقع في النصف الأيمن المفتوح من المستوى؛ 
• تكون الدالة f مستقرة وفقًا لمعيار هورويتز إذا وفقط إذا${\displaystyle B_{n}(p,q)}$موجب محدد .

يُقدّم البيان الثالث شرطًا ضروريًا وكافيًا فيما يتعلق بالاستقرار. علاوة على ذلك، يُظهر البيان الأول بعض أوجه التشابه مع نتيجة تتعلق بمصفوفات سيلفستر، بينما يمكن ربط البيان الثاني بنظرية راوث-هرويتز .

• كايلي، آرثر (1857)، “ملاحظة حول طريقة القضاء على بيزوت” ، ج. رين أنجيو. الرياضيات. ، 53 : 366–367 ، دوى : 10.1515/crll.1857.53.366
• كرين، إم جي؛ نايمارك، إم إيه (1981) [1936]، "طريقة الأشكال المتناظرة والهرميتية في نظرية فصل جذور المعادلات الجبرية"، الجبر الخطي والمتعدد الخطوط ، 10 (4): 265-308 ، doi : 10.1080/03081088108817420 ، ISSN 0308-1087 ، MR 0638124  
• بان، فيكتور؛ بيني، داريو (1994). حسابات كثيرات الحدود والمصفوفات . بازل، سويسرا: بيركهاوزر. ISBN 0-8176-3786-9.
• بريتشارد، أنتوني جيه؛ هينريشسن، ديدريش (2005). نظرية الأنظمة الرياضية 1: النمذجة، تحليل فضاء الحالة، الاستقرار والمتانة . برلين: سبرينغر. ISBN 3-540-44125-5.
• سيلفستر، جيمس جوزيف (1853)، "حول نظرية العلاقات الاقترانية بين دالتين تكامليتين كسريتين، تتضمن تطبيقًا على نظرية دوال ستورم، ونظرية أكبر مقياس جبري مشترك" ، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن ، 143 ، الجمعية الملكية: 407-548 ، doi : 10.1098/rstl.1853.0018 ، ISSN 0080-4614 ، JSTOR 108572