ثابت (رياضيات)

في الرياضيات ، تحمل كلمة "ثابت" معاني متعددة. كصفة، تشير إلى عدم التغير (أي عدم التغير بالنسبة لقيمة أخرى )؛ أما كاسم، فلها معنيان مختلفان:

• عدد ثابت ومحدد بدقة ، أو أي كائن رياضي آخر غير متغير ، أو الرمز الذي يدل عليه. ^{[ 1 ] [ 2 ]} يُستخدم مصطلحا الثابت الرياضي والثابت الفيزيائي أحيانًا لتمييز هذا المعنى. ^{[ 3 ]}
• دالة لا تتغير قيمتها (أي دالة ثابتة ). ^{[ 4 ]} عادةً ما يتم تمثيل هذا الثابت بمتغير لا يعتمد على المتغير (المتغيرات) الرئيسي المعني .

على سبيل المثال، تُكتب الدالة التربيعية العامة عادةً على النحو التالي:${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$حيث a و b و c ثوابت ( معاملات أو معلمات)، و x متغير - عنصر نائب لوسيط الدالة قيد الدراسة. ويمكن التعبير عن هذه الدالة بشكل أكثر وضوحًا كما يلي: ${\displaystyle x\mapsto ax^{2}+bx+c}$وهذا يوضح حالة x كمعامل دالة (وبالتالي ثبات a و b و c ). في هذا المثال ، a و b و c هي معاملات كثيرة الحدود . ولأن c يظهر في حد لا يتضمن x ، يُسمى الحد الثابت لكثيرة الحدود، ويمكن اعتباره معامل x⁰ ^. وبشكل أعم، أي حد أو تعبير في كثير الحدود من الدرجة الصفرية (بدون متغير) هو ثابت. ^{[ 5 ] : 18}

يمكن استخدام الثابت لتعريف دالة ثابتة تتجاهل وسيطاتها وتعطي دائمًا نفس القيمة. ^{[ 6 ]} دالة ثابتة لمتغير واحد، مثل${\displaystyle f(x)=5}$، لها رسم بياني لخط أفقي موازٍ للمحور السيني . ^{[ 7 ]} تأخذ هذه الدالة دائمًا نفس القيمة (في هذه الحالة 5)، لأن المتغير لا يظهر في التعبير الذي يُعرّف الدالة.

يمكن ملاحظة الطبيعة المعتمدة على السياق لمفهوم "الثابت" في هذا المثال من حساب التفاضل والتكامل الابتدائي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}2^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {2^{x+h}-2^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}2^{x}{\frac {2^{h}-1}{h}}\\[8pt]&=2^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {2^{h}-1}{h}}&&{\text{بما أن }}x{\text{ ثابت (أي لا يعتمد على }}h{\text{)}}\\[8pt]&=2^{x}\cdot \mathbf {ثابت،} &&{\text{حيث ​​}}\mathbf {ثابت} {\text{ يعني لا يعتمد على }}x.\end{aligned}}}$

"الثابت" يعني عدم الاعتماد على متغير ما، وعدم التغير بتغير ذلك المتغير. في الحالة الأولى المذكورة أعلاه، يعني عدم الاعتماد على h ؛ وفي الحالة الثانية، يعني عدم الاعتماد على x . ويمكن اعتبار الثابت في سياق أضيق متغيرًا في سياق أوسع.  

تتكرر بعض القيم بشكل متكرر في الرياضيات، ويُرمز إليها عادةً برمز محدد. تُسمى هذه الرموز القياسية وقيمها بالثوابت الرياضية. ومن الأمثلة على ذلك:

• 0 ( صفر ).
• 1 ( واحد )، العدد الطبيعي الذي يلي الصفر.
• π ( pi )، الثابت الذي يمثل نسبة محيط الدائرة إلى قطرها، يساوي تقريبًا 3.141592653589793238462643. ^{[ 8 ]}
• e ، يساوي تقريبًا 2.718281828459045235360287. ^{[ 9 ]}
• i ، الوحدة التخيلية بحيث يكون i ² = −1 . ^{[ 10 ]}
• ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$( الجذر التربيعي لـ 2 )، وهو طول قطر مربع ذي أضلاع طولها وحدة واحدة، ويساوي تقريبًا 1.414213562373095048801688. ^{[ 11 ]}
• φ ( النسبة الذهبية )، تساوي تقريبًا 1.618033988749894848204586، أو جبريًا،${\displaystyle 1+{\sqrt {5}} \over 2}$[ ^{12 ]​}

في حساب التفاضل والتكامل، تُعامل الثوابت بطرق مختلفة تبعًا للعملية الحسابية. على سبيل المثال، مشتقة (معدل التغير) دالة ثابتة تساوي صفرًا. وذلك لأن الثوابت، بحكم تعريفها، لا تتغير. وبالتالي، فإن مشتقتها تساوي صفرًا.

وعلى العكس من ذلك، عند إجراء التكامل لدالة ثابتة، يتم ضرب الثابت في متغير التكامل.

أثناء تقييم النهاية ، يظل الثابت كما هو قبل التقييم وبعده.

غالبًا ما يتضمن تكامل دالة ذات متغير واحد ثابت تكامل . ويعود ذلك إلى أن التكامل هو معكوس المشتقة، مما يعني أن الهدف من التكامل هو استعادة الدالة الأصلية قبل التفاضل. مشتقة الدالة الثابتة تساوي صفرًا، كما ذُكر سابقًا، والمؤثر التفاضلي هو مؤثر خطي، لذا فإن الدوال التي تختلف فقط بحد ثابت لها نفس المشتقة. ولتوضيح ذلك، يُضاف ثابت تكامل إلى التكامل غير المحدد ؛ وهذا يضمن تضمين جميع الحلول الممكنة. يُكتب ثابت التكامل عادةً بالرمز 'c'، وهو يمثل ثابتًا بقيمة ثابتة ولكنها غير مُعرَّفة.

• ثابت (توضيح)
• تعبير
• مجموعة المستويات
• قائمة الثوابت الرياضية
• ثابت فيزيائي

• الوسائط المتعلقة بالثوابت في ويكيميديا ​​كومنز