النتيجة

تنطبق الخصائص التالية على محصلة كثيرتي حدود بمعاملات في حلقة تبديلية R. إذا كانت R حقلاً أو بشكل أعم مجالاً تكاملياً ، فإن المحصلة هي الدالة الوحيدة لمعاملات كثيرتي الحدود التي تحقق هذه الخصائص.

• إذا كانت R حلقة جزئية من حلقة أخرى S ، فإن${\displaystyle \operatorname {res} _{R}(A,B)=\operatorname {res} _{S}(A,B).}$أي أن A و B لهما نفس النتيجة عند اعتبارهما كثيرات حدود على R أو S.
• إذا كانت قيمة d تساوي صفرًا (أي إذا${\displaystyle A=a_{0}}$(ثابت غير صفري) إذن${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=a_{0}^{e}.}$وبالمثل، إذا كانت قيمة e تساوي صفرًا ، فإن${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=b_{0}^{d}.}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (x+a_{1},x+b_{1})=b_{1}-a_{1}}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (B,A)=(-1)^{de}\operatorname {res} (A,B)}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (AB,C)=\operatorname {res} (A,C)\operatorname {res} (B,C)}$

• تكون محصلة كثيرتي حدود بمعاملات في مجال تكاملي D مساوية للصفر إذا وفقط إذا كان لهما قاسم مشترك من ^الدرجة الموجبة على حقل الكسور في D. [ ^{أ ]}
• تكون محصلة كثيرتي حدود بمعاملات في مجال تكاملي صفرًا إذا وفقط إذا كان لهما جذر مشترك في حقل مغلق جبريًا يحتوي على المعاملات.
• يوجد كثير حدود P من الدرجة الأقل من e وكثير حدود Q من الدرجة الأقل من d بحيث${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=AP+BQ.}$هذا تعميم لهوية بيزو ليشمل كثيرات الحدود على حلقة تبديلية اختيارية. بعبارة أخرى، فإن محصلة كثيرتي حدود تنتمي إلى المثالي المتولد من هاتين الكثيرتين.

ليكن A و B كثيرتي حدود من الدرجتين d و e على التوالي ، بمعاملات تنتمي إلى حلقة تبديلية R ، و${\displaystyle \varphi \colon R\to S}$تماثل حلقي من R إلى حلقة تبديلية أخرى S. تطبيق${\displaystyle \varphi }$يمتد إلى معاملات متعددة الحدود${\displaystyle \varphi }$إلى تشاكل حلقات متعددة الحدود${\displaystyle R[x]\to S[x]}$، والذي يُشار إليه أيضًا بـ${\displaystyle \varphi .}$باستخدام هذه الرموز، لدينا:

• لو${\displaystyle \varphi }$يحافظ على درجات A و B (أي إذا${\displaystyle \deg(\varphi (A))=d}$و${\displaystyle \deg(\varphi (B))=e}$)، ثم$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).}$$
• لو${\displaystyle \deg(\varphi (A))<d}$و${\displaystyle \deg(\varphi (B))<e,}$ثم$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=0.}$$
• لو${\displaystyle \deg(\varphi (A))=d}$و${\displaystyle \deg(\varphi (B))=f<e,}$ والمعامل الرئيسي لـ A هو${\displaystyle a_{0}}$ثم$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=\varphi (a_{0})^{e-f}\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).}$$
• لو${\displaystyle \deg(\varphi (A))=f<d}$و${\displaystyle \deg(\varphi (B))=e,}$ والمعامل الرئيسي لـ B هو${\displaystyle b_{0}}$ثم$${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=(-1)^{e(d-f)}\varphi (b_{0})^{d-f}\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).}$$

يمكن استنتاج هذه الخصائص بسهولة من تعريف المحصلة كمحدد. وتُستخدم هذه الخصائص بشكل أساسي في حالتين. عند حساب محصلة كثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة، يكون من الأسرع عمومًا حسابها بتردد عدة أعداد أولية، ثم استرجاع المحصلة المطلوبة باستخدام نظرية الباقي الصينية . عندما تكون R حلقة كثيرات حدود في متغيرات أخرى، و S هي الحلقة الناتجة عن تخصيص بعض أو كل متغيرات R إلى قيم عددية ، يمكن إعادة صياغة هذه الخصائص كما يلي: إذا حُفظت الدرجات بالتخصيص، فإن محصلة تخصيص كثيرتي حدود هي تخصيص المحصلة . تُعد هذه الخاصية أساسية، على سبيل المثال، للتحليل الجبري الأسطواني .

• ${\displaystyle \operatorname {res} (A(x+a),B(x+a))=\operatorname {res} (A(x),B(x))}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (A(ax),B(ax))=a^{de}\operatorname {res} (A(x),B(x))}$
• لو${\displaystyle A_{r}(x)=x^{d}A(1/x)}$و${\displaystyle B_{r}(x)=x^{e}B(1/x)}$إذا كانت هي كثيرات الحدود المقلوبة لـ A و B على التوالي، فإن$${\displaystyle \operatorname {res} (A_{r},B_{r})=(-1)^{de}\operatorname {res} (A,B)}$$

وهذا يعني أن خاصية كون المحصلة صفراً ثابتة تحت التغييرات الخطية والإسقاطية للمتغير.

• إذا كان a و b ثابتين غير صفريين (أي أنهما مستقلان عن المتغير x غير المحدد )، وكان A و B كما سبق، فإن$${\displaystyle \operatorname {res} (aA,bB)=a^{e}b^{d}\operatorname {res} (A,B).}$$
• إذا كانت A و B كما سبق، و C متعددة حدود أخرى بحيث تكون درجة A – CB هي δ ، فإن $${\displaystyle \operatorname {res} (B,A-CB)=b_{0}^{\delta -d}\operatorname {res} (B,A).}$$

فقط عندما${\displaystyle BC}$و​​${\displaystyle A}$⁠ لها نفس الدرجة التي ⁠${\displaystyle \delta }$لا يمكن استنتاج قيمة من درجات كثيرات الحدود المعطاة. إذا كانتB أحادية ، أو كانت درجة C أقل من درجة A - درجة B ، فإن$${\displaystyle \operatorname {res} (B,A-CB)=\operatorname {res} (B,A),}$$إذا كانت f = درجة C > درجة A – درجة B = d – e ، فإن$${\displaystyle \operatorname {res} (B,A-CB)=b_{0}^{e+f-d}\operatorname {res} (B,A).}$$

تشير هذه الخصائص إلى أنه في خوارزمية إقليدس لكثيرات الحدود ، وجميع متغيراتها ( متواليات البواقي الزائفة )، يختلف ناتج باقيين متتاليين (أو باقيين زائفين) عن ناتج كثيرات الحدود الأولية بمعامل يسهل حسابه. وبالمقابل، يسمح هذا باستنتاج ناتج كثيرات الحدود الأولية من قيمة الباقي الأخير أو الباقي الزائف الأخير. هذه هي الفكرة الأساسية لخوارزمية متوالية البواقي الزائفة للناتج الفرعي ، والتي تستخدم الصيغ المذكورة أعلاه للحصول على كثيرات الحدود الناتجة الفرعية كبواقي زائفة، والناتج كآخر باقي زائف غير صفري (بشرط ألا يكون الناتج صفرًا). تعمل هذه الخوارزمية مع كثيرات الحدود على الأعداد الصحيحة، أو بشكل أعم، على مجال تكاملي، دون أي قسمة أخرى غير القسمة التامة (أي دون استخدام الكسور). يتضمن ذلك${\displaystyle O(de)}$العمليات الحسابية، بينما يتطلب حساب محدد مصفوفة سيلفستر باستخدام الخوارزميات القياسية${\displaystyle O((d+e)^{3})}$العمليات الحسابية.

في هذا القسم، سنتناول كثيرتي حدود $${\displaystyle A=a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}+\cdots +a_{d}}$$ و $${\displaystyle B=b_{0}x^{e}+b_{1}x^{e-1}+\cdots +b_{e}}$$ معاملاتها d + e + 2 هي متغيرات غير محددة مختلفة . ليكن $${\displaystyle R=\mathbb {Z} [a_{0},\ldots ,a_{d},b_{0},\ldots ,b_{e}]}$$ لتكن حلقة كثيرات الحدود على الأعداد الصحيحة المعرفة بهذه المتغيرات. الناتج${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$يُطلق عليه غالبًا اسم المحصلة العامة للدرجتين d و e . وله الخصائص التالية.

• ${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$هي متعددة حدود غير قابلة للاختزال على الإطلاق .
• لو${\displaystyle I}$هو المثال الأمثل لـ${\displaystyle R[x]}$تم توليدها بواسطة A و B ، ثم${\displaystyle I\cap R}$هو المثال الرئيسي الناتج عن${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$.

تكون النتيجة العامة للدرجتين d و e متجانسة بطرق مختلفة. بتعبير أدق:

• وهي متجانسة من الدرجة e في${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{d}.}$
• وهو متجانس من الدرجة د في${\displaystyle b_{0},\ldots ,b_{e}.}$
• وهي متجانسة من الدرجة d + e في جميع المتغيرات${\displaystyle a_{i}}$و${\displaystyle b_{j}.}$
• لو${\displaystyle a_{i}}$و${\displaystyle b_{i}}$إذا أعطيت الوزن i (أي أن وزن كل معامل هو درجته كمتعدد حدود متماثل أولي )، فإنها تكون شبه متجانسة ذات وزن إجمالي de .
• إذا كانت P و Q كثيرتي حدود متجانستين متعددتي المتغيرات من الدرجتين d و e على التوالي ، فإن محصلتهما في الدرجتين d و e بالنسبة إلى متغير غير محدد x ، يُرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}^{d,e}(P,Q)}$في §  الترميز ، يكون متجانسًا من الدرجة de في المتغيرات غير المحددة الأخرى.

يترك${\displaystyle I=\langle A,B\rangle }$ليكن المثالي الناتج عن كثيرتي حدود A و B في حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle R[x],}$أين${\displaystyle R=k[y_{1},\ldots ,y_{n}]}$هي نفسها حلقة متعددة الحدود على حقل. إذا كان أحد A أو B على الأقل أحاديًا في x ، فإن:

• ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)\in I\cap R}$
• المُثُل${\displaystyle I\cap R}$و${\displaystyle R\operatorname {res} _{x}(A,B)}$نُعرّف نفس المجموعة الجبرية . أي أن مجموعة من n عنصرًا من حقل مغلق جبريًا هي صفر مشترك لعناصر${\displaystyle I\cap R}$إذا وفقط إذا كان صفرًا من${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B).}$
• المثالي${\displaystyle I\cap R}$له نفس الجذر الذي يمتلكه المثال الرئيسي${\displaystyle R\operatorname {res} _{x}(A,B).}$أي أن كل عنصر من عناصر${\displaystyle I\cap R}$يمتلك قوة تساوي مضاعفات${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B).}$
• جميع العوامل غير القابلة للاختزال لـ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)}$قسّم كل عنصر من عناصر${\displaystyle I\cap R.}$

الادعاء الأول هو خاصية أساسية للمحصلة. أما الادعاءات الأخرى فهي نتائج مباشرة للادعاء الثاني، ويمكن إثبات ذلك على النحو التالي.

بما أن أحد العنصرين A و B على الأقل أحادي، فإن المجموعة${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$هو صفر من${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)}$إذا وفقط إذا كان هناك${\displaystyle \alpha }$بحيث${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n},\alpha )}$هو صفر مشترك للمصفوفتين A و B. هذا الصفر المشترك هو أيضًا صفر لجميع عناصر المصفوفة A.${\displaystyle I\cap R.}$على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$هو صفر مشترك لعناصر${\displaystyle I\cap R,}$هو صفر للمحصلة، ويوجد${\displaystyle \alpha }$بحيث${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n},\alpha )}$هو صفر مشترك بين A و B. لذا${\displaystyle I\cap R}$و${\displaystyle R\operatorname {res} _{x}(A,B)}$لها نفس الأصفار تمامًا.

لنفترض نظام معادلتين متعددتي الحدود $${\displaystyle {\begin{aligned}P(x,y)&=0\\Q(x,y)&=0,\end{aligned}}}$$ حيث P و Q كثيرتا حدود من الدرجتين الكليتين d و e على التوالي .${\displaystyle R=\operatorname {res} _{y}^{d,e}(P,Q)}$هي متعددة حدود في x ، وهي عمومًا من الدرجة de (بحسب خصائص §  التجانس ). قيمة${\displaystyle \alpha }$يكون x جذرًا لـ R إذا وفقط إذا كان هناك${\displaystyle \beta }$في حقل مغلق جبريًا يحتوي على المعاملات، بحيث${\displaystyle P(\alpha ,\beta )=Q(\alpha ,\beta )=0}$، أو${\displaystyle \deg(P(\alpha ,y))<d}$و${\displaystyle \deg(Q(\alpha ,y))<e}$(في هذه الحالة، يُقال إن P و Q لهما جذر مشترك عند اللانهاية لـ${\displaystyle x=\alpha }$).

لذلك، يتم الحصول على حلول النظام عن طريق حساب جذور R ، ولكل جذر${\displaystyle \alpha ,}$حساب الجذر (الجذور) المشتركة لـ${\displaystyle P(\alpha ,y),}$${\displaystyle Q(\alpha ,y),}$و${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P,Q).}$

تنتج نظرية بيزو من قيمة${\displaystyle \deg \left(\operatorname {res} _{y}(P,Q)\right)\leq de}$، وهو حاصل ضرب درجتي P و Q. في الواقع، بعد تغيير خطي للمتغيرات، يمكن افتراض أنه لكل جذر x للمحصلة، توجد قيمة واحدة فقط لـ y بحيث يكون ( x , y ) جذرًا مشتركًا لـ P و Q. هذا يُبين أن عدد الأصفار المشتركة لا يتجاوز درجة المحصلة، أي لا يتجاوز حاصل ضرب درجتي P و Q. مع بعض التفاصيل التقنية، يمكن توسيع هذا البرهان لإظهار أنه، مع حساب التكرارات والأصفار عند اللانهاية، يكون عدد الأصفار هو بالضبط حاصل ضرب الدرجات.

للوهلة الأولى، يبدو أنه يمكن تطبيق النتائج على نظام معادلات متعدد الحدود عام.$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0\\&\;\;\vdots \\P_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0\end{aligned}}}$$ عن طريق حساب محصلات كل زوج${\displaystyle (P_{i},P_{j})}$بالنسبة إلى${\displaystyle x_{n}}$لإزالة أحد المتغيرات المجهولة، وتكرار العملية حتى الحصول على كثيرات حدود أحادية المتغير. لسوء الحظ، ينتج عن ذلك العديد من الحلول الزائفة التي يصعب إزالتها.

تعتمد إحدى الطرق، التي طُرحت في نهاية القرن التاسع عشر، على ما يلي: إدخال k − 1 من المتغيرات غير المحددة الجديدة${\displaystyle U_{2},\ldots ,U_{k}}$واحسب $${\displaystyle \operatorname {res} _{x_{n}}(P_{1},U_{2}P_{2}+\cdots +U_{k}P_{k}).}$$ هذه دالة متعددة الحدود في${\displaystyle U_{2},\ldots ,U_{k}}$معاملاتها عبارة عن كثيرات حدود في${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1},}$والتي تمتلك الخاصية التي${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}$يكون جذرًا مشتركًا لمعاملات كثيرات الحدود هذه، إذا وفقط إذا كانت كثيرات الحدود أحادية المتغير${\displaystyle P_{i}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1},x_{n})}$لها جذر مشترك، ربما عند اللانهاية . يمكن تكرار هذه العملية حتى يتم العثور على كثيرات حدود أحادية المتغير.

للحصول على خوارزمية صحيحة، يجب إضافة عنصرين مكملين للطريقة. أولًا، في كل خطوة، قد يلزم تغيير خطي للمتغير لضمان أن تكون درجات كثيرات الحدود في المتغير الأخير مساوية لدرجتها الكلية. ثانيًا، إذا كانت النتيجة في أي خطوة تساوي صفرًا، فهذا يعني أن لكثيرات الحدود عاملًا مشتركًا، وأن الحلول تنقسم إلى مكونين: أحدهما حيث يكون العامل المشترك صفرًا، والآخر يتم الحصول عليه باستخراج هذا العامل المشترك قبل المتابعة.

هذه الخوارزمية معقدة للغاية وتستغرق وقتاً طويلاً جداً . لذلك، فإن أهميتها تاريخية في المقام الأول.

المميز لكثير الحدود، وهو أداة أساسية في نظرية الأعداد ، هو${\displaystyle a_{0}^{-1}(-1)^{n(n-1)/2}\operatorname {res} _{x}(f(x),f'(x))}$، أين${\displaystyle a_{0}}$هو المعامل الرئيسي لـ${\displaystyle f(x)}$و${\displaystyle n}$درجتها.

لو${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$هي أعداد جبرية بحيث${\displaystyle P(\alpha )=Q(\beta )=0}$، ثم${\displaystyle \gamma =\alpha +\beta }$هو جذر الناتج${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P(x),Q(z-x)),}$و${\displaystyle \tau =\alpha \beta }$هو جذر${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P(x),x^{n}Q(z/x))}$، أين${\displaystyle n}$هي درجة​${\displaystyle Q(y)}$بالإضافة إلى حقيقة أن${\displaystyle 1/\beta }$هو جذر${\displaystyle y^{n}Q(1/y)=0}$وهذا يدل على أن مجموعة الأعداد الجبرية هي حقل .

يترك${\displaystyle K(\alpha )}$ليكن امتدادًا للحقل الجبري مولدًا بواسطة عنصر${\displaystyle \alpha ,}$والذي لديه${\displaystyle P(x)}$كدالة متعددة الحدود الدنيا . كل عنصر من${\displaystyle \beta \in K(\alpha )}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle \beta =Q(\alpha ),}$أين${\displaystyle Q}$هي كثيرة حدود. إذن${\displaystyle \beta }$هو جذر${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P(x),z-Q(x)),}$وهذه النتيجة هي قوة لكثير الحدود الأدنى لـ${\displaystyle \beta .}$

بفرض وجود منحنيين جبريين مستويين معرفين على أنهما أصفار كثيرتي الحدود P ( x , y ) و Q ( x , y ) ، فإن الناتج يسمح بحساب تقاطعهما. وبشكل أدق، جذور${\displaystyle \operatorname {res} _{y}(P,Q)}$تمثل إحداثيات x لنقاط التقاطع وللخطوط المقاربة الرأسية المشتركة، وجذور${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P,Q)}$تمثل إحداثيات y لنقاط التقاطع وللخطوط المقاربة الأفقية المشتركة.

يمكن تعريف منحنى مستوٍ منطقي بواسطة معادلة وسيطية$${\displaystyle x={\frac {P(t)}{R(t)}},\qquad y={\frac {Q(t)}{R(t)}},}$$ حيث P و Q و R كثيرات حدود. معادلة ضمنية للمنحنى تُعطى بواسطة $${\displaystyle \operatorname {res} _{t}(xR-P,yR-Q).}$$ درجة هذا المنحنى هي أعلى درجة لـ P و Q و R ، والتي تساوي الدرجة الكلية للمحصلة.

في التكامل الرمزي ، لحساب الدالة الأصلية لكسر نسبي ، يُستخدم تحليل الكسور الجزئية لتقسيم التكامل إلى "جزء نسبي"، وهو مجموع كسور نسبية تكون دوالها الأصلية كسورًا نسبية، و"جزء لوغاريتمي"، وهو مجموع كسور نسبية من الشكل $${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}},}$$ حيث Q دالة متعددة الحدود خالية من المربعات ، و P دالة متعددة الحدود من درجة أقل من Q. تتضمن الدالة الأصلية لمثل هذه الدالة بالضرورة اللوغاريتمات ، وعمومًا الأعداد الجبرية (جذور Q ). في الواقع، الدالة الأصلية هي $${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx=\sum _{Q(\alpha )=0}{\frac {P(\alpha )}{Q'(\alpha )}}\log(x-\alpha ),}$$ حيث يمتد المجموع على جميع الجذور المركبة لـ Q.

عادةً ما يساوي عدد الأعداد الجبرية المستخدمة في هذا التعبير درجة Q ، ولكن قد يحدث أحيانًا أن يُحسب تعبيرٌ بعددٍ أقل من الأعداد الجبرية. تُنتج طريقة لازارد -ريوبو- تراغر تعبيرًا يكون فيه عدد الأعداد الجبرية في حده الأدنى، دون أي حساباتٍ تتضمن أعدادًا جبرية.

يترك $${\displaystyle S_{1}(r)S_{2}(r)^{2}\cdots S_{k}(r)^{k}=\operatorname {res} _{r}(rQ'(x)-P(x),Q(x))}$$ ليكن التحليل الخالي من المربعات للمحصلة التي تظهر على اليمين. أثبت تراجر أن الدالة الأصلية هي $${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx=\sum _{i=1}^{k}\sum _{S_{i}(\alpha )=0}\alpha \log(T_{i}(\alpha ,x)),}$$ حيث تمتد المجاميع الداخلية على جذور${\displaystyle S_{i}}$(لو${\displaystyle S_{i}=1}$ the sum is zero, as being the empty sum), and ${\displaystyle T_{i}(r,x)}$ is a polynomial of degree i in x. The Lazard-Rioboo contribution is the proof that ${\displaystyle T_{i}(r,x)}$ is the subresultant of degree i of ${\displaystyle rQ'(x)-P(x)}$ and ${\displaystyle Q(x).}$ It is thus obtained for free if the resultant is computed by the subresultant pseudo-remainder sequence.

All preceding applications, and many others, show that the resultant is a fundamental tool in computer algebra. In fact most computer algebra systems include an efficient implementation of the computation of resultants.

قد تحتوي متعددة الحدود المتجانسة من الدرجة d في n متغيرات على ما يصل إلى $${\displaystyle {\binom {n+d-1}{n-1}}={\frac {(n+d-1)!}{(n-1)!\,d!}}}$$ المعاملات؛ ويقال إنها عامة إذا كانت هذه المعاملات عبارة عن متغيرات غير محددة متميزة.

يترك${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$لتكن n كثيرات حدود متجانسة عامة في n من المجاهيل، من الدرجات المعنية${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{n}.}$يشملون معًا $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\binom {n+d_{i}-1}{n-1}}}$$ المعاملات غير المحددة. ليكن C حلقة كثيرات الحدود على الأعداد الصحيحة، في جميع هذه المعاملات غير المحددة. كثيرات الحدود${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$ينتمي هذا إلى${\displaystyle C[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$والناتج (الذي لم يتم تحديده بعد) ينتمي إلى C.

درجة ماكولاي هي عدد صحيح${\displaystyle D=d_{1}+\cdots +d_{n}-n+1,}$وهو أمر أساسي في نظرية ماكولاي. ولتحديد المحصلة، يُنظر إلى مصفوفة ماكولاي ، وهي المصفوفة الموجودة على أساس أحادي الحد للخريطة الخطية C.$${\displaystyle (Q_{1},\ldots ,Q_{n})\mapsto Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n},}$$ حيث كل${\displaystyle Q_{i}}$يتم تطبيقها على كثيرات الحدود المتجانسة من الدرجة${\displaystyle D-d_{i},}$والمجال المقابل هو وحدة C لكثيرات الحدود المتجانسة من الدرجة D.

إذا كان n = 2 ، فإن مصفوفة ماكولي هي مصفوفة سيلفستر، وهي مصفوفة مربعة ، لكن هذا لا ينطبق على n > 2. لذا، بدلاً من النظر إلى المحدد، يُنظر إلى جميع المحددات الصغرى القصوى ، أي محددات المصفوفات الفرعية المربعة التي تحتوي على عدد صفوف مصفوفة ماكولي. أثبت ماكولي أن المثالي C الناتج عن هذه المحددات الصغرى الرئيسية هو مثالي رئيسي ، وهو ناتج عن القاسم المشترك الأكبر لهذه المحددات. بما أننا نتعامل مع كثيرات حدود ذات معاملات صحيحة، فإن هذا القاسم المشترك الأكبر يُعرَّف حتى إشارته. محصلة ماكولي العامة هي القاسم المشترك الأكبر الذي يصبح 1 ، عندما يُستبدل الصفر، لكل i ، بجميع معاملات${\displaystyle P_{i},}$باستثناء معامل${\displaystyle x_{i}^{d_{i}},}$والتي يتم استبدالها بواحدة.

من الآن فصاعدًا، سنعتبر أن كثيرات الحدود المتجانسة${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$من الدرجات${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}}$معاملاتهم تنتمي إلى حقل k ، أي أنهم ينتمون إلى${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}].}$يُعرَّف الناتج بأنه العنصر k الذي يتم الحصول عليه عن طريق استبدال المعاملات غير المحددة في الناتج العام بالمعاملات الفعلية لـ${\displaystyle P_{i}.}$

الخاصية الرئيسية للمحصلة هي أنها تساوي صفرًا إذا وفقط إذا${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$يكون لها صفر مشترك غير صفري في امتداد مغلق جبريًا لـ k .

ينتج جزء "فقط إذا" من هذه النظرية عن الخاصية الأخيرة للفقرة السابقة، وهو صيغة فعالة لنظرية الأصفار الإسقاطية : إذا كانت النتيجة غير صفرية، فإن $${\displaystyle \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ^{D}\subseteq \langle P_{1},\ldots ,P_{n}\rangle ,}$$ أين${\displaystyle D=d_{1}+\cdots +d_{n}-n+1}$هي درجة ماكولاي، و${\displaystyle \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$هو المثال المتجانس الأقصى. وهذا يعني أن${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$ليس لها أي صفر مشترك آخر غير الصفر المشترك الفريد، (0، ...، 0) ، لـ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}.}$

بما أن حساب النتيجة يمكن اختزاله إلى حساب المحددات وقواسم متعددة الحدود المشتركة الكبرى ، فهناك خوارزميات لحساب النتائج في عدد محدود من الخطوات.

مع ذلك، فإن المحصلة العامة عبارة عن متعددة حدود ذات درجة عالية جدًا (أسية بالنسبة لـ n ) تعتمد على عدد هائل من المتغيرات. ويترتب على ذلك أنه، باستثناء قيم n الصغيرة جدًا ودرجات متعددة الحدود المدخلة الصغيرة جدًا، يستحيل عمليًا حساب المحصلة العامة، حتى باستخدام الحواسيب الحديثة. علاوة على ذلك، فإن عدد أحاديات المحصلة العامة كبير جدًا، لدرجة أنه حتى لو أمكن حسابها، فلن يكون بالإمكان تخزين النتيجة على أجهزة الذاكرة المتاحة، حتى بالنسبة لقيم n الصغيرة نسبيًا ودرجات متعددة الحدود المدخلة.

لذلك، فإن حساب النتيجة يكون منطقياً فقط بالنسبة لكثيرات الحدود التي تنتمي معاملاتها إلى حقل أو تكون كثيرات حدود في عدد قليل من المتغيرات على حقل.

في حالة كثيرات الحدود المدخلة ذات المعاملات في حقل معين، نادرًا ما تكون القيمة الدقيقة للمحصلة مهمة، بل المهم فقط ما إذا كانت تساوي الصفر أم لا. وبما أن المحصلة تساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت رتبة مصفوفة ماكولاي أقل من عدد صفوفها، فيمكن اختبار هذه المساواة بتطبيق طريقة الحذف الغاوسي على مصفوفة ماكولاي. وهذا يوفر تعقيدًا حسابيًا${\displaystyle d^{O(n)},}$حيث d هي الدرجة القصوى لكثيرات الحدود المدخلة.

هناك حالة أخرى قد يوفر فيها حساب المحصلة معلومات مفيدة، وهي عندما تكون معاملات كثيرات الحدود المدخلة كثيرات حدود في عدد قليل من المجاهيل، والتي تُسمى غالبًا بالمعاملات. في هذه الحالة، تُحدد المحصلة، إن لم تكن صفرًا، سطحًا فائقًا في فضاء المعاملات . تنتمي نقطة إلى هذا السطح الفائق إذا وفقط إذا كانت هناك قيم لـ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$والتي، بالإضافة إلى إحداثيات النقطة، تُشكّل صفرًا لكثيرات الحدود المُدخلة. بعبارة أخرى، فإن الناتج هو نتيجة " حذف "${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$من كثيرات الحدود المدخلة.

يوفر محصلة ماكولاي طريقة تسمى " المحصلة U " من قبل ماكولاي، لحل أنظمة المعادلات متعددة الحدود .

بفرض وجود n − 1 من كثيرات الحدود المتجانسة${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1},}$من الدرجات${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n-1},}$في n غير محدد${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$على حقل k ، تكون محصلة U الخاصة بهم هي محصلة كثيرات الحدود n${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1},P_{n},}$أين $${\displaystyle P_{n}=u_{1}x_{1}+\cdots +u_{n}x_{n}}$$ هي الصيغة الخطية العامة التي تكون معاملاتها غير محددة جديدة.${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}.}$الترميز${\displaystyle u_{i}}$أو${\displaystyle U_{i}}$بالنسبة لهذه المعاملات العامة، فإن هذا تقليدي، وهو أصل مصطلح المحصلة U.

المحصلة U هي متعددة حدود متجانسة في${\displaystyle k[u_{1},\ldots ,u_{n}].}$يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت الأصفار المشتركة لـ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1}}$تشكل مجموعة جبرية إسقاطية ذات بُعد موجب (أي، يوجد عدد لا نهائي من الأصفار الإسقاطية على امتداد مغلق جبريًا لـ k ). إذا لم تكن محصلة U تساوي صفرًا، فإن درجتها هي حد بيزو.${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n-1}.}$ يتحلل الناتج U على امتداد مغلق جبريًا لـ k إلى حاصل ضرب أشكال خطية. إذا${\displaystyle \alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{n}u_{n}}$إذا كان عاملاً خطياً،${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$هي الإحداثيات المتجانسة لنقطة صفر مشتركة لـ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1}.}$علاوة على ذلك، يمكن الحصول على كل صفر مشترك من أحد هذه العوامل الخطية، وتكون تعددية العامل مساوية لتعددية تقاطع${\displaystyle P_{i}}$عند هذه الصفر. بعبارة أخرى، فإن محصلة U تقدم نسخة صريحة تمامًا من نظرية بيزو .