أوراق الشجر

في الرياضيات ، التوريق ذو البعد p هو تقسيم لمتشعب إلى متشعبات فرعية ، جميعها من نفس البعد p ، ويتم نمذجتها محليًا على أساس تفكيك R ⁿ إلى المستويات ذات البعد p التي تم قطعها بواسطة المعادلات.${\displaystyle x_{p+1}=a_{p+1},\ldots ,x_{n}=a_{n}}$تُسمى الأجزاء الفرعية بأوراق التوريق.

تحتوي الكرة ثلاثية الأبعاد على توريق مشهور ذي بُعد مشترك واحد يسمى توريق ريب .

يُشترط أن تكون الفضاءات الفرعية متصلة ومغمورة حقنياً ، ولكن ليس من الضروري أن تكون مضمنة . على سبيل المثال، إذا كان m عددًا غير نسبي ثابتًا، فإن الطارة${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$يتم تقسيمها بواسطة مجموعة من الخطوط المستقيمة في الطارة ذات الميل m . كل خط كثيف في الطارة ومغمور بشكل حقني ولكنه غير مضمن.

إذا كان مطلوبًا أن يكون للمتشعب والمتشعبات الفرعية بنية خطية جزئية أو قابلة للتفاضل (من الفئة C ^r ) أو تحليلية ، فإن المرء يحدد التوريق الخطي الجزئي أو القابل للتفاضل أو التحليلي، على التوالي.

تشكل مجموعات المستوى لدالة حقيقية ملساء على مشعب خالٍ من النقاط الحرجة، توريقًا من الرتبة 1 على ذلك المشعب. على سبيل المثال، في النسبية العامة ، غالبًا ما تُرقّق الزمكانات ذات عدد من الأبعاد المكانية وبُعد زمني واحد كمجموعات مستوى لدالة ملساء يكون تدرجها زمنيًا ، بحيث تكون الأوراق أسطحًا فائقة مكانية . ينشأ كل توريق من الرتبة 1 محليًا بهذه الطريقة، ولكنه لا ينشأ عادةً على المستوى الكلي. على سبيل المثال، لا يمكن تمثيل توريق من الرتبة 1 لمشعب مغلق بمجموعات مستوى دالة ملساء، لأن الدالة الملساء على مشعب مغلق تحتوي بالضرورة على نقاط حرجة عند قيمها العظمى والصغرى.

من أجل إعطاء تعريف أكثر دقة للتورق، من الضروري تحديد بعض العناصر المساعدة.

الجوار المستطيل في Rⁿ هو مجموعة جزئية مفتوحة على الصورة B = J₁ × ⋅⋅⋅ × ^Jₙ ، حيث _Jᵢ هي فترة مفتوحة نسبيًا (قد تكون غير محدودة) على محور الإحداثيات i . _{إذا كانت J₁} على الصورة ( a , 0] _، يُقال إن B لها حدود ^{[ 1 ]} .

${\displaystyle \partial B=\left\{\left(0,x^{2},\ldots ,x^{n}\right)\in B\right\}.}$

في التعريف التالي، يتم اعتبار مخططات الإحداثيات التي لها قيم في R ^p × R ^q ، مما يسمح بإمكانية وجود مشعبات ذات حدود وزوايا ( محدبة ).

المخطط المورق على متعدد الشعب ذي البعد المشترك q هو زوج ( U , φ )، حيث U ⊆ M مفتوح و${\displaystyle \varphi :U\to B_{\tau }\times B_{\pitchfork }}$هو تحويل شكلي ،${\displaystyle B_{\pitchfork }}$كونها منطقة مستطيلة في R ^q و${\displaystyle B_{\tau }}$جوار مستطيل في R ^p . المجموعة P _y = φ ⁻¹ ( B _τ × { y })، حيث${\displaystyle y\in B_{\pitchfork }}$تُسمى هذه اللوحة لوحةً من هذا المخطط المورق. لكل x ∈ B _τ ، فإن المجموعة S _x = φ ⁻¹ ({ x } ×${\displaystyle B_{\pitchfork }}$يُطلق على ) اسم قاطع المخطط المورق. المجموعة ∂ _τ U = φ ⁻¹ ( B _τ × ( ∂${\displaystyle B_{\pitchfork }}$يُطلق على )) اسم الحد المماسي لـ U و${\displaystyle \partial _{\pitchfork }U}$= φ ⁻¹ (( ∂B _τ ) ×${\displaystyle B_{\pitchfork }}$يُطلق عليه اسم ^الحدود العرضية لـ U. [ ^{2 ]}

يُعد المخطط المورق النموذج الأساسي لجميع أنواع التوريق، حيث تمثل الألواح الأوراق. ويُقرأ الرمز B _τ على أنه " B- مماسي" و${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ باعتبارها " B- مستعرضة". هناك أيضًا احتمالات مختلفة. إذا كان كلاهما${\displaystyle B_{\pitchfork }}$إذا كانت B _τ ذات حدود فارغة، فإن المخطط المورق يمثل توريقات ذات بُعد مشترك q لمتشعبات n- بدون حدود. إذا كانت إحدى هاتين الجوارين المستطيلين، وليس كلتيهما، ذات حدود، فإن المخطط المورق يمثل الاحتمالات المختلفة لتوريقات متشعبات n- ذات حدود وبدون زوايا. على وجه التحديد، إذا ∂${\displaystyle B_{\pitchfork }}$إذا كان ∂B _τ ≠ ∅ = ∂B _τ ، فإن ∂U = ∂ _τ ، حيث U عبارة عن اتحاد من الصفائح، ويكون التورق بواسطة الصفائح مماسًا للحدود.${\displaystyle B_{\pitchfork }}$إذن ∂U =${\displaystyle \partial _{\pitchfork }U}$هو اتحاد من الخطوط المستعرضة، والتوريق مستعرض على الحدود. وأخيرًا، إذا كان ∂${\displaystyle B_{\pitchfork }}$≠ ∅ ≠ ∂B _τ ، هذا نموذج لمتشعب مورق بزاوية تفصل الحد المماسي عن الحد العرضي. ^{[ 2 ]}

الأطلس المورق ذو البعد المشترك q والفئة C ^r (0 ≤ r ≤ ∞) على متعدد الشعب ذي البعد n، M، هو أطلس من الفئة C ^r${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\mid \alpha \in A\}}$من المخططات المصفحة ذات البعد المشترك q والتي تكون مصفحة بشكل متماسك بمعنى أنه كلما كانت P و Q لوحتين في مخططات متميزة من${\displaystyle {\mathcal {U}}}$^، إذن P ∩ Q مفتوح في كل من P و Q. ^{[ 3} ]

تتمثل إحدى الطرق المفيدة لإعادة صياغة مفهوم المخططات المتشابكة في كتابة w ∈ U _α ∩ U _β ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(w)=\left(x_{\alpha }(w),y_{\alpha }(w)\right)\in B_{\tau }^{\alpha }\times B_{\pitchfork }^{\alpha },}$

${\displaystyle \varphi _{\beta }(w)=\left(x_{\beta }(w),y_{\beta }(w)\right)\in B_{\tau }^{\beta }\times B_{\pitchfork }^{\beta }.}$

غالبًا ما يتم كتابة الترميز ( U _α , φ _{α ) (} U _α , x _α , y _α ) مع ^{[ 4 ]}

${\displaystyle x_{\alpha }=\left(x_{\alpha }^{1},\dots ,x_{\alpha }^{p}\right),}$

${\displaystyle y_{\alpha }=\left(y_{\alpha }^{1},\dots ,y_{\alpha }^{q}\right).}$

يمكن تغيير صيغة الإحداثيات على φ _β ( U _α ∩ U _{β ) كما يلي} ^{[ 4 ]}

${\displaystyle g_{\alpha \beta }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\left(x_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right),y_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)\right).}$

يعني الشرط القائل بأن ( Uα, xα _, yα ₎ و ₍ Uβ _, xβ _, yβ ) مترابطتان بشكل متماسك أنه إذا _كانت P ⊂ _Uα لوحة، فإن المكونات المتصلة لـ _P ∩ Uβ تقع في لوحات (قد تكون مختلفة) من Uβ _{. وبالمثل} ، _بما أن لوحات Uα و Uβ هي مجموعات مستوى للإحداثيات المستعرضة yα _و yβ _على التوالي ، _فإن كل نقطة z _∈ Uα ∩ Uβ لها جوار حيث الصيغة

${\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta })=y_{\alpha }(y_{\beta })}$

مستقل عن x _β . ^{[ 4 ]}

يُستخدم الأطالس المُرَقَّم بشكل أساسي لربط لوحاتها المتداخلة لتشكيل أوراق الترقق. لهذا الغرض ولأغراض أخرى، يُعدّ التعريف العام للأطلس المُرَقَّم المذكور أعلاه غير دقيق بعض الشيء. إحدى المشكلات هي أن لوحة ( Uα _, φα ₎ قد تلتقي بلوحات متعددة من ( Uβ , φβ ). بل قد يحدث أن تلتقي لوحة من مخطط ما بعدد لا نهائي من لوحات مخطط آخر. مع ذلك، لا يفقد التعريف عموميته بافتراض _أن الوضع أكثر انتظامًا كما هو موضح أدناه _.

أطلسان مزخرفان${\displaystyle {\mathcal {U}}}$و${\displaystyle {\mathcal {V}}}$تكون العناصر M من نفس البعد المشترك وفئة النعومة C ^r متماسكة.${\displaystyle \left({\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}\right)}$لو${\displaystyle {\mathcal {U}}\cup {\mathcal {V}}}$هو أطلس كروم مُرقّق ^. تماسك الأطالس المُرقّقة هو علاقة تكافؤ. ^{[ 4 ]}

البرهان [ 4 ]

الخاصية الانعكاسية والتناظر بديهيتان . لإثبات الخاصية التعدية، ليكن${\displaystyle {\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}}$و${\displaystyle {\mathcal {V}}\thickapprox {\mathcal {W}}}$ليكن ( Uα , xα , yα ) ∈​${\displaystyle {\mathcal {U}}}$و ( W lect , x lect , y lect ) ∈${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ولنفترض أن هناك نقطة w ∈ U α ∩ W λ . اختر ( V δ ، x δ ، y δ ) ∈${\displaystyle {\mathcal {V}}}$بحيث يكون w ∈ V δ . وبناءً على الملاحظات السابقة، توجد جوار N لـ w في U α ∩ V δ ∩ W λ بحيث ${\displaystyle y_{\delta }=y_{\delta }(y_{\lambda })\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\lambda }(N),}$ ${\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(y_{\delta })\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\delta }(N),}$ وبالتالي ${\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }\left(y_{\delta }(y_{\lambda })\right)\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\delta }(N).}$ بما أن w ∈ U α ∩ W λ اختيارية، فإنه يمكن استنتاج أن y α ( x λ , y λ ) مستقلة محليًا عن x λ . وبذلك يثبت أن${\displaystyle {\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {W}}}$وبالتالي فإن التماسك متعدٍ. [ 5 ]

تُعتبر اللوحات والتقاطعات المعرّفة أعلاه على المجموعات المفتوحة مفتوحة أيضًا. ولكن يمكن الحديث أيضًا عن لوحات وتقاطعات مغلقة. أي، إذا كانت ( U , φ ) و( W , ψ ) عبارة عن مخططات مُرَقَّطة بحيث${\displaystyle {\overline {U}}}$إذا كانت (مجموعة الإغلاق U ) مجموعة جزئية من W و φ = ψ | U ، فإذا${\displaystyle \varphi (U)=B_{\tau }\times B_{\pitchfork },}$يمكن ملاحظة ذلك${\displaystyle \psi |{\overline {U}}}$مكتوب${\displaystyle {\overline {\varphi }}}$يحمل${\displaystyle {\overline {U}}}$بشكل متماثل على${\displaystyle {\overline {B}}_{\tau }\times {\overline {B}}_{\pitchfork }.}$

يُقال إن الأطلس المورق منتظم إذا

1. لكل α ∈ A ،${\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }}$عبارة عن مجموعة فرعية مدمجة من مخطط مرقّم ( W _α , ψ _α ) و φ _α = ψ _α | يو _α ;
2. الغطاء { U _α | α ∈ A } محدود محليًا ؛
3. إذا كان ( Uα , φα ₎ و( _Uβ , _φβ ) _عنصرين من عناصر الأطلس المورق، فإن الجزء الداخلي من كل لوحة مغلقة P ⊂${\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }}$لا يوجد أكثر من لوحة واحدة في${\displaystyle {\overline {U}}_{\beta }.}$^{[ 6 ]}

بحسب الخاصية (1)، فإن الإحداثيات x _α و y _α تمتد إلى الإحداثيات${\displaystyle {\overline {x}}_{\alpha }}$و${\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }}$على${\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }}$ويكتب أحدهم${\displaystyle {\overline {\varphi }}_{\alpha }=\left({\overline {x}}_{\alpha },{\overline {y}}_{\alpha }\right).}$الخاصية (3) تعادل اشتراط أنه إذا كان U _α ∩ U _β ≠ ∅، فإن الإحداثيات المستعرضة تتغير${\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }={\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)}$أن يكون مستقلاً عن${\displaystyle {\overline {x}}_{\beta }.}$إنه

${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }={\overline {\varphi }}_{\alpha }\circ {\overline {\varphi }}_{\beta }^{-1}:{\overline {\varphi }}_{\beta }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)\rightarrow {\overline {\varphi }}_{\alpha }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)}$

لها الصيغة ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)=\left({\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right),{\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)\right).}$

تنطبق تأكيدات مماثلة أيضًا على المخططات المفتوحة (بدون الخطوط العلوية). يمكن اعتبار خريطة الإحداثيات المستعرضة y _{α بمثابة} غمر.

${\displaystyle y_{\alpha }:U_{\alpha }\rightarrow \mathbb {R} ^{q}}$

ويمكن اعتبار الصيغتين y _α = y _α ( y _{β ) بمثابة} تحويلات تماثلية.

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }:y_{\beta }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)\rightarrow y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right).}$

تُحقق هذه الشروط شروط الدورة المشتركة . أي، على y _δ ( U _α ∩ U _β ∩ U _δ )،

${\displaystyle \gamma _{\alpha \delta }=\gamma _{\alpha \beta }\circ \gamma _{\beta \delta }}$

وعلى وجه الخصوص، ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \gamma _{\alpha \alpha }\equiv y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\right),}$

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=\gamma _{\beta \alpha }^{-1}.}$

باستخدام التعريفات المذكورة أعلاه للتماسك والانتظام، يمكن إثبات أن كل أطلس مورق له تحسين متماسك ومنتظم. ^{[ 8 ]}

البرهان [ 8 ]

حدد مقياسًا على M وأطلسًا مورقًا${\displaystyle {\mathcal {W}}.}$بالانتقال إلى غلاف فرعي ، إذا لزم الأمر، يمكن للمرء أن يفترض أن${\displaystyle {\mathcal {W}}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=1}^{l}}$هي محدودة. ليكن ε > 0 عددًا من أعداد ليبيغ لـ${\displaystyle {\mathcal {W}}.}$أي أن أي مجموعة جزئية X ⊆ M قطرها < ε تقع بالكامل في W j . لكل x ∈ M ، اختر j بحيث x ∈ W j ، واختر مخططًا مُوَزَّعًا ( U x , φ x ) بحيث x ∈ U x ⊆${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$⊂ W j , φ x = ψ j | U x , diam( U x ) < ε/2. لنفترض أن U x ⊂ W k ، حيث k ≠ j ، ولنكتب ψ k = ( x k , y k ) كالمعتاد، حيث y k  : W k → R q هي خريطة الإحداثيات المستعرضة. هذا غمرٌ تكون فيه اللويحات في W k مجموعات مستويات. بالتالي، فإن y k يقتصر على غمر y k  : U x → R q . هذا ثابت محليًا في x j ؛ لذا باختيار U x أصغر، إذا لزم الأمر، يمكن للمرء أن يفترض أن y k |${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$يحتوي على لوحات من${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$كما تحدد مستواها. أي أن كل لوحة من W k تلتقي (وبالتالي تحتوي) على لوحة واحدة (مضغوطة) على الأكثر من${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$بما أن 1 < k < l < ∞، يمكن اختيار U x بحيث، كلما كان U x ⊂ W k ، توجد لوحات متميزة من${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$تقع في لوحات متميزة من W k . انتقل إلى أطلس فرعي محدود${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=1}^{N}}$من {( U x , φ x ) | x ∈ M }. إذا كان U i ∩ U j ≠ 0، فإن diam( U i ∪ U j ) < ε، وبالتالي يوجد دليل k بحيث${\displaystyle {\overline {U}}_{i}\cup {\overline {U}}_{j}\subseteq W_{k}.}$لوحات مميزة من${\displaystyle {\overline {U}}_{i}}$(على التوالي، من${\displaystyle {\overline {U}}_{j}}$تقع ) في لوحات متميزة من W k . وبالتالي، فإن كل لوحة من${\displaystyle {\overline {U}}_{i}}$يحتوي على اجتماع داخلي على لوحة واحدة على الأكثر من${\displaystyle {\overline {U}}_{j}}$والعكس صحيح. بحسب التصميم،${\displaystyle {\mathcal {U}}}$هو تحسين متماسك لـ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$وهو أطلس ذو أوراق منتظمة. إذا لم تكن M متراصة، فإن التراص المحلي وقابلية العد الثانية تسمح باختيار متتالية${\displaystyle \left\{K_{i}\right\}_{i=0}^{\infty }}$من المجموعات الجزئية المدمجة بحيث يكون Ki ⊂ int Ki +1 لكل i ≥ 0 و${\displaystyle M=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}.}$بالانتقال إلى أطلس فرعي، يُفترض أن${\displaystyle {\mathcal {W}}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=0}^{\infty }}$هي قابلة للعد ومتتابعة متزايدة تمامًا${\displaystyle \left\{n_{l}\right\}_{l=0}^{\infty }}$يمكن إيجاد مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة بحيث${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=0}^{n_{l}}}$يغطي K l . لنفترض أن δ l تُمثل المسافة من K l إلى ∂ K l +1، ولنختر ε l > 0 صغيرًا جدًا بحيث يكون ε l < min{δ l /2,ε l -1 } لـ l ≥ 1، و ε 0 < δ 0 /2، و ε l هو عدد ليبيغ لـ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l}}$(كغطاء مفتوح لـ K l ) ولـ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l+1}}$(كغطاء مفتوح لـ K l +1 ). بتعبير أدق، إذا كان X ⊂ M يلتقي بـ K l (أو K l +1 على التوالي ) وكان قطر X < ε l ، فإن X يقع في عنصر ما من${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l}}$(على التوالى،${\displaystyle {\mathcal {W}}_{l+1}}$). لكل x ∈ K l${\displaystyle \diagdown }$int K l -1 ، قم بإنشاء ( U x ، φ x ) كما هو الحال في الحالة المدمجة، مما يتطلب ذلك${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$ليكن φ مجموعة جزئية مضغوطة من W j، وليكن φ x = ψ j | U x ، حيث j ≤ n l . كذلك، يجب أن يكون قطرها${\displaystyle {\overline {U}}_{x}}$< ε l /2. كما في السابق، انتقل إلى غطاء جزئي محدود${\displaystyle \left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=n_{l-1}+1}^{n_{l}}}$من K l${\displaystyle \diagdown }$int K l -1 . (هنا، نفترض أن n −1 = 0.) ينتج عن هذا أطلس منتظم ذو أوراق.${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=1}^{\infty }}$ذلك يُحسّن${\displaystyle {\mathcal {W}}}$وهو متسق مع${\displaystyle {\mathcal {W}}.}$.

توجد عدة تعريفات بديلة للتورق، وذلك تبعاً لطريقة حدوثه. وأكثر الطرق شيوعاً لتحقيق التورق هي من خلال التحلل الذي يصل إلى ما يلي:

التعريف: التوريق من الفئة Cr ذو البعد p لمتشعب M ذي البعد n ^هو تفكيك لـ M إلى اتحاد متشعبات فرعية منفصلة متصلة { Lα _} ، _{حيث α ∈ A} ، تُسمى أوراق التوريق، ولها الخاصية التالية: لكل نقطة في M جوار U ونظام إحداثيات محلية من الفئة Cr، x = ⁽ x₁ , ... ^{, xₙ} ) : ^U → Rₙ ، بحيث ^تُوصف مكونات U ∩ _Lα لكل ورقة Lα بالمعادلات xₚ₊₁ = ^ثابت ، ...، _xₙ = ثابت . يُرمز للتوريق ^بـ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$={ L _α } _{α∈ A} . ^{[ 9 ]}

يُتيح مفهوم الأوراق طريقةً بديهيةً للتفكير في التوريق. ولتعريفٍ أكثر هندسيةً، يُمكن تعريف التوريق بأنه توريق ذو بُعد p.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يمكن اعتبار M، وهو متعدد الشعب ذو البعد n، ببساطة مجموعة { Ma _} من متعددات الشعب الفرعية المتصلة والمغمورة ذات البعد p (أوراق التوريق) المنفصلة مثنى مثنى ، بحيث يكون لكل نقطة x في M ، مخطط${\displaystyle (U,\varphi )}$مع كون U متماثلًا طوبولوجيًا مع R ⁿ يحتوي على x بحيث تلتقي كل ورقة، M _a ، مع U إما في المجموعة الفارغة أو في مجموعة قابلة للعد من الفضاءات الجزئية التي صورها تحت${\displaystyle \varphi }$في${\displaystyle \varphi (M_{a}\cap U)}$هي فضاءات فرعية أفينية ذات أبعاد p تكون إحداثياتها الأولى n − p ثابتة.

محلياً، كل طبقة من طبقات الأوراق هي غمر يسمح بما يلي:

التعريف. ليكن M و Q متعددي شعب، بُعدهما n و q ≤ n على التوالي، ولتكن f  : M → Q غمرًا، أي لنفترض أن رتبة تفاضل الدالة (المحدد اليعقوبي ) هي q . يستنتج من نظرية الدالة الضمنية أن ƒ تُنشئ توريقًا ذا بُعد مشترك q على M، ^حيث تُعرَّف الأوراق بأنها مركبات f ⁻¹ ( x ) لـ x ∈ Q. ^{[ 9} ]

يصف هذا التعريف بُعدًا - التورق p${\displaystyle {\mathcal {F}}}$لمتشعب ذي أبعاد n، M ، مغطى بمخططات U _i بالإضافة إلى الخرائط.

${\displaystyle \varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}}$

بحيث تكون دوال الانتقال φ _ij : R ⁿ → R ⁿ المعرفة بواسطة أزواج متداخلة U _i , U _j 

${\displaystyle \varphi _{ij}=\varphi _{j}\varphi _{i}^{-1}}$

اتخذ الشكل

${\displaystyle \varphi _{ij}(x,y)=(\varphi _{ij}^{1}(x),\varphi _{ij}^{2}(x,y))}$

حيث يمثل x الإحداثيات الأولى q = n − p ، ويمثل y الإحداثيات الأخيرة p . أي،

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{ij}^{1}:{}&\mathbb {R} ^{q}\to \mathbb {R} ^{q}\\\varphi _{ij}^{2}:{}&\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}\end{aligned}}}$

تقسيم دوال الانتقال φ _ij إلى${\displaystyle \varphi _{ij}^{1}(x)}$و${\displaystyle \varphi _{ij}^{2}(x,y)}$إن عملية الغمر تشبه تماماً عملية انقسام${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }}$داخل${\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)}$و${\displaystyle {\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)}$كجزء من تعريف الأطلس المورق المنتظم. وهذا يتيح تعريفًا آخر للتوريقات من حيث الأطالس المورقة المنتظمة. ولتحقيق هذه الغاية، يجب أولًا إثبات أن كل أطلس مورق منتظم ذي بُعد مشترك q يرتبط بتوريق فريد.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ذات بُعد مشترك q . ^{[ 8 ]}

البرهان [ 8 ]

يترك${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U_{a},\varphi _{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}}$ليكن M أطلسًا منتظمًا مورقًا ذو بُعد مشترك q . عرّف علاقة تكافؤ على M بوضع x ~ y إذا وفقط إذا كان هناك${\displaystyle {\mathcal {U}}}$- لوحة P 0 بحيث x ، y ∈ P 0 أو توجد متتالية L = { P 0 ، P 1 ، ...، P p } من${\displaystyle {\mathcal {U}}}$تُعرَّف اللوحات بأنها تلك التي يكون فيها x ∈ P₀ و y ∈ Pₚ و Pᵢ ∩ Pᵢ₋₁ ≠ ∅ حيث 1 ≤ i ≤ p . يُطلق على المتتالية L اسم سلسلة لوحات طولها p تربط x و y . في حالة x و y ∈ P₀ ، يُقال إن { P₀ } هي سلسلة لوحات طولها 0 تربط x و y . من الواضح أن ~ علاقة تكافؤ. من الواضح أيضًا أن كل فئة تكافؤ L هي اتحاد لوحات.${\displaystyle {\mathcal {U}}}$لا يمكن أن تتداخل اللوحات إلا في مجموعات فرعية مفتوحة من بعضها البعض، وL عبارة عن فضاء فرعي مغمور طوبولوجيًا محليًا ذو بُعد n − q . تشكل المجموعات الفرعية المفتوحة للوحات P ⊂ L أساسًا لطوبولوجيا إقليدية محلية على L ذات بُعد n − q، ومن الواضح أن L متصلة في هذه الطوبولوجيا. من السهل أيضًا التحقق من أن L فضاء هاوسدورف . تكمن المشكلة الرئيسية في إثبات أن L قابل للعد من الدرجة الثانية . بما أن كل لوحة قابلة للعد من الدرجة الثانية، فإن الأمر نفسه ينطبق على L إذا ثبت أن مجموعة${\displaystyle {\mathcal {U}}}$عدد اللوحات في L لا نهائي على الأكثر. لنثبت لوحة واحدة من هذا النوع P₀ . بحسب تعريف الأطلس المنتظم ذي الأوراق، فإن P₀ تلتقي بعدد محدود فقط من اللوحات الأخرى. أي أن هناك عددًا محدودًا فقط من سلاسل اللوحات { P₀ , Pi } التي طولها 1. بالاستقراء على طول p لسلاسل اللوحات التي تبدأ من P₀ ، يُثبت بالمثل أن هناك عددًا محدودًا فقط من السلاسل التي طولها ≤ p. بما أن كل${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-plaque في L ، بحسب تعريف ~، يتم الوصول إليها بواسطة سلسلة لويحات محدودة تبدأ عند P 0 ، وبالتالي فإن التأكيد يتبع.

كما هو موضح في البرهان، فإن أوراق التوريق هي فئات تكافؤ لسلاسل الصفائح ذات الطول ≤ p ، وهي أيضًا فضاءات فرعية هاوسدورف p- بعدية مغمورة طوبولوجيًا . بعد ذلك، يُبين أن علاقة التكافؤ للصفائح على ورقة تُعبَّر عنها بتكافؤ الأطالس المتماسكة ذات الأوراق فيما يتعلق بارتباطها بالتوريق. وبشكل أكثر تحديدًا، إذا${\displaystyle {\mathcal {U}}}$و${\displaystyle {\mathcal {V}}}$هل توجد أطالس ذات أوراق على M وإذا${\displaystyle {\mathcal {U}}}$يرتبط بالتورق${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ثم${\displaystyle {\mathcal {U}}}$و${\displaystyle {\mathcal {V}}}$تكون متماسكة إذا وفقط إذا${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ويرتبط أيضًا بـ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$[ ^{5 ]​}

البرهان [ 5 ]

لو${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ويرتبط أيضًا بـ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$كل ورقة L هي اتحاد لـ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$-اللوحات و من${\displaystyle {\mathcal {U}}}$-اللوحات. هذه اللوحات هي مجموعات فرعية مفتوحة في طوبولوجيا متعددة الشعب لـ L ، وبالتالي تتقاطع في مجموعات فرعية مفتوحة من بعضها البعض. بما أن اللوحات متصلة، فإن${\displaystyle {\mathcal {U}}}$لا يمكن للوحة أن تتقاطع مع${\displaystyle {\mathcal {V}}}$-اللوحة ما لم تكن موجودة في ورقة مشتركة؛ لذا فإن الأطالس الورقية متماسكة. على العكس من ذلك، إذا كنا نعرف فقط أن${\displaystyle {\mathcal {U}}}$يرتبط بـ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$وذلك${\displaystyle {\mathcal {V}}\approx {\mathcal {U}}}$ليكن Q​${\displaystyle {\mathcal {V}}}$- لويحة. إذا كانت L ورقة من${\displaystyle {\mathcal {F}}}$و w ∈ L ∩ Q ، ليكن P ∈ L هو a${\displaystyle {\mathcal {U}}}$إذا كان لدينا لوحة من النوع P تحتوي على w ∈ P ، فإن P ∩ Q هي جوار مفتوح لـ w في Q ، و P ∩ Q ⊂ L ∩ Q. بما أن w ∈ L ∩ Q عنصر اختياري، فإن L ∩ Q مجموعة مفتوحة في Q. وبما أن L ورقة اختيارية، فإن Q تنقسم إلى مجموعات فرعية مفتوحة منفصلة، ​​كل منها عبارة عن تقاطع Q مع ورقة من أوراق Q.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$بما أن Q متصلة، فإن L ∩ Q = Q. وأخيرًا، Q عنصر اختياري .${\displaystyle {\mathcal {V}}}$-لوحة، وهكذا${\displaystyle {\mathcal {V}}}$يرتبط بـ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

بات من الواضح الآن أن التطابق بين التوريقات على M والأطالس المورقة المرتبطة بها يُنشئ تطابقًا واحدًا لواحد بين مجموعة التوريقات على M ومجموعة فئات التماسك للأطالس المورقة، أو بعبارة أخرى، توريقًا${\displaystyle {\mathcal {F}}}$^{[ 10 ]} من خلال مبرهنة زورن ، من الواضح أن كل فئة تماسك من الأطالس المورقة تحتوي على ^أطلس مورق أقصى ^فريد . وبالتالي ،

التعريف. التوريق ذو البعد المشترك q والفئة C ^r على M هو أطلس توريقي ^أقصى ذو ^بعد مشترك q على M. ^{[ 10} ]

عملياً، يُستخدم عادةً أطلس صغير نسبياً ذو أوراق مزخرفة لتمثيل التورق. وعادةً ما يُشترط أيضاً أن يكون هذا الأطلس منتظماً.

في المخطط U _i ، تتطابق الخطوط x = ثابت مع الخطوط الموجودة على المخططات الأخرى U _j . تتجمع هذه الفضاءات الفرعية معًا من مخطط إلى آخر لتشكيل فضاءات فرعية متصلة قصوى مغمورة حقنيًا تسمى أوراق التوريق.

إذا قمنا بتقليص المخطط U _i، فيمكن كتابته على الصورة U _ix × U _iy ، حيث U _ix ⊂ R ^{n − p} ، و U _iy ⊂ R ^p ، و U _iy متماثلة شكليًا مع اللوحات، ونقاط U _ix تُحدد خصائص اللوحات في U _i . إذا اخترنا y ₀ في U _iy ، فإن U _ix × { y ₀ } تُشكل فضاءً فرعيًا من U _i يتقاطع مع كل لوحة مرة واحدة فقط. يُسمى هذا مقطعًا عرضيًا محليًا للتوريق. تجدر الإشارة إلى أنه نظرًا لخاصية المونودرومية ، قد لا توجد مقاطع عرضية شاملة للتوريق.

تُعدّ الحالة r = 0 حالةً خاصة. فغالباً ما تكون التوريقات من الفئة C ⁰ التي تظهر عملياً "ذات أوراق ملساء". وبشكل أدق، فهي من الفئة C ^{r ,0} ، بالمعنى التالي.

تعريف. توريق${\displaystyle {\mathcal {F}}}$تكون الفئة C ^r,k ، حيث r > k ≥ 0، إذا كانت فئة التماسك المقابلة للأطالس المورقة تحتوي على أطلس مورق منتظم { U _α , x _α , y _α } _{α∈ A} بحيث يكون تغيير صيغة الإحداثيات

${\displaystyle g_{\alpha \beta }(x_{\beta },y_{\beta })=(x_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta }),y_{\alpha }(y_{\beta })).}$

هي من الفئة C ^k ، لكن x _α من الفئة C ^r في الإحداثيات x _β، ومشتقاتها الجزئية المختلطة x _β من الرتب ≤ r هي C ^k في الإحداثيات ( x _β , y _β ). ^{[ 10 ]} 

يشير التعريف أعلاه إلى المفهوم الأعم للفضاء المورق أو الرقائق المجردة . يتم تخفيف شرط أن تكون المستعرضات مجموعات جزئية مفتوحة ومتراصة نسبيًا من Rq ^، مما يسمح للإحداثيات المستعرضة yα بأخذ قيمها في فضاء طوبولوجي أعمّ Z. تظل الألواح مجموعات جزئية مفتوحة ومتراصة نسبيًا من Rp ^، ويكون تغيير صيغة الإحداثيات المستعرضة yα ( yβ ₎ متصلًا، ويكون _xα ( xβ , yβ ) من _الفئة Cr في الإحداثيات xβ _، وتكون مشتقاته الجزئية المختلطة xβ من الرتب ≤ ^r متصلة في الإحداثيات ( _xβ , _yβ ). عادةً ما يُشترط أن يكون كل من M وZ متراصين محليًا، وقابلين _للعد من الدرجة الثانية ، _{وقابلين} للقياس _. ^{قد يبدو هذا تعميمًا واسعًا ،} ولكنه مفيد في سياقات معينة. [ ¹¹ _] 

ليكن ( M ،${\displaystyle {\mathcal {F}}}$) يكون متعدد الشعب ذو أوراق. إذا كانت L ورقة من${\displaystyle {\mathcal {F}}}$إذا كان s مسارًا في L ، فإننا نهتم بسلوك التوريق في جوار s في M. وبشكل بديهي، يسير ساكن الورقة على طول المسار s ، مراقبًا جميع الأوراق المجاورة. أثناء تقدم هذه الأوراق (والتي سنرمز لها فيما يلي بـ s ( t ))، قد "تتقشر" بعضها، مبتعدةً عن مجال الرؤية، وقد تدخل أوراق أخرى فجأةً إلى مجال الرؤية وتقترب من L بشكل تقاربي، وقد تتبعها أوراق أخرى بشكل متوازٍ تقريبًا أو تلتف حول L جانبيًا، وهكذا . إذا كان s مسارًا دائريًا، فإن s ( t ) يعود مرارًا وتكرارًا إلى نفس النقطة s ( t₀ ) مع ازدياد t إلى ما _لا نهاية، وفي كل مرة قد يظهر أو يختفي المزيد من الأوراق بشكل حلزوني، وهكذا . يُطلق على هذا السلوك، عند صياغته بشكل مناسب، اسم " هولونومية التوريق".

يتم تطبيق مفهوم الهولوونوميا على المشعبات المتورقة بطرق محددة مختلفة: مجموعة الهولوونوميا الكلية للحزم المتورقة، ومجموعة الهولوونوميا الزائفة للمشعبات المتورقة العامة، ومجموعة الهولوونوميا الجرثومية للمشعبات المتورقة العامة، ومجموعة الهولوونوميا الجرثومية للورقة، ومجموعة الهولوونوميا المتناهية الصغر للورقة.

حزم الأوراق

أسهل حالات التماثلية للفهم هي التماثلية الكلية لحزمة مُورقة. وهذا تعميم لمفهوم خريطة بوانكاريه .

مصطلح "خريطة العودة الأولى (التكرارية)" مستمد من نظرية الأنظمة الديناميكية. ليكن Φ _t تدفقًا غير منفرد من النوع C ^r ( حيث r  ≥ 1) على مشعب M  المدمج ذي البعد n . في التطبيقات، يمكن تخيل أن M عبارة عن سيكلوترون أو حلقة مغلقة ذات تدفق سائل. إذا كان لـ M حدود، يُفترض أن يكون التدفق مماسًا لتلك الحدود. يُولّد هذا التدفق توريقًا أحادي البعد.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$إذا تذكر المرء الاتجاه الموجب للتدفق، ولكنه نسي المعلمات الأخرى (شكل المسار، السرعة، إلخ )، فإن التوريق الأساسي${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يُقال إنها موجهة. لنفترض أن التدفق يقبل مقطعًا عرضيًا عالميًا N. أي أن N عبارة عن مشعب فرعي مضغوط ومضمن بشكل صحيح من C ^r من M ذي بُعد n  –  1، وهو التوريق${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يكون متعامدًا مع N ، وكل خط تدفق يتقاطع مع N. ولأن أبعاد N وأبعاد الأوراق متكاملة، فإن شرط التعامد هو أن

${\displaystyle T_{y}(M)=T_{y}({\mathcal {F}})\oplus T_{y}(N){\text{ for each }}y\in N.}$

ليكن y ∈ N ولنعتبر مجموعة النهاية ω ( y ) لجميع نقاط التراكم في M لجميع المتتابعات${\displaystyle \left\{\Phi _{t_{k}}(y)\right\}_{k=1}^{\infty }}$حيث يؤول t _k إلى اللانهاية. يمكن إثبات أن ω(y) مجموعة متراصة، وغير فارغة، واتحاد لخطوط التدفق. إذا${\displaystyle z=\lim _{k\rightarrow \infty }\Phi _{t_{k}}\in \omega (y),}$توجد قيمة t * ∈ R بحيث يكون Φ _{t *} ( z ) ∈ N ، ويترتب على ذلك أن

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\Phi _{t_{k}+t^{\ast }}(y)=\Phi _{t^{\ast }}(z)\in N.}$

بما أن N مجموعة مضغوطة و${\displaystyle {\mathcal {F}}}$بما أن Φ t ( y ) ∈ N متعامدة مع N ، فإن المجموعة { t > 0 | Φ _t ( y ) ∈ N} هي متتالية متزايدة بشكل رتيب${\displaystyle \{\tau _{k}(y)\}_{k=1}^{\infty }}$التي تتباعد إلى ما لا نهاية.

بما أن y ∈ N يتغير، فلندع τ ( y ) = τ ₁ ( y )، ونعرف بهذه الطريقة دالة موجبة τ ∈ C ^r ( N ​​) (وقت العودة الأول) بحيث، لأي y ∈ N ، Φ _t ( y ) ∉ N ، 0 < t < τ ( y )، و Φ _{τ ( y )} ( y ) ∈ N .

نُعرّف الدالة f  : N → N بالصيغة f ( y ) = Φτ ( y ) ( y ) . هذه دالة من نوع C r . إذا عُكس اتجاه التدفق، فإن نفس البنية تُعطينا الدالة العكسية f -1  ؛ لذا f ∈ Diff r ( N ). هذا التشاكل التفاضلي هو دالة العودة الأولى، ويُسمى τ زمن العودة الأولى . بينما يعتمد زمن العودة الأولى على معلمات التدفق، فمن الواضح أن f تعتمد فقط على التوريق الموجه.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$من الممكن إعادة تحديد معلمات التدفق Φ t ، مع الحفاظ عليه غير منفرد، من الفئة C r ، وعدم عكس اتجاهه، بحيث يكون τ ≡ 1.   

إن افتراض وجود مقطع عرضي N للتدفق هو افتراض مقيد للغاية، مما يعني أن ^M هو الفضاء الكلي لحزمة الألياف على S1 . في الواقع، على R × N ، نُعرّف ~ _f على أنها علاقة التكافؤ المُولّدة بواسطة

${\displaystyle (t,y)\sim _{f}(t-1,f(y)).}$

بصورة مكافئة، هذا هو تكافؤ المدار لتأثير المجموعة الجمعية Z على R × N المحدد بواسطة

${\displaystyle k\cdot (t,y)=(t-k,f^{k}(y)),}$

لكل k ∈ Z ولكل ( t , y ⁾ ∈ R × N. تُعرَّف أسطوانة التطبيق لـ f بأنها مشعب Cr

${\displaystyle M_{f}=(\mathbb {R} \times N)/{\sim _{f}}.}$

بحسب تعريف دالة العودة الأولى f وافتراض أن زمن العودة الأولى هو τ ≡ 1، فمن الواضح أن الدالة

${\displaystyle \Phi$ :\mathbb {R} \times N\rightarrow M.}

يُحدد التدفق، ويُحدث تحولًا تفاضليًا قانونيًا من النوع C ^r

${\displaystyle \varphi :M_{f}\rightarrow M.}$

إذا قمنا بتحديد M _f = M ، فإن إسقاط R × N على R ينتج عنه خريطة C ^r

${\displaystyle \pi :M\rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}$

وهذا يجعل M الفضاء الكلي لحزمة ألياف فوق الدائرة. ^هذا مجرد إسقاط S1 ^× D2 على S1 ^. التوريق${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يكون متعامدًا مع ألياف هذه الحزمة، وإسقاط الحزمة π ، المقيد بكل ورقة L ، هو خريطة تغطية π : L → S ^1. وهذا ما يسمى بالحزمة المورقة .  

لنأخذ x₀ ∈ S₁ كنقطة أساس _، ونعتبر فئة التكافؤ 0 + Z ؛ لذا فإن π⁻¹ ^{( x₀} ) هو _المقطع العرضي الأصلي N. لكل حلقة s على S₁ ^، انطلاقًا من x₀ _، تُحدد فئة التماثل [ s ] ∈ π₁ ₍ S₁ , x₀ ) _{بشكل فريد بواسطة deg} s ∈ Z. ترتفع الحلقة s إلى مسار ^{في كل خط تدفق ،} ومن الواضح أن الارتفاع s _y الذي يبدأ من y ∈ N ينتهي عند fₖ ( y ) ∈ N ، حيث ^k = deg s . يُرمز أيضًا إلى التشاكل التفاضلي fₖ ∈ Diffₖ ⁽ N ) بـ h _s ويُسمى التماثل الكلي للحلقة s . بما أن هذا يعتمد فقط على [ s ]، فهذا تعريف للتشاكل .

${\displaystyle h:\pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \operatorname {Diff} ^{\,r}(N),}$

يُطلق عليه اسم التشاكل التام للهولونومية للحزمة المتورقة.

باستخدام حزم الألياف بطريقة أكثر مباشرة، لنفترض ( M ،${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ليكن M فضاءً متعدد الشعب ذو n بُعدًا مشتركًا q . ولتكن π  : M → B حزمة ألياف ذات ألياف F ذات بُعد q وفضاء قاعدة متصل B. افترض أن جميع هذه البنى من الفئة C r ، حيث 0 ≤ r ≤ ∞، مع الشرط التالي: إذا كان r = 0، فإن B يدعم بنية من الفئة C  1  . بما أن كل أطلس أقصى من الفئة C 1  على B يحتوي على أطلس فرعي من الفئة C ∞ ، فلا يوجد فقدان للعمومية في افتراض أن B أملس بالقدر المطلوب. أخيرًا، لكل x ∈ B ، افترض وجود جوار مفتوح ومتصل U ⊆ B لـ x ، وإمكانية تبسيط محلية.

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi ^{-1}(U)&{\xrightarrow {\varphi }}&U\times {F}\\\scriptstyle {\pi }{\Bigg \downarrow }&{\qquad }&{\Bigg \downarrow }{\scriptstyle {p}}\\U&{\xrightarrow {\text{id}}}&U\end{matrix}}}$

حيث φ هو تماثل تفاضلي من النوع C ^r (تماثل تماثلي، إذا كان r = 0) يحمل${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$إلى التوريق الناتج { U × { y }} _{y  ∈ F}  . هنا،${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$هل التوريق ذو الأوراق هو المكونات المتصلة لـ L ∩ π ⁻¹ ( U )، حيث يتراوح L على أوراق${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هذا هو التعريف العام لمصطلح "الحزمة الورقية" ( M ,${\displaystyle {\mathcal {F}}}$π) من الفئة C ^r .

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$وهو متعامد مع ألياف π (يقال أن${\displaystyle {\mathcal {F}}}$(متعامد مع التليف) وأن تقييد π لكل ورقة L من${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هي خريطة تغطية π  : L → B. على وجه الخصوص، كل ليف F _x = π ⁻¹ ( x ) يلتقي بكل ورقة من أوراق${\displaystyle {\mathcal {F}}}$الألياف عبارة عن مقطع عرضي من${\displaystyle {\mathcal {F}}}$في تشابه تام مع مفهوم المقطع العرضي للتدفق.

التورق${\displaystyle {\mathcal {F}}}$لا يضمن كون الأوراق متعامدة مع الألياف، في حد ذاته، أنها تغطي مساحات من B. إحدى النسخ المبسطة للمسألة هي توريق R ² ، متعامد مع التليف.

${\displaystyle \pi$ :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,}

${\displaystyle \pi (x,y)=x,}$

لكن مع وجود عدد لا نهائي من الأوراق التي لا تقع على المحور y . في الشكل الموضح، يُفترض أن الأوراق المشار إليها بالأسهم، وجميع الأوراق التي تعلوها، تقترب من المحور x = 0. يُطلق على هذا النوع من التوريق اسم التوريق غير الكامل بالنسبة للتليف، مما يعني أن بعض الأوراق "تمتد إلى ما لا نهاية" عندما يقترب المعامل x ∈ B من قيمة x ₀ ∈ B. بتعبير أدق، قد توجد ورقة L ومسار متصل s  : [0, a ) → L بحيث يكون lim _{t → a −} π( s ( t )) = x ₀ ∈ B ، لكن lim _{t → a −} s ( t ) غير موجود في طوبولوجيا التشعب L. هذا مشابه لحالة التدفقات غير الكاملة، حيث "تمتد" بعض خطوط التدفق إلى ما لا نهاية في زمن محدود. على الرغم من أن ورقة L قد تلتقي في مكان آخر بـ π ⁻¹ ( x ₀ )، إلا أنها لا تستطيع تغطية جوار x ₀ بشكل متساوٍ ، وبالتالي لا يمكن أن تكون فضاء تغطية لـ B تحت تأثير π . ومع ذلك، عندما تكون F متراصة، فإن خاصية التعامد لـ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$إن التليف يضمن الاكتمال، ومن ثم فإن${\textstyle (M,{\mathcal {F}},\pi )}$هي حزمة مورقة.

يوجد أطلس${\displaystyle {\mathcal {U}}}$= { U _α , x _α } _α∈A على B ، تتكون من مخططات إحداثيات مفتوحة ومتصلة، بالإضافة إلى تبسيطات φ _α  : π ⁻¹ ( U _α ) → U _α × F التي تحمل${\displaystyle {\mathcal {F}}}$|π ⁻¹ ( U _α ) لترقيم أوراق المنتج. اضبط W _α = π ⁻¹ ( U _α ) واكتب φ _α = ( x _α , y _α ) حيث (عن طريق إساءة استخدام التدوين) يمثل x _α x _α${\displaystyle \circ }$π و y _α  : π ⁻¹ ( U _α ) → F هو الغمر الذي تم الحصول عليه من خلال تركيب φ α _مع الإسقاط الكنسي U _α × F → F.

الأطلس${\displaystyle {\mathcal {W}}}$= { W _α , x _α , y _α } _{α ∈ A} يلعب دورًا مشابهًا لدور الأطلس المورق. تمثل لوحات W _α مجموعات المستوى لـ y _α ، وهذه المجموعة من اللوحات مطابقة لـ F عبر y _α . بما أن B يُفترض أنها تدعم بنية C ^∞ ، فإنه وفقًا لنظرية وايتهيد، يمكن تحديد مقياس ريماني على B واختيار الأطلس.${\displaystyle {\mathcal {U}}}$أن تكون محدبة جيوديسيًا. بالتالي، فإن _Uα ∩ Uβ متصلة دائمًا. إذا كان هذا التقاطع غير فارغ، فإن كل لوحة من _Wα تلتقي بلوحة واحدة فقط من _{Wβ .} ثم نُعرّف دورة هولونومية مشتركة${\displaystyle \gamma =\left\{\gamma _{\alpha \beta }\right\}_{\alpha ,\beta \in A}}$عن طريق الضبط

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=y_{\alpha }\circ y_{\beta }^{-1}:F\rightarrow F.}$

توجد علاقة وثيقة، بافتراض أن كل شيء أملس ، مع الحقول المتجهة : بالنظر إلى حقل متجه X على M لا يساوي الصفر أبدًا، فإن منحنياته التكاملية ستعطي توريقًا أحادي البعد. (أي توريقًا من البعد المشترك n − 1 ).

تُعمَّم هذه الملاحظة على نظرية فروبينيوس ، التي تنص على أن الشروط اللازمة والكافية لكي يكون التوزيع (أي حزمة فرعية ذات بُعد n − p من الحزمة المماسية لمتشعب) مماسًا لأوراق التوريق، هي أن تكون مجموعة حقول المتجهات المماسية للتوزيع مغلقة تحت قوس لي . ويمكن صياغة ذلك بشكل مختلف، كمسألة اختزال زمرة البنية للحزمة المماسية من GL( n ) إلى زمرة فرعية قابلة للاختزال.

تظهر شروط نظرية فروبينيوس كشروط تكامل ؛ والفرضية هي أنه إذا تحققت هذه الشروط، يمكن أن يحدث الاختزال لوجود دوال انتقال محلية ذات بنية كتلية مطلوبة. على سبيل المثال، في حالة البعد المشترك 1، يمكننا تعريف حزمة المماس للتوريق على أنها ker( α ) ، لبعض α ∈ Ω ¹ (غير القياسي) (أي حقل متجه مشترك غير صفري). يكون α المعطى قابلاً للتكامل إذا وفقط إذا كان α ∧ dα = 0 في كل مكان.

توجد نظرية توريق عالمية، نظرًا لوجود قيود طوبولوجية. على سبيل المثال، في حالة السطح ، لا يمكن أن يوجد حقل متجه غير صفري في أي مكان على سطح مضغوط قابل للتوجيه إلا في حالة الطارة . هذه نتيجة لنظرية مؤشر بوانكاريه-هوبف ، التي تُبين أن خاصية أويلر يجب أن تكون صفرًا. وهناك العديد من الروابط العميقة مع طوبولوجيا التماس ، وهي المفهوم "المعاكس"، الذي يتطلب عدم تحقق شرط التكامل أبدًا .

قدّم هيفليجر (1970) شرطًا ضروريًا وكافيًا لكي يكون التوزيع على مشعب متصل غير متراص متماثلًا مع توزيع قابل للتكامل. وأظهر ثورستون ( 1974 ، 1976 ) أن أي مشعب متراص ذي توزيع ما له توريق من نفس البعد. 

• بنية G – حزمة فرعية لمجموعة البنية على حزمة إطار مماسية. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• بنية هافليجر – تعميم لتوريق مغلق تحت تأثير عمليات السحب العكسي. 
• الترقق – الفضاء الطوبولوجي المقسم 
• تورق ريب .
• التوريق المشدود - مفهوم في الرياضيات