التماثل الثنائي

في النظرية الرياضية للدوال ذات متغير واحد أو أكثر من المتغيرات المعقدة ، وكذلك في الهندسة الجبرية المعقدة ، فإن الدالة الثنائية الشكلية أو الدالة الثنائية الشكلية هي دالة شكلية تقابلية يكون معكوسها أيضًا شكليًا .

بصورة رسمية، الدالة ثنائية الشكل هي دالة${\displaystyle \phi }$معرفة على مجموعة فرعية مفتوحة U من${\displaystyle n}$فضاء عقدي ذو أبعاد C ⁿ بقيم في C ⁿ وهو فضاء تام الشكل وواحد لواحد ، بحيث تكون صورته مجموعة مفتوحة${\displaystyle V}$في C ⁿ والعكس${\displaystyle \phi ^{-1}:V\to U}$وهي أيضًا دالة تحليلية . وبشكل أعم، يمكن أن تكون U و V متعددات شعب عقدية . وكما هو الحال مع دوال المتغير العقدي الواحد، فإن الشرط الكافي لكي تكون الدالة التحليلية ثنائية التحليل على صورتها هو أن تكون الدالة حقنية، وفي هذه الحالة يكون معكوسها تحليليًا أيضًا. ^{[ 1 ]}

إذا كان هناك تماثل ثنائي${\displaystyle \phi \colon U\to V}$نقول أن U و V متكافئان ثنائيًا أو أنهما ثنائيا الشكل .

لو${\displaystyle n=1,}$كل مجموعة مفتوحة بسيطة الاتصال، باستثناء المستوى العقدي بأكمله، تكون ثنائية الشكل بالنسبة للقرص الواحدي (وهذه هي نظرية ريمان للتطبيقات ). يختلف الوضع تمامًا في الأبعاد الأعلى. على سبيل المثال، لا تكون الكرات المفتوحة ذات الوحدة والأقراص المتعددة المفتوحة ذات الوحدة متكافئة ثنائيًا بالنسبة لـ${\displaystyle n>1.}$في الواقع، لا توجد حتى دالة هولومورفية مناسبة من أحدهما إلى الآخر.

في حالة الدوال f  : U → C المعرفة على مجموعة جزئية مفتوحة U من المستوى العقدي C ، يُعرّف بعض المؤلفين ^{[ 2 ]} الدالة المطابقة بأنها دالة أحادية ذات مشتقة غير صفرية، أي f '( z ) ≠ 0 لكل z في U. ووفقًا لهذا التعريف، تكون الدالة f  : U → C مطابقة إذا وفقط إذا كانت f : U → f ( U ) ثنائية الشكل. تجدر الإشارة إلى أنه بحسب تعريف الدوال ثنائية الشكل، لا يُفترض أي شيء بخصوص مشتقاتها، لذا، يتضمن هذا التكافؤ الادعاء بأن التشاكل الموضعي القابل للتفاضل في الأعداد العقدية يجب أن يكون له مشتقة غير صفرية في كل مكان. بينما يُعرّف مؤلفون آخرون ^{[ 3 ]} الدالة المطابقة بأنها دالة ذات مشتقة غير صفرية، ولكن دون اشتراط أن تكون أحادية. ووفقًا لهذا التعريف الأضعف، لا يلزم أن تكون الدالة المطابقة ثنائية الشكل، حتى وإن كانت ثنائية الشكل محليًا، على سبيل المثال، بحسب نظرية الدالة العكسية. على سبيل المثال، إذا تم تعريف f : U → U بواسطة f ( z ) = z ² مع U = C –{0}، فإن f متطابقة على U ، لأن مشتقتها f '( z ) = 2 z ≠ 0، لكنها ليست ثنائية الشكل ، لأنها 2-1.