عقارات باناش ساكس

خاصية باناخ-ساكس هي خاصية لبعض الفضاءات المتجهة المعيارية، وتنص على أن كل متتالية محدودة من النقاط في الفضاء لها متتالية جزئية متقاربة في المتوسط ​​(تُعرف أيضًا باسم مجموع سيزارو أو التقارب ). على وجه التحديد، لكل متتالية محدودة${\displaystyle (x_{n})_{n}}$يوجد في هذا الفضاء تسلسل فرعي${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k}}$بحيث يكون التسلسل

${\displaystyle \left({\frac {x_{n_{1}}+\ldots +x_{n_{k}}}{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}$

هي متقاربة (بمعنى المعيار). تسمى المتتاليات التي تحقق هذه الخاصية متتاليات باناخ-ساكس.

يُنسب هذا المفهوم إلى عالمي الرياضيات البولنديين ستيفان باناخ وستانيسواف ساكس ، اللذين وسّعا نظرية مازور، التي تنص على أن النهاية الضعيفة لمتتالية في فضاء باناخ هي النهاية في معيار التراكيب المحدبة لحدود المتتالية. وقد أظهرا أنه في فضاءات L _p (0,1) ، لـ${\displaystyle 1<p<\infty }$يوجد، في الفضاء، متتالية من التراكيب المحدبة للمتتالية الأصلية قابلة للجمع وفقًا لشرط سيزارو. ^{[ 1 ]} وقد عمم شيزو كاكوتاني هذه النتيجة لتشمل الفضاءات المحدبة بانتظام . ^{[ 2 ]} قدم فيسواف شلينك "خاصية باناخ-ساكس الضعيفة"، مستبدلًا شرط المتتالية المحدودة بمتتالية تتقارب تقاربًا ضعيفًا إلى الصفر، وأثبت أن الفضاء${\displaystyle L_{1}(0,1)}$يمتلك هذه الخاصية. ^{[ 3 ]} تمتد تعريفات كلتا خاصيتي باناش-ساكس بشكل مماثل إلى المجموعات الجزئية من الفضاءات المعيارية.

• كل فضاء باناخ يتمتع بخاصية باناخ-ساكس هو فضاء انعكاسي . ^{[ 4 ]} ومع ذلك، توجد فضاءات انعكاسية لا تتمتع بهذه الخاصية، وأول مثال على ذلك قدمه ألبرت بيرنشتاين . ^{[ 5 ]}
• قدّم جوليان شراير أول مثال على فضاء (يُسمى فضاء شراير) يفتقر إلى خاصية باناخ-ساكس الضعيفة. كما أثبت أن فضاء الدوال المتصلة على الترتيبي${\displaystyle \أوميغا ^{\أوميغا }+1}$يفتقر إلى هذه الخاصية. ^{[ 6 ]}
• تحتفظ مجموعات الفضاءات من الرتبة ℓ _p التي تتمتع بخاصية باناش-ساكس بهذه الخاصية. ^{[ 7 ]}
• يوجد مكان${\displaystyle E}$مع عقار باناش-ساكس الذي خصصت له المساحة${\displaystyle L_{2}(E)}$( دوال قابلة للتكامل التربيعي بمعنى بوخنر ذات قيم في${\displaystyle E}$(يفتقر إلى هذه الخاصية). ^{[ 8 ]}
• تتمتع صورة مقياس متجهي جمعي تمامًا بخاصية باناخ-ساكس. ^{[ 9 ] [ 10 ]}
• إذا كان فضاء باناش${\displaystyle E}$يحتوي على مساحة مزدوجة${\displaystyle E^{*}}$أي أن السطح محدب بشكل منتظم ، إذن${\displaystyle E}$يمتلك ملكية باناش-ساكس. ^{[ 11 ]}
• يتمتع الفضاء الثنائي لفضاء شلومبريشت بخاصية باناخ-ساكس. ^{[ 12 ]}

بالنسبة لعدد حقيقي ثابت${\displaystyle p\geqslant 1}$، سلسلة محدودة${\displaystyle (x_{n})_{n}}$في فضاء باناش${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم تسلسل p-BS إذا كان يحتوي على تسلسل فرعي.${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k}}$بحيث

${\displaystyle \sup _{m\in \mathbb {N} }{\frac {1}{m^{\frac {1}{p}}}}{\Bigg \|}\sum _{i=1}^{m}x_{n_{i}}{\Bigg \|}<\infty .}$

يُقال إن فضاء باناخ يتمتع بخاصية p-BS إذا احتوت كل متتالية تتقارب تقاربًا ضعيفًا إلى الصفر على متتالية جزئية تمثل متتالية p -BS. ^{[ 13 ] [ 14 ]} لا تُعمم خاصية p-BS خاصية باناخ-ساكس. والجدير بالذكر أن كل فضاء باناخ يتمتع بخاصية 1-BS. المجموعة

${\displaystyle \Gamma (X)=\{p\geqslant 1\colon \,X{\text{ لها خاصية }}p{\text{-BS property}}\}}$

وهو على شكل${\displaystyle [0,\gamma _{0})}$أو${\displaystyle [0,\gamma _{0}]}$، أين${\displaystyle \gamma _{0}\geqslant 1}$. لو${\displaystyle \Gamma (X)=[0,\gamma _{0}]}$مؤشر باناش -ساكس${\displaystyle \gamma (X)}$من الفضاء${\displaystyle X}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle \gamma (X)=\gamma _{0}}$؛ لو${\displaystyle \Gamma (X)=[0,\gamma _{0})}$، ثم${\displaystyle \gamma _{0}=0}$على سبيل المثال، المساحة${\displaystyle L_{2}(0,1)}$يمتلك خاصية 2-BS. ^{[ 13 ] [ 14 ]}