الشكلية BSSN

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 19 صور
الموسوعة الحرة

إن صيغة BSSN (صيغة بومغارت، شابيرو، شيباتا، ناكامورا) هي صيغة للنسبية العامة تم تطويرها بواسطة توماس دبليو بومغارت ، وستيوارت إل شابيرو ، وماسارو شيباتا، وتاكاشي ناكامورا بين عامي 1987 و1999. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] وهي تعديل لصيغة ADM التي تم تطويرها خلال الخمسينيات.

إنّ صيغة ADM هي صيغة هاميلتونية لا تسمح بإجراء محاكاة عددية مستقرة وطويلة الأمد. في صيغة BSSN، تُعدّل معادلات ADM بإدخال متغيرات مساعدة. وقد جُرّبت هذه الصيغة لدراسة التطور طويل الأمد للموجات الثقالية الخطية، واستُخدمت لأغراض متنوعة، مثل محاكاة التطور غير الخطي للموجات الثقالية أو تطور واصطدام الثقوب السوداء . [ 4 ] [ 5 ]

الترميز

تعتمد معظم المراجع على تدوين يتم فيه كتابة الموترات رباعية الأبعاد في تدوين فهرس مجرد، وأن الفهارس اليونانية هي فهارس الزمكان التي تأخذ القيم (0، 1، 2، 3) والفهارس اللاتينية هي فهارس مكانية تأخذ القيم (1، 2، 3).

يُضاف الرقم (4) كرمز علوي إلى الكميات التي عادةً ما يكون لها نسخة ثلاثية الأبعاد ونسخة رباعية الأبعاد، مثل موتر القياس للشرائح ثلاثية الأبعاد.زأناج{\displaystyle g_{ij}}وموتر القياس للزمكان رباعي الأبعاد الكامل(4)زμν{\displaystyle {^{(4)}}g_{\mu \nu }}.

يستخدم النص ترميز أينشتاين ، حيث تشير المؤشرات المتكررة إلى الجمع. على سبيل المثال، إذاX∈تيصم{\displaystyle X\in T_{p}M} هو متجه مماس على المتشعبم{\displaystyle M}ونقوم بتحليلها إلى مكوناتها، وفي تدوين أينشتاين سيكون هذا كالتالي:

X=∑μXμ∂∂xμ⟹Xμ∂∂xμ{\displaystyle {\begin{aligned}X&=\sum _{\mu }X^{\mu }{\dfrac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\implies X^{\mu }{\dfrac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\end{aligned}}}

تُمثل القيمة المطلقة لمحدد مصفوفة معاملات موتر القياس بواسطةز{\displaystyle g}أما رموز الموتر الأخرى المكتوبة بدون فهارس فتمثل أثر الموتر المقابل، مثل:π=زأناجπأناج{\displaystyle \pi =g^{ij}\pi _{ij}}.

الاشتقاق

حلول الفراغ

قام شيباتا وناكامورا [ 2 ] باشتقاق المعادلات الخاصة بالحلول الفراغية:

جيأب=0{\displaystyle {\begin{aligned}G_{ab}&=0\end{aligned}}}

الشكلية الإدارية

عاملتعريف
α{\displaystyle \alpha }وظيفة الانقضاء
βأنا{\displaystyle \beta ^{i}}متجه الإزاحة
γأناج{\displaystyle \gamma _{ij}}موتر متري على سطح فائق ثلاثي الأبعاد للتوريق
R{\displaystyle R}مقياس ريتشي ثلاثي الأبعاد
كأناج{\displaystyle K_{ij}}الانحناء الخارجي
دأنا{\displaystyle D_{i}}المشتق المتغير ثلاثي الأبعاد

يبدأ الاشتقاق بصيغة ADM . ويُعطى مقياس ADM بالصيغة التالية:

دs2=-(α2-βأناβأنا)دت2+2βأنادتدxأنا+γأناجدxأنادxج{\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=-(\alpha ^{2}-\beta _{i}\beta ^{i})dt^{2}+2\beta _{i}dtdx^{i}+\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}\end{aligned}}}

يُعطى قيد هاميلتون بالصيغة التالية:

R-كأناجكأناج+ك2=0{\displaystyle {\begin{aligned}R-K_{ij}K^{ij}+K^{2}=0\end{aligned}}}

يُعطى قيد الزخم بالصيغة التالية:

دأناكجأنا-دجك=0{\displaystyle {\begin{aligned}D_{i}K_{j}^{i}-D_{j}K&=0\end{aligned}}}

وتُعطى معادلات التطور كما يلي:

∂∂تγأناج=-2αكأناج+دأناβج+دجβأنا{\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\gamma _{ij}&=-2\alpha K_{ij}+D_{i}\beta _{j}+D_{j}\beta _{i}\end{aligned}}}
∂∂تكأناج=α(Rأناج+ككأناج-2كأناجكجℓ)-دأنادجα+(دجβم)كمأنا+(دأناβم)كمج+βمدمكأناج{\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {\partial }{\partial t}}K_{ij}&=\alpha (R_{ij}+KK_{ij}-2K_{ij}K_{j}^{\ell })-D_{i}D_{j}\alpha +(D_{j}\beta ^{m})K_{mi}+(D_{i}\beta ^{m})K_{mj}+\beta _{m}D_{m}K_{ij}\end{aligned}}}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بومغارت، توماس و. وشابيرو، ستيوارت ل. (1998). "حول التكامل العددي لمعادلات أينشتاين للمجال" . مجلة Physical Review D. تاريخ الاسترجاع: 24-05-2026 .{{cite web}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  2. 1 2 شيباتا، ماسارو وناكامورا، تاكاشي (1995). "تطور موجات الجاذبية ثلاثية الأبعاد: حالة التقطيع التوافقي" (ملف PDF) . مجلة Physical Review D. تاريخ الاسترجاع: 24-05-2026 .{{cite web}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  3. ↑ جينهو كيم (28 يوليو 2008). "الديناميكا المائية النسبية العامة باستخدام صيغة BSSN" (ملف PDF) . جامعة سيول الوطنية . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 27 مارس 2012. تاريخ الاسترجاع: 19 أكتوبر 2009 .
  4. ↑ ماسارو شيباتا (أكتوبر 2004). "وضع النسبية العددية" . الأكاديمية الهندية للعلوم . تم الاطلاع عليه بتاريخ 19-10-2009 .
  5. ↑ تاكاشي ناكامورا (2006). "تكوين الثقب الأسود وانبعاث موجات الجاذبية" . وقائع الأكاديمية اليابانية، السلسلة ب . 82 (9): 311-327 . Bibcode : 2006PJAB...82..311N . doi : 10.2183 / pjab.82.311 . PMC 4338837. PMID 25792793 .