نظرية بيري-إيسين

في نظرية الاحتمالات ، تنص نظرية الحد المركزي على أنه في ظل ظروف معينة، يتقارب توزيع احتمالات المتوسط ​​المقياس لعينة عشوائية إلى توزيع طبيعي مع زيادة حجم العينة إلى ما لا نهاية. في ظل افتراضات أقوى، تعطي نظرية بيري-إيسين ، أو متباينة بيري-إيسين ، نتيجة أكثر كمية، لأنها تحدد أيضًا المعدل الذي يحدث به هذا التقارب من خلال إعطاء حد للخطأ الأقصى للتقريب بين التوزيع الطبيعي والتوزيع الحقيقي لمتوسط ​​العينة المقياس. يتم قياس التقريب من خلال مسافة كولموغوروف-سميرنوف . في حالة العينات المستقلة ، يكون معدل التقارب n ^−1/2 ، حيث n هو حجم العينة، ويتم تقدير الثابت من حيث العزم الطبيعي المطلق الثالث .

تختلف بيانات النظرية، حيث تم اكتشافها بشكل مستقل من قبل اثنين من علماء الرياضيات ، أندرو سي بيري (في عام 1941) وكارل جوستاف إيسين (1942)، والذين قاموا بعد ذلك، جنبًا إلى جنب مع مؤلفين آخرين، بتحسينها مرارًا وتكرارًا على مدى العقود اللاحقة.

هناك نسخة واحدة، تضحي إلى حد ما بالعمومية من أجل الوضوح، وهي كالتالي:

يوجد ثابت موجب C بحيث إذا كانت X ₁ و X ₂ و... متغيرات عشوائية مستقلة ذات قيمة ثابتة مع E ( X ₁ ) = 0 وE( X ₁ ² ) = σ ² > 0 وE(| X ₁ | ³ ) = ρ < ∞، ^{[ملاحظة 1]} وإذا عرفنا

${\displaystyle Y_{n}={X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n} \over n}}$

متوسط ​​العينة ، مع F _n دالة التوزيع التراكمية لـ

${\displaystyle {Y_{n}{\sqrt {n}} \over {\sigma }},}$

وΦ دالة التوزيع التراكمية للتوزيع الطبيعي القياسي ، ثم لجميع x و n ،

${\displaystyle \left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq {C\rho \over \sigma ^{3}{\sqrt {n}}}.\ \ \ \ (1)}$

هذا يعني: إذا كان لدينا تسلسل من المتغيرات العشوائية المستقلة والموزعة بشكل متطابق ، ولكل منها متوسط ​​صفر وتباين موجب ، وإذا كانت اللحظة المطلقة الثالثة محدودة، فإن دوال التوزيع التراكمية لمتوسط ​​العينة القياسية والتوزيع الطبيعي القياسي تختلف (رأسيًا، على الرسم البياني) بما لا يزيد عن المقدار المحدد. لاحظ أن خطأ التقريب لجميع n ( ومن ثم معدل التقارب المحدد لـ n غير محدد كبير بما فيه الكفاية) محدود بترتيب n ^−1/2 .

انخفضت الحدود العليا المحسوبة للثابت C بشكل ملحوظ على مر السنين، من القيمة الأصلية 7.59 التي حددها Esseen في عام 1942. ^[1] يأتي تقدير C  < 0.4748 من التباين

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq {0.33554(\rho +0.415\sigma ^{3}) \over \sigma ^{3}{\sqrt {n}}},}$

نظرًا لأن σ ³  ≤ ρ و0.33554 · 1.415 < 0.4748. ومع ذلك، إذا كانت ρ ≥ 1.286σ ³ ، فإن التقدير

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq {0.3328(\rho +0.429\sigma ^{3}) \over \sigma ^{3}{\sqrt {n}}},}$

هو أكثر إحكاما. ^[2]

أثبت إيسين (1956) أن الثابت يلبي أيضًا الحد الأدنى

${\displaystyle C\geq {\frac {{\sqrt {10}}+3}{6{\sqrt {2\pi }}}}\approx 0.40973\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}+0.01079.}$

ليكن X ₁ و X ₂ و... متغيرات عشوائية مستقلة مع E ( X _i ) = 0 وE( X _i ² ) = σ _i ² > 0 وE(| X _i | ³ ) = ρ _i < ∞. وليكن أيضًا

${\displaystyle S_{n}={X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n} \over {\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\cdots +\sigma _{n}^{2}}}}}$

يكون المجموع الجزئي الطبيعي من الدرجة n . يشير F _n إلى دالة التوزيع التراكمي لـ S _n ، وΦ إلى دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي القياسي . من أجل الراحة، يشير إلى

${\displaystyle {\vec {\sigma }}=(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}),\ {\vec {\rho }}=(\rho _{1},\ldots ,\rho _{n}).}$

في عام 1941، أثبت أندرو سي بيري أنه بالنسبة لجميع n يوجد ثابت مطلق C ₁ بحيث

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq C_{1}\cdot \psi _{1},\ \ \ \ (2)}$

أين

${\displaystyle \psi _{1}=\psi _{1}{\big (}{\vec {\sigma }},{\vec {\rho }}{\big )}={\Big (}{\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}}{\Big )}^{-1/2}\cdot \max _{1\leq i\leq n}{\frac {\rho _{i}}{\sigma _{i}^{2}}}.}$

بشكل مستقل، في عام 1942، أثبت كارل جوستاف إيسين أنه بالنسبة لجميع n يوجد ثابت مطلق C ₀ بحيث

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq C_{0}\cdot \psi _{0},\ \ \ \ (3)}$

أين

${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{0}{\big (}{\vec {\sigma }},{\vec {\rho }}{\big )}={\Big (}{\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}}{\Big )}^{-3/2}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}\rho _{i}.}$

من السهل التأكد من أن ψ ₀ ≤ψ _1. وبسبب هذا الظرف، يُطلق على المتباينة (3) تقليديًا متباينة بيري-إيسين، وتُسمى الكمية ψ ₀ كسر ليابونوف من الدرجة الثالثة. علاوة على ذلك، في الحالة التي يكون فيها مجموع X ₁ ، ...، يكون لـ X _n توزيعات متطابقة

${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{1}={\frac {\rho _{1}}{\sigma _{1}^{3}{\sqrt {n}}}},}$

وبالتالي فإن الحدود المنصوص عليها في المتباينات (1)، (2) و(3) تتطابق بعيدًا عن الثابت.

فيما يتعلق بـ C ₀ ، من الواضح أن الحد الأدنى الذي وضعه Esseen (1956) يظل صالحًا:

${\displaystyle C_{0}\geq {\frac {{\sqrt {10}}+3}{6{\sqrt {2\pi }}}}=0.4097\ldots .}$

يتم الوصول إلى الحد الأدنى بشكل دقيق فقط لبعض توزيعات برنولي (انظر Esseen (1956) لمعرفة تعبيراتها الصريحة).

تم تخفيض الحدود العليا لـ C ₀ لاحقًا من تقدير Esseen الأصلي 7.59 إلى 0.5600. ^[3]

كما هو الحال مع نظرية الحد المركزي متعدد الأبعاد ، هناك نسخة متعددة الأبعاد من نظرية بيري-إيسين. ^{[4] [5]}

ليكن متجهات عشوائية مستقلة ذات قيمة - كل منها متوسطه صفر. اكتب وافترض أنه قابل للعكس. ليكن متجهًا غاوسيًا ذو بعد - بنفس المتوسط ​​ومصفوفة التغاير مثل . إذن، لجميع المجموعات المحدبة ، ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$${\displaystyle \Sigma _{n}=\operatorname {Cov} [S_{n}]}$${\displaystyle Z_{n}\sim \operatorname {N} (0,{\Sigma _{n}})}$${\displaystyle d}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle {\big |}\Pr[S_{n}\in U]-\Pr[Z_{n}\in U]\,{\big |}\leq Cd^{1/4}\gamma _{n}}$,

حيث هو ثابت عالمي و (القوة الثالثة لمعيار L 2 ⁾ . ${\displaystyle C}$${\displaystyle \gamma _{n}=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} {\big [}\|\Sigma _{n}^{-1/2}X_{i}\|_{2}^{3}{\big ]}}$

من المفترض أن يكون الاعتماد على هو الأمثل، ولكن قد لا يكون كذلك. ^[5]${\displaystyle d^{1/4}}$

• متباينة تشيرنوف
• سلسلة إيدجورث
• قائمة عدم المساواة
• قائمة النظريات الرياضية
• عدم المساواة في التركيز

• جوت، ألان وهولست لارس. كارل-جوستاف إيسين، تم استرجاعه في 15 مارس 2004.
• "متباينة بيري-إيسين"، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS ، 2001 [1994]