الانحراف

الانحراف${\displaystyle \gamma _{1}}$العزم المعياري الثالث لمتغير عشوائي X${\displaystyle {\tilde {\mu }}_{3}}$، كما هو مُعرَّف على النحو التالي: ^{[ 4 ] [ 5 ]}

$$\begin{aligned}\gamma_1:=\tilde\mu_3\equiv\frac\mu_3}{\sigma^3\\&=\operatorname\E\left[\left(\frac\X-\mu}{\sigma\right)^3\right]=\frac\E\left[(X-\mu)^3\right]}{\left(\operatorname\E\left[(X-\mu)^2\right]\right)^3/2}\\&=\frac\kappa_3}{\kappa_2^3/2}\\&$$ حيث μ هو المتوسط، وσ هو الانحراف المعياري ، _و E هو عامل التوقع ، _و μ₃ هو العزم المركزي الثالث ، و κᵗ هي العزوم التراكمية من الرتبة t . يُشار إليه أحيانًا بمعامل عزم بيرسون للالتواء ، ^{[ 5 ]} أو ببساطة معامل عزم الالتواء ، ^{[ 4 ]} ولكن يجب عدم الخلط بينه وبين إحصائيات الالتواء الأخرى لبيرسون (انظر أدناه). تُعبّر المساواة الأخيرة عن الالتواء بدلالة نسبة العزم التراكمي الثالث κ₃ إلى القوة 1.5 للعزم التراكمي الثاني κ₂ _. وهذا يُشابه تعريف التفرطح بأنه العزم التراكمي الرابع مُقسّمًا على مربع العزم التراكمي الثاني. يُرمز للالتواء أحيانًا بـ _Skew [ X ] .

إذا كانت σ محدودة و μ محدودة أيضًا، فيمكن التعبير عن الانحراف بدلالة العزم غير المركزي E[ X ³ ] عن طريق توسيع الصيغة السابقة: $$\begin{aligned}{\tilde {\mu }}_{3}&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{3}\right]\\&={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \operatorname {E} [X^{2}]+3\mu ^{2}\operatorname {E} [X]-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}\\&={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}.\end{aligned}}}$$

يمكن أن يكون الانحراف لانهائيًا، كما هو الحال عندما $${\displaystyle \Pr(X=x)={\begin{cases}x^{-2}&{\text{ لـ }}x>1,\\[2pt]0&{\text{ لـ }}x<1,\end{cases}}}$$ حيث تكون العزوم التراكمية الثالثة لانهائية، أو كما هو الحال عندما $${\displaystyle \Pr[X<x]={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(1-x)^{-3}&{\text{ for }}x<0,\\[2pt]{\frac {1}{2}}(1+x)^{-3}&{\text{ for }}x>0.\end{cases}}}$$ حيث يكون التراكم الثالث غير مُعرَّف.

تتضمن أمثلة التوزيعات ذات الانحراف المحدود ما يلي.

• التوزيع الطبيعي وأي توزيع متماثل آخر ذو عزم ثالث محدود يكون له معامل التواء يساوي صفرًا.
• يتميز التوزيع نصف الطبيعي بمعامل التواء أقل بقليل من 1
• يبلغ معامل الالتواء للتوزيع الأسي 2
• يمكن أن يكون للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي معامل انحراف بأي قيمة موجبة، وذلك اعتمادًا على معاييره.

بالنسبة لعينة من n قيمة، فإن اثنين من المقدرات الطبيعية لانحراف المجتمع هما ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle b_{1}={\frac {m_{3}}{s^{3}}}={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{3}}{\left[{\tfrac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}}$$

و

$${\displaystyle g_{1}={\frac {m_{3}}{m_{2}^{3/2}}}={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{3}}{\left[{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right]^{3/2}}},}$$

أين${\displaystyle {\bar {x}}}$يمثل متوسط ​​العينة ، _و s الانحراف المعياري للعينة ، و _m2 العزم المركزي الثاني (المتحيز) للعينة ، و m3 العزم المركزي الثالث (المتحيز) للعينة. ^{[ 6 ]}${\displaystyle g_{1}}$هو مقدر طريقة العزوم .

تعريف شائع آخر لانحراف العينة هو ^{[ 6 ] [ 7 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{1}&={\frac {k_{3}}{k_{2}^{3/2}}}={\frac {n^{2}}{(n-1)(n-2)}}\;b_{1}={\frac {\sqrt {n(n-1)}}{n-2}}\;g_{1},\\\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle k_{3}}$هو المُقدِّر المتناظر غير المتحيز الفريد للمعامل التراكمي الثالث و${\displaystyle k_{2}=s^{2}}$هو المُقدِّر المتناظر غير المتحيز للعزم التراكمي الثاني (أي تباين العينة ). هذا هو معامل العزم المعياري المعدل لفيشر-بيرسون${\displaystyle G_{1}}$وهي النسخة الموجودة في برنامج Excel والعديد من الحزم الإحصائية بما في ذلك Minitab و SAS و SPSS . ^{[ 7 ]}

بافتراض أن المتغير العشوائي الأساسي${\displaystyle X}$إذا كانت موزعة توزيعًا طبيعيًا، فيمكن إثبات أن جميع النسب الثلاث${\displaystyle b_{1}}$،${\displaystyle g_{1}}$و${\displaystyle G_{1}}$هي تقديرات غير متحيزة ومتسقة لانحراف التوزيع السكاني${\displaystyle \gamma _{1}=0}$، مع${\displaystyle {\sqrt {n}}b_{1}\mathrel {\xrightarrow {d} } N(0,6)}$أي أن توزيعاتها تتقارب إلى توزيع طبيعي بمتوسط ​​0 وتباين 6 ( فيشر ، 1930). ^{[ 6 ]} وبالتالي، فإن تباين التواء العينة يساوي تقريبًا${\displaystyle 6/n}$بالنسبة للعينات الكبيرة بما فيه الكفاية. وبشكل أدق، في عينة عشوائية بحجم n من توزيع طبيعي، ^{[ 8 ] [ 9 ]}

$${\displaystyle \operatorname {var} (G_{1})={\frac {6n(n-1)}{(n-2)(n+1)(n+3)}}.}$$

في العينات الطبيعية،${\displaystyle b_{1}}$يتميز بتباين أصغر من بين المقدرات الثلاثة، مع ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle \operatorname {var} (b_{1})<\operatorname {var} (g_{1})<\operatorname {var} (G_{1}).}$$

بالنسبة للتوزيعات غير الطبيعية،${\displaystyle b_{1}}$،${\displaystyle g_{1}}$و${\displaystyle G_{1}}$تعتبر هذه التقديرات عمومًا متحيزة لتقدير انحراف التوزيع السكاني${\displaystyle \gamma _{1}}$قد تكون قيمها المتوقعة معاكسة لإشارة الالتواء الحقيقي. على سبيل المثال، التوزيع المختلط المكون من توزيعات غاوسية رقيقة جدًا متمركزة عند -99 و0.5 و2 بأوزان 0.01 و0.66 و0.33 له التواء${\displaystyle \gamma _{1}}$حوالي -9.77، ولكن في عينة مكونة من 3${\displaystyle G_{1}}$تبلغ القيمة المتوقعة حوالي 0.32، حيث أن العينات الثلاث عادة ما تكون في الجزء ذي القيمة الموجبة من التوزيع، والذي يكون منحرفًا في الاتجاه الآخر.

يُعرَّف معامل التواء نمط بيرسون، ^{[ 11 ] أو معامل التواء الأول، على النحو التالي:}

يُعرَّف معامل التواء بيرسون الوسيطي، أو معامل التواء التوزيع الثاني، ^{[ 12 ] [ 13 ] على النحو التالي:}

وهو مضاعف بسيط للانحراف غير البارامتري .

يُعرَّف مقياس باولي للالتواء (من عام 1901)، ^{[ 14 ] [ 15 ]} والذي يُسمى أيضًا معامل يول (من عام 1912) ^{[ 16 ] [ 17 ] على النحو التالي:}$${\displaystyle {\frac {{\frac {Q(3/4)+Q(1/4)}{2}}-Q(1/2)}{\frac {Q(3/4)-Q(1/4)}{2}}}={\frac {Q(3/4)+Q(1/4)-2Q(1/2)}{Q(3/4)-Q(1/4)}},}$$ حيث Q هي دالة الكمية (أي معكوس دالة التوزيع التراكمي ). البسط هو الفرق بين متوسط ​​الربيعين العلوي والسفلي (مقياس للموقع) والوسيط (مقياس آخر للموقع)، بينما المقام هو نصف المدى الربيعي${\displaystyle {\frac {Q(3/4)-Q(1/4)}{2}}}$، وهو بالنسبة للتوزيعات المتماثلة يساوي مقياس التشتت MAD .

ومن الأسماء الأخرى لهذا المقياس مقياس جالتون للالتواء، ^{[ 18 ]} ومؤشر يول-كيندال ^{[ 19 ]} والالتواء الربيعي، ^{[ 20 ]}

وبالمثل، يتم تعريف مقياس كيلي للالتواء على النحو التالي ^{[ 21 ]}$${\displaystyle {\frac {Q(9/10)+Q(1/10)-2Q(1/2)}{Q(9/10)-Q(1/10)}}.}$$

تم وصف صيغة أكثر عمومية لدالة الانحراف بواسطة Groeneveld، RA و Meeden، G. (1984): ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}$${\displaystyle \gamma (u)={\frac {Q(u)+Q(1-u)-2Q(1/2)}{Q(u)-Q(1-u)}}}$$ الدالة γ ( u ) تحقق الشرط −1 ≤ γ ( u ) ≤ 1 ، وهي مُعرَّفة جيدًا دون الحاجة إلى وجود أي عزم للتوزيع. ^{[ 22 ]} مقياس باولي للالتواء هو γ ( u ) عند u = 3/4، بينما مقياس كيلي للالتواء هو γ ( u ) عند u = 9/10 . يؤدي هذا التعريف إلى مقياس عام مُناظر للالتواء ^{[ 23 ]} يُعرَّف بأنه القيمة العليا لهذا المقياس على المدى 1/2 ≤ u < 1. يمكن الحصول على مقياس آخر بتكامل بسط ومقام هذا التعبير. ^{[ 22 ]}

تبدو مقاييس الالتواء القائمة على الكميات سهلة التفسير للوهلة الأولى، لكنها غالبًا ما تُظهر تباينات أكبر بكثير في العينات مقارنةً بالطرق القائمة على العزوم. وهذا يعني أن العينات المأخوذة من توزيع متماثل (مثل التوزيع المنتظم) غالبًا ما يكون لها التواء كبير قائم على الكميات، وذلك بمحض الصدفة.

وقد اقترح غرونيفيلد وميدن، كمقياس بديل للانحراف، ^{[ 22 ]}

$${\displaystyle \operatorname {skew} (X)={\frac {\mu -\nu }{\operatorname {E} (|X-\nu |)}},}$$

حيث μ هو المتوسط، وν هو الوسيط، و| ... | هي القيمة المطلقة ، و E() هو عامل التوقع. وهذا يرتبط ارتباطًا وثيقًا في شكله بمعامل الالتواء الثاني لبيرسون .

يوفر استخدام العزوم-L بدلاً من العزوم مقياسًا للانحراف يُعرف باسم الانحراف-L. ^{[ 25 ]}

لا تعني قيمة الالتواء التي تساوي صفرًا أن التوزيع الاحتمالي متماثل. لذا، ثمة حاجة إلى مقياس آخر لعدم التماثل يتمتع بهذه الخاصية: وقد طُرح هذا المقياس في عام 2000. ^{[ 26 ]} يُسمى التواء المسافة ويُرمز له بـ dSkew . إذا كان X متغيرًا عشوائيًا يأخذ قيمًا في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد d ، فإن X له قيمة متوقعة محدودة، و X ' نسخة مستقلة ومتطابقة التوزيع من X ، و${\displaystyle \|\cdot \|}$إذا كان يرمز إلى المعيار في الفضاء الإقليدي، فإن مقياسًا بسيطًا لعدم التناظر بالنسبة لمعامل الموقع θ هو $${\displaystyle \operatorname {dSkew} (X):=1-{\frac {\operatorname {E} \|X-X'\|}{\operatorname {E} \|X+X'-2\theta \|}}{\text{ if }}\Pr(X=\theta )\neq 1}$$ ويكون dSkew( X )  := 0 عندما X = θ (باحتمالية 1). يكون انحراف المسافة دائمًا بين 0 و1، ويساوي 0 إذا وفقط إذا كان X متناظرًا قطريًا بالنسبة إلى θ ( أي أن X و 2 θ - X لهما نفس التوزيع الاحتمالي)، ويساوي 1 إذا وفقط إذا كان X ثابتًا c (${\displaystyle c\neq \theta }$) باحتمال واحد. ^{[ 27 ]} وبالتالي، يوجد اختبار إحصائي بسيط ومتسق للتناظر القطري يعتمد على انحراف مسافة العينة : $${\displaystyle \operatorname {dSkew} _{n}(X):=1-{\frac {\sum _{i,j}\|x_{i}-x_{j}\|}{\sum _{i,j}\|x_{i}+x_{j}-2\theta \|}}.}$$

يُعدّ medcouple مقياسًا قويًا وغير متأثر بالمقياس للانحراف، بنقطة انهيار تبلغ 25%. ^{[ 28 ]} وهو الوسيط لقيم دالة النواة $${\displaystyle h(x_{i},x_{j})={\frac {(x_{i}-x_{m})-(x_{m}-x_{j})}{x_{i}-x_{j}}}}$$ تم الاستحواذ على جميع الأزواج${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$بحيث${\displaystyle x_{i}\geq x_{m}\geq x_{j}}$، أين${\displaystyle x_{m}}$هو الوسيط للعينة${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}$ويمكن اعتباره الوسيط لجميع مقاييس التواء الكميات الممكنة.