التركيب المحدب

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 38 صور
الموسوعة الحرة
معطى ثلاث نقاطx1،x2،x3{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}في مستوى كما هو موضح في الشكل، النقطةP{\displaystyle P}هي تركيبة محدبة للنقاط الثلاث، بينماسؤال{\displaystyle Q}ليس كذلك .
(سؤال{\displaystyle Q}ومع ذلك، فهو عبارة عن مزيج خطي من النقاط الثلاث، لأن غلافها الخطي هو المستوى بأكمله.
تركيبة محدبة لنقطتينv1،v2∈R2{\displaystyle v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{2}}في فضاء متجهي ثنائي الأبعاد R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}كرسوم متحركة في برنامج جيوجيبرا معت∈[0،1]{\displaystyle t\in [0,1]}وك(ت):=(1-ت)⋅v1+ت⋅v2{\displaystyle K(t):=(1-t)\cdot v_{1}+t\cdot v_{2}}
مجموعة محدبة من ثلاث نقاطv0،v1،v2 ل 2-simplex∈R2{\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2}{\text{ of }}2{\text{-simplex}}\in \mathbb {R} ^{2}}في فضاء متجهي ثنائي الأبعادR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}كما هو موضح في الرسوم المتحركة معα0+α1+α2=1{\displaystyle \alpha ^{0}+\alpha ^{1}+\alpha ^{2}=1}،P(α0،α1،α2){\displaystyle P(\alpha ^{0},\alpha ^{1},\alpha ^{2})}:=α0v0+α1v1+α2v2{\displaystyle :=\alpha ^{0}v_{0}+\alpha ^{1}v_{1}+\alpha ^{2}v_{2}} . عندما تكون النقطة P داخل المثلثαأنا≥0{\displaystyle \alpha _{i}\geq 0}وإلا، فعندما تكون النقطة P خارج المثلث، فإن واحدة على الأقل منαأنا{\displaystyle \alpha _{i}}سلبي.
مجموعة محدبة من أربع نقاطأ1،أ2،أ3،أ4∈R3{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\in \mathbb {R} ^{3}}في فضاء متجهي ثلاثي الأبعادR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}كرسوم متحركة في برنامج جيوجيبرا مع∑أنا=14αأنا=1{\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}=1}و∑أنا=14αأنا⋅أأنا=P{\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}\cdot A_{i}=P}عندما تكون النقطة P داخل رباعي الأوجهαأنا≥0{\displaystyle \alpha _{i}>=0}وإلا، فعندما تكون النقطة P خارج الهرم الرباعي، فإن واحدة على الأقل منαأنا{\displaystyle \alpha _{i}}سلبي.
التركيب المحدب لدالتين كمتجهات في فضاء متجهي للدوال - مُصوَّر في برنامج Geogebra مفتوح المصدر[أ،ب]=[-4،7]{\displaystyle [a,b]=[-4,7]}وكأول وظيفةو:[أ،ب]→R{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }تم تعريف متعددة الحدود.و(x):=310⋅x2-2{\displaystyle f(x):={\frac {3}{10}}\cdot x^{2}-2} دالة مثلثيةز:[أ،ب]→R{\displaystyle g:[a,b]\to \mathbb {R} }تم اختيارها كوظيفة ثانية.ز(x):=2⋅كوس⁡(x)+1{\displaystyle g(x):=2\cdot \cos(x)+1} يوضح الشكل التركيبة المحدبةك(ت):=(1-ت)⋅و+ت⋅ز{\displaystyle K(t):=(1-t)\cdot f+t\cdot g}لو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}كما هو موضح في الرسم البياني باللون الأحمر.

في الهندسة المحدبة والجبر المتجهي ، فإن التركيبة المحدبة هي تركيبة خطية من النقاط (والتي يمكن أن تكون متجهات أو كميات قياسية أو بشكل عام نقاط في فضاء أفيني ) حيث تكون جميع المعاملات غير سالبة ومجموعها يساوي 1. [ 1 ] بعبارة أخرى، فإن العملية مكافئة للمتوسط ​​المرجح القياسي ، ولكن يتم التعبير عن أوزانها كنسبة مئوية من الوزن الإجمالي، بدلاً من كونها جزءًا من عدد الأوزان كما هو الحال في المتوسط ​​المرجح القياسي.

التعريف الرسمي

بصورة أكثر رسمية، بالنظر إلى عدد محدود من النقاطx1،x2،...،xن{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}في فضاء متجهي حقيقي أو فضاء أفيني ، يكون التركيب المحدب لهذه النقاط نقطة على الشكل التالي:

α1x1+α2x2+⋯+αنxن{\displaystyle \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}

حيث الأعداد الحقيقيةαأنا{\displaystyle \alpha _{i}}مُرضٍαأنا≥0{\displaystyle \alpha _{i}\geq 0}وα1+α2+⋯+αن=1.{\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1.}[ 1 ]

كمثال محدد، تقع كل تركيبة محدبة من نقطتين على القطعة المستقيمة بين النقطتين. [ 1 ]

تكون المجموعة محدبة إذا احتوت على جميع التوليفات المحدبة لنقاطها. الغلاف المحدب لمجموعة معينة من النقاط هو نفسه مجموعة جميع توليفاتها المحدبة. [ 1 ]

توجد مجموعات جزئية من فضاء متجهي غير مغلقة تحت التركيبات الخطية ولكنها مغلقة تحت التركيبات المحدبة. على سبيل المثال، الفترة[0،1]{\displaystyle [0,1]}هي محدبة لكنها تولد خط الأعداد الحقيقية تحت تأثير التراكيب الخطية. مثال آخر هو المجموعة المحدبة لتوزيعات الاحتمالات ، حيث أن التراكيب الخطية لا تحافظ على عدم السلبية ولا على التقارب (أي أن مجموعها الصحيح يساوي واحدًا).

أشياء أخرى

  • التركيبة المخروطية هي تركيبة خطية ذات معاملات غير سالبة. عندما تكون نقطةx{\displaystyle x}يُستخدم كنقطة مرجعية لتحديد متجهات الإزاحة ، ثمx{\displaystyle x}هو مزيج محدب منن{\displaystyle n}نقاطx1،x2،...،xن{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}إذا وفقط إذا كانت الإزاحة الصفرية عبارة عن تركيبة مخروطية غير تافهة منن{\displaystyle n}متجهات الإزاحة الخاصة بكل منها بالنسبة إلىx{\displaystyle x}.
  • المتوسطات المرجحة هي نفسها وظيفيًا التوليفات المحدبة، لكنها تستخدم ترميزًا مختلفًا. لا يُشترط أن يكون مجموع معاملات ( أوزان ) المتوسط ​​المرجح مساويًا لـ 1؛ بل يتم قسمة التوليفة الخطية المرجحة صراحةً على مجموع الأوزان.
  • تُشبه التراكيب الأفينية التراكيب المحدبة، ولكن لا يُشترط أن تكون معاملاتها غير سالبة. لذا، تُعرَّف التراكيب الأفينية في فضاءات متجهة على أي حقل .

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 4 روكافيلر، ر. تيريل (1970)، التحليل المحدب ، سلسلة برينستون الرياضية، المجلد  28، مطبعة جامعة برينستون، برينستون، نيوجيرسي، الصفحات 11-12 ، MR 0274683