خريطة ثنائية الخطوط

يترك${\displaystyle V,W}$و${\displaystyle X}$لتكن ثلاثة فضاءات متجهة على نفس الحقل الأساسي${\displaystyle F}$التحويل الثنائي الخطي هو دالة$${\displaystyle B:V\times W\to X}$$ بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle w\in W}$الخريطة${\displaystyle B_{w}}$$${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$$ هي خريطة خطية من${\displaystyle V}$ل${\displaystyle X,}$وللجميع${\displaystyle v\in V}$الخريطة${\displaystyle B_{v}}$$${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$$ هي خريطة خطية من${\displaystyle W}$ل${\displaystyle X.}$بمعنى آخر، عندما نثبت المدخل الثاني للدالة الثنائية الخطية مع السماح للمدخل الأول بالتغير، ينتج عن ذلك${\displaystyle B_{w}}$، والنتيجة هي عامل خطي، وبالمثل عندما نثبت المدخل الأول.

خريطة كهذه${\displaystyle B}$يستوفي الخصائص التالية.

• لأي${\displaystyle \lambda \in F}$،${\displaystyle B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w).}$
• الخريطة${\displaystyle B}$يكون جمعيًا في كلا المكونين: إذا${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$و${\displaystyle w_{1},w_{2}\in W,}$ثم${\displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}$و${\displaystyle B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2}).}$

لو${\displaystyle V=W}$ولدينا B ( v , w ) = B ( w , v ) لجميع${\displaystyle v,w\in V,}$ثم نقول أن B متناظر . إذا كان X هو الحقل الأساسي F ، فإن التطبيق يسمى شكلاً ثنائي الخطية ، وهي أشكال مدروسة جيدًا (على سبيل المثال: الضرب القياسي ، والضرب الداخلي ، والشكل التربيعي ).

يظل التعريف صالحًا دون أي تغييرات إذا استخدمنا بدلاً من الفضاءات المتجهة على حقل F ، وحدات على حلقة تبديلية R. ويمكن تعميمه على الدوال من الرتبة n ، حيث يكون الحد المناسب متعدد الخطية .

بالنسبة للحلقات غير التبادلية R و S ، ووحدة نمطية يسارية R - M ووحدة نمطية يمينية S -N ، فإن التطبيق الثنائي الخطي هو تطبيق B  : M × N → T حيث T وحدة نمطية ثنائية ( R , S ) ، ويكون لأي عنصر n في N ، m ↦ B ( m , n ) تشاكلًا بين وحدات نمطية R ، ولأي عنصر m في M ، n ↦ B ( m , n ) تشاكلًا بين وحدات نمطية S. وهذا يحقق

B ( r ⋅ m , n ) = r ⋅ B ( m , n )

B ( m , n ⋅ s ) = B ( m , n ) ⋅ s

لكل m في M و n في N و r في R و s في S ، بالإضافة إلى كون B جمعيًا في كل وسيط.

العديد من الدوال الثنائية الخطية التي تظهر في التطبيقات العملية تكون متصلة بشكل منفصل، ولكن ليس جميعها كذلك. نورد هنا الشروط الكافية لكي تكون الدالة الثنائية الخطية المتصلة بشكل منفصل متصلة.

• إذا كان X فضاء باير و Y قابلًا للقياس، فإن كل تطبيق ثنائي خطي متصل بشكل منفصل${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$متصلة. ^{[ 1 ]}
• لو${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$إذا كانت الثنائيات القوية لفضاءات فريشيه ، فإن كل خريطة ثنائية خطية متصلة بشكل منفصل${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$متصلة. ^{[ 1 ]}
• إذا كانت الدالة الثنائية الخطية متصلة عند النقطة (0، 0)، فإنها تكون متصلة في كل مكان. ^{[ 2 ]}

يترك${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$لتكن فضاءات هاوسدورف محدبة محليًا ولتكن${\displaystyle C:L(X;Y)\times L(Y;Z)\to L(X;Z)}$لتكن خريطة التركيب المحددة بواسطة${\displaystyle C(u,v):=v\circ u.}$ بشكل عام، الخريطة الثنائية الخطية${\displaystyle C}$ليست متصلة (بغض النظر عن طوبولوجيا فضاءات التطبيقات الخطية المعطاة). ومع ذلك، لدينا النتائج التالية:

أعطِ كل فضاء من فضاءات التطبيقات الخطية الثلاثة أحد التكوينات الطوبولوجية التالية:

1. أعطِ الثلاثة جميعها طوبولوجيا التقارب المحدود؛
2. أعطِ الثلاثة جميعها طوبولوجيا التقارب المضغوط ؛
3. أعطِ الثلاثة جميعها طوبولوجيا التقارب النقطي .

• لو${\displaystyle E}$هي مجموعة فرعية متساوية الاستمرارية من${\displaystyle L(Y;Z)}$ثم التقييد${\displaystyle C{\big \vert }_{L(X;Y)\times E}:L(X;Y)\times E\to L(X;Z)}$تكون متصلة لجميع الطوبولوجيات الثلاث. ^{[ 1 ]}
• لو${\displaystyle Y}$إذن، يكون الفضاء أسطوانيًا لكل تسلسل${\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$يتقارب إلى${\displaystyle u}$في${\displaystyle L(X;Y)}$وكل تسلسل${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$يتقارب إلى${\displaystyle v}$في${\displaystyle L(Y;Z),}$التسلسل${\displaystyle \left(v_{i}\circ u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$يتقارب إلى${\displaystyle v\circ u}$في${\displaystyle L(Y;Z).}$^{[ 1 ]}