مجموعة مفتوحة

في علم الطوبولوجيا العامة والتحليل الرياضي ، تعتبر المجموعة المفتوحة تعميمًا لفترة مفتوحة في خط الأعداد الحقيقية .

في الفضاء المتري ( مجموعة ذات مسافة محددة بين كل نقطتين)، فإن المجموعة المفتوحة هي مجموعة تحتوي، مع كل نقطة P فيها، على جميع نقاط الفضاء المتري القريبة بما فيه الكفاية من P (أي جميع النقاط التي تكون المسافة بينها وبين P أقل من قيمة معينة تعتمد على P ).

بشكلٍ أعم، تُعرَّف المجموعة المفتوحة بأنها عنصرٌ من مجموعةٍ جزئيةٍ مُعطاةٍ من مجموعةٍ مُعطاة، وهي مجموعةٌ تتميز باحتوائها على كل اتحادٍ لعناصرها، وكل تقاطعٍ منتهٍ لعناصرها، والمجموعة الفارغة ، والمجموعة الكاملة نفسها. تُسمى المجموعة التي تحتوي على مثل هذه المجموعة فضاءً طوبولوجيًا ، وتُسمى المجموعة طوبولوجيا . هذه الشروط مرنةٌ للغاية، وتُتيح مرونةً هائلةً في اختيار المجموعات المفتوحة. على سبيل المثال، يُمكن أن تكون كل مجموعةٍ جزئيةٍ مفتوحةً ( الطوبولوجيا المنفصلة )، أو لا يُمكن أن تكون أي مجموعةٍ جزئيةٍ مفتوحةً باستثناء الفضاء نفسه والمجموعة الفارغة ( الطوبولوجيا غير المنفصلة ). ^{[ 1 ]}

لكن عمليًا، تُختار المجموعات المفتوحة عادةً لتوفير مفهوم للقرب مشابه لمفهوم الفضاءات المترية، دون تعريف مفهوم المسافة. وعلى وجه الخصوص، تسمح الطوبولوجيا بتعريف خصائص مثل الاستمرارية والترابط والتراص ، والتي كانت تُعرَّف في الأصل باستخدام المسافة.

أكثر حالات الطوبولوجيا شيوعًا التي لا تُعرَّف فيها المسافة هي حالة المتشعبات ، وهي فضاءات طوبولوجية تُشبه، بالقرب من كل نقطة، مجموعة مفتوحة في فضاء إقليدي ، ولكن لا تُعرَّف فيها المسافة بشكل عام. تُستخدم طوبولوجيات أقل وضوحًا في فروع أخرى من الرياضيات؛ على سبيل المثال، طوبولوجيا زاريسكي ، التي تُعدّ أساسية في الهندسة الجبرية ونظرية المخططات .

بشكل بديهي، توفر المجموعة المفتوحة طريقةً لتمييز نقطتين . على سبيل المثال، إذا وُجدت حول إحدى نقطتين في فضاء طوبولوجي مجموعة مفتوحة لا تحتوي على النقطة الأخرى (المميزة)، فإن النقطتين تُوصفان بأنهما قابلتان للتمييز طوبولوجيًا . وبهذه الطريقة، يمكن الحديث عما إذا كانت نقطتان، أو بشكل أعم مجموعتان جزئيتان ، من فضاء طوبولوجي "متقاربتين" دون تحديد مسافة محددة . لذلك، يمكن اعتبار الفضاءات الطوبولوجية تعميمًا للفضاءات المزودة بمفهوم المسافة، والتي تُسمى الفضاءات المترية .

في مجموعة الأعداد الحقيقية ، يوجد المقياس الإقليدي الطبيعي ؛ أي دالة تقيس المسافة بين عددين حقيقيين: d ( x , y ) = | x - y | . بالتالي، عند إعطاء عدد حقيقي x ، يمكننا الحديث عن مجموعة جميع النقاط القريبة من هذا العدد الحقيقي؛ أي ضمن نطاق ε من x . في جوهرها، تُقارب النقاط الواقعة ضمن نطاق ε من x قيمة x بدقة من الدرجة ε . لاحظ أن ε > 0 دائمًا، ولكن كلما صغرت قيمة ε ، نحصل على نقاط تُقارب قيمة x بدقة متزايدة. على سبيل المثال، إذا كانت x = 0 و ε = 1، فإن النقاط الواقعة ضمن نطاق ε من x هي تحديدًا نقاط الفترة ( -1، 1). أي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية بين -1 و1. مع ذلك، عندما تكون قيمة ε تساوي 0.5، فإن النقاط الواقعة ضمن نطاق ε من x هي تحديدًا النقاط (-0.5، 0.5). من الواضح أن هذه النقاط تُقارب قيمة x بدقة أكبر مما هي عليه عندما تكون ε تساوي 1.

تُظهر المناقشة السابقة، في حالة x = 0، أنه يُمكن تقريب قيمة x بدقة متزايدة بتعريف قيمة ε لتكون أصغر فأصغر. على وجه الخصوص، تُعطينا المجموعات من الشكل (− ε , ε ) معلوماتٍ وافرة عن النقاط القريبة من x = 0. وبالتالي، بدلاً من الحديث عن مقياس إقليدي مُحدد، يُمكن استخدام المجموعات لوصف النقاط القريبة من x . لهذه الفكرة المُبتكرة آثارٌ بعيدة المدى؛ فعلى وجه الخصوص، من خلال تعريف مجموعات مُختلفة من المجموعات التي تحتوي على 0 (مُختلفة عن المجموعات (− ε , ε ))، يُمكن التوصل إلى نتائج مُختلفة فيما يتعلق بالمسافة بين 0 والأعداد الحقيقية الأخرى. على سبيل المثال، إذا عرّفنا R على أنها المجموعة الوحيدة المُناسبة "لقياس المسافة"، فستكون جميع النقاط قريبة من 0، حيث لا توجد سوى درجة دقة واحدة يُمكن تحقيقها في تقريب 0: وهي أن تكون النقطة عضوًا في R. وهكذا، نجد أنه بمعنى ما، كل عدد حقيقي يبعد مسافة 0 عن 0. وقد يكون من المفيد في هذه الحالة التفكير في المقياس على أنه حالة ثنائية: جميع الأشياء في R قريبة بنفس القدر من 0، بينما أي عنصر ليس في R ليس قريبًا من 0.

بشكل عام، يُشار إلى مجموعة المجموعات التي تحتوي على الصفر، والمستخدمة لتقريب الصفر، باسم " قاعدة الجوار" ؛ ويُطلق على أي عنصر من عناصر قاعدة الجوار هذه اسم "المجموعة المفتوحة". في الواقع، يمكن تعميم هذه المفاهيم لتشمل أي مجموعة ( X )، وليس فقط الأعداد الحقيقية. في هذه الحالة، عند تحديد نقطة ( x ) من تلك المجموعة، يمكن تعريف مجموعة من المجموعات "حول" (أي التي تحتوي على) x ، والمستخدمة لتقريب x . بالطبع، يجب أن تستوفي هذه المجموعة خصائص معينة (تُعرف باسم البديهيات )، وإلا فلن يكون لدينا طريقة محددة جيدًا لقياس المسافة. على سبيل المثال، يجب أن تُقارب كل نقطة في X قيمة x بدرجة معينة من الدقة. وبالتالي، يجب أن تنتمي X إلى هذه المجموعة. بمجرد أن نبدأ في تعريف مجموعات "أصغر" تحتوي على x ، نميل إلى تقريب x بدرجة أكبر من الدقة. مع وضع ذلك في الاعتبار، يمكن تعريف البديهيات المتبقية التي يجب أن تستوفيها مجموعة المجموعات المحيطة بـ x .

تُقدَّم هنا عدة تعريفات، مرتبة تصاعدياً حسب درجة التخصص. كل تعريف منها حالة خاصة من التعريف الذي يليه.

اتحاد أي عدد من المجموعات المفتوحة، أو عدد لا نهائي منها، هو مجموعة مفتوحة. [ ^{4 ] تقاطع} عدد محدود من المجموعات المفتوحة هو مجموعة مفتوحة . ^{[ 4 ]}

تُسمى المجموعة المُكمِّلة لمجموعة مفتوحة (بالنسبة للفضاء الذي تُعرَّف عليه الطوبولوجيا) مجموعة مغلقة . قد تكون المجموعة مفتوحة ومغلقة في آنٍ واحد ( مجموعة مفتوحة مغلقة ). تُعدّ المجموعة الفارغة والفضاء الكامل مثالين على مجموعات مفتوحة ومغلقة في الوقت نفسه. ^{[ 5 ]}

لا يمكن اعتبار أي مجموعة مفتوحة بذاتها. هذا المفهوم نسبي لمجموعة تحتوي عليها وبنية طوبولوجية محددة عليها.

يعتمد كون المجموعة مفتوحة على البنية الطوبولوجية قيد الدراسة. ولأننا فضلنا الإيجاز على الوضوح ، فإننا نشير إلى المجموعة X بأنها مزودة ببنية طوبولوجية معينة.${\displaystyle \tau }$باعتبارها "الفضاء الطوبولوجي X " بدلاً من "الفضاء الطوبولوجي"${\displaystyle (X,\tau )}$"، على الرغم من حقيقة أن جميع البيانات الطوبولوجية موجودة في${\displaystyle \tau .}$إذا وُجدت بنيتان طوبولوجيتان على نفس المجموعة، فقد لا تكون المجموعة U المفتوحة في البنية الطوبولوجية الأولى مفتوحة في البنية الطوبولوجية الثانية. على سبيل المثال، إذا كان X أي فضاء طوبولوجي و Y أي مجموعة جزئية من X ، فيمكن إعطاء المجموعة Y بنيتها الطوبولوجية الخاصة (وتُسمى "بنية الفضاء الجزئي")، والتي تُعرَّف بأنها "مجموعة U مفتوحة في بنية الفضاء الجزئي على Y إذا وفقط إذا كانت U هي تقاطع Y مع مجموعة مفتوحة من البنية الطوبولوجية الأصلية على X ". ^{[ 6 ]} وهذا قد يُؤدي إلى ظهور مجموعات مفتوحة جديدة: إذا كانت V مفتوحة في البنية الطوبولوجية الأصلية على X ، ولكن${\displaystyle V\cap Y}$إذا لم يكن مفتوحًا في البنية الأصلية على X ،${\displaystyle V\cap Y}$مفتوح في طوبولوجيا الفضاء الفرعي على Y.

كمثال ملموس على ذلك، إذا عُرّفت المجموعة U بأنها مجموعة الأعداد النسبية في الفترة${\displaystyle (0,1),}$إذن ، U هي مجموعة جزئية مفتوحة من الأعداد النسبية ، ولكنها ليست من الأعداد الحقيقية . وذلك لأنه عندما تكون المجموعة المحيطة هي الأعداد النسبية، فإنه لكل نقطة x في U ، يوجد عدد موجب ε بحيث تكون جميع النقاط النسبية التي تقع على مسافة ε من x موجودة أيضًا في U. من ناحية أخرى، عندما تكون المجموعة المحيطة هي الأعداد الحقيقية، فإنه لكل نقطة x في U ، لا يوجد عدد موجب ε بحيث تكون جميع النقاط الحقيقية التي تقع على مسافة ε من x موجودة في U (لأن U لا تحتوي على أعداد غير نسبية).

تُعدّ المجموعات المفتوحة ذات أهمية أساسية في علم الطوبولوجيا . ويُعدّ هذا المفهوم ضرورياً لتحديد وفهم الفضاء الطوبولوجي وغيره من البنى الطوبولوجية التي تتعامل مع مفاهيم التقارب والتقارب في فضاءات مثل الفضاءات المترية والفضاءات المنتظمة .

تحتوي كل مجموعة جزئية A من فضاء طوبولوجي X على مجموعة مفتوحة (قد تكون فارغة)؛ وتسمى أكبر مجموعة مفتوحة (مرتبة تحت الاحتواء) من هذا النوع باطن A. ويمكن إنشاؤها بأخذ اتحاد جميع المجموعات المفتوحة الموجودة في A. ^{[ 7 ]}

وظيفة​${\displaystyle f:X\to Y}$بين فضاءين طوبولوجيين${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$تكون متصلة إذا كانت الصورة العكسية لكل مجموعة مفتوحة في${\displaystyle Y}$مفتوح في${\displaystyle X.}$^{[ 8 ]} الوظيفة${\displaystyle f:X\to Y}$تُسمى المجموعة مفتوحة إذا كانت صورة كل مجموعة مفتوحة في${\displaystyle X}$مفتوح في${\displaystyle Y.}$

تتميز المجموعة المفتوحة على خط الأعداد الحقيقية بخاصية مميزة وهي أنها اتحاد قابل للعد لفترات مفتوحة منفصلة.

طَوَال،${\displaystyle (X,\tau )}$سيكون فضاءً طوبولوجيًا.

مجموعة فرعية${\displaystyle A\subseteq X}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم:

• α-مفتوح إذا${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)\right)}$والمكملة لمثل هذه المجموعة تسمى مجموعة مغلقة من النوع α . ^{[ 9 ]}
• مفتوح جزئياً ، أو شبه مفتوح ، أو كثيف محلياً إذا استوفى أيًا من الشروط المكافئة التالية:
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right).}$^{[ 10 ]}
  2. توجد مجموعات فرعية${\displaystyle D,U\subseteq X}$بحيث${\displaystyle U}$مفتوح في${\displaystyle X,}$${\displaystyle D}$هي مجموعة فرعية كثيفة من${\displaystyle X,}$و${\displaystyle A=U\cap D.}$^{[ 10 ]}
  3. يوجد مكان مفتوح (في${\displaystyle X}$مجموعة فرعية${\displaystyle U\subseteq X}$بحيث${\displaystyle A}$هي مجموعة فرعية كثيفة من${\displaystyle U.}$^{[ 10 ]}

  تُسمى متممة المجموعة المفتوحة مسبقًا بالمجموعة المغلقة مسبقًا .

• b-open if${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\cup ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$. يُطلق على متمم المجموعة المفتوحة من النوع b اسم المجموعة المغلقة من النوع b . ^{[ 9 ]}
• يكون مفتوحًا من النوع بيتا أو شبه مفتوح مسبقًا إذا استوفى أيًا من الشروط المكافئة التالية:
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\right)}$^{[ 9 ]}
  2. ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$هي مجموعة فرعية منتظمة مغلقة من${\displaystyle X.}$^{[ 10 ]}
  3. توجد مجموعة فرعية مفتوحة مسبقًا${\displaystyle U}$ل${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle U\subseteq A\subseteq \operatorname {cl} _{X}U.}$^{[ 10 ]}

  تُسمى متممة المجموعة المفتوحة من النوع β بالمجموعة المغلقة من النوع β .

• يتم فتحها بالتتابع إذا استوفت أيًا من الشروط المكافئة التالية:
  1. كلما حدث تسلسل في${\displaystyle X}$يتقارب إلى نقطة ما من${\displaystyle A,}$ثم يكون هذا التسلسل في النهاية${\displaystyle A.}$وهذا يعني صراحةً أنه إذا${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$هو تسلسل في${\displaystyle X}$وإذا كان هناك بعض${\displaystyle a\in A}$بحيث${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$في${\displaystyle (X,\tau ),}$ثم${\displaystyle x_{\bullet }}$في نهاية المطاف${\displaystyle A}$(أي، يوجد عدد صحيح ما)${\displaystyle i}$بحيث إذا${\displaystyle j\geq i,}$ثم${\displaystyle x_{j}\in A}$).
  2. ${\displaystyle A}$يساوي ترتيبه الداخلي المتسلسل في${\displaystyle X,}$وهي بحكم تعريفها المجموعة

     ${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqInt} _{X}A:&=\{a\in A~:~{\text{ whenever a sequence in }}X{\text{ converges to }}a{\text{ in }}(X,\tau ),{\text{ then that sequence is eventually in }}A\}\\&=\{a\in A~:~{\text{ there does NOT exist a sequence in }}X\setminus A{\text{ that converges in }}(X,\tau ){\text{ to a point in }}A\}\\\end{alignedat}}}$

  تُسمى متممة المجموعة المفتوحة بالتتابع مجموعة مغلقة بالتتابع .${\displaystyle S\subseteq X}$يتم إغلاقها بالتتابع في${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle S}$يساوي إغلاقه التسلسلي ، والذي هو بحكم التعريف المجموعة${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}S}$يتألف من جميع${\displaystyle x\in X}$والتي يوجد لها متتالية في${\displaystyle S}$ذلك يتقارب إلى${\displaystyle x}$(في${\displaystyle X}$).

• شبه مفتوحة، ويُقال إنها تتمتع بخاصية باير إذا وُجدت مجموعة جزئية مفتوحة.${\displaystyle U\subseteq X}$بحيث${\displaystyle A\bigtriangleup U}$هي مجموعة جزئية ضئيلة ، حيث${\displaystyle \bigtriangleup }$يشير إلى الفرق المتناظر . ^{[ 11 ]}
  • المجموعة الفرعية${\displaystyle A\subseteq X}$يقال إن المجموعة تمتلك خاصية باير بالمعنى المحدود إذا كان لكل مجموعة جزئية${\displaystyle E}$ل${\displaystyle X}$التقاطع${\displaystyle A\cap E}$يمتلك خاصية باير بالنسبة إلى${\displaystyle E}$[ ^{12 ]​}
• شبه مفتوح إذا${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$أو، على نحو مماثل،${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$المكمل في${\displaystyle X}$تُسمى المجموعة شبه المفتوحة مجموعة شبه مغلقة . ^{[ 13 ]}
  • شبه الإغلاق (في${\displaystyle X}$) من مجموعة جزئية${\displaystyle A\subseteq X,}$يرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {sCl} _{X}A,}$هو تقاطع جميع المجموعات الفرعية شبه المغلقة من${\displaystyle X}$التي تحتوي${\displaystyle A}$كمجموعة فرعية. ^{[ 13 ]}
• شبه مفتوح من نوع θ إذا كان لكل${\displaystyle x\in A}$توجد مجموعة جزئية شبه مفتوحة${\displaystyle U}$ل${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle x\in U\subseteq \operatorname {sCl} _{X}U\subseteq A.}$^{[ 13 ]}
• تكون الدائرة مفتوحة من النوع θ (أو من النوع δ ) إذا كان مكملها في${\displaystyle X}$هي مجموعة مغلقة من النوع θ (أو δ )، حيث تكون، بحسب التعريف، مجموعة جزئية من${\displaystyle X}$تُسمى النقطة θ-مغلقة (أو δ-مغلقة ) إذا كانت مساوية لمجموعة جميع نقاطها العنقودية θ (أو δ-مغلقة).${\displaystyle x\in X}$تُسمى نقطة عنقودية من نوع θ (أو نقطة عنقودية من نوع δ ) لمجموعة جزئية${\displaystyle B\subseteq X}$إذا كان لكل حي مفتوح${\displaystyle U}$ل${\displaystyle x}$في${\displaystyle X,}$التقاطع${\displaystyle B\cap \operatorname {cl} _{X}U}$ليس فارغًا (على التوالي).${\displaystyle B\cap \operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}U\right)}$(ليس فارغًا). ^{[ 13 ]}

باستخدام حقيقة أن

${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}B}$    و    ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}B~\subseteq ~B}$

كلما كان هناك مجموعتان جزئيتان${\displaystyle A,B\subseteq X}$مُرضٍ${\displaystyle A\subseteq B,}$يمكن استنتاج ما يلي:

• كل مجموعة فرعية مفتوحة من النوع α هي مجموعة شبه مفتوحة، ومجموعة شبه مفتوحة مسبقًا، ومجموعة مفتوحة مسبقًا، ومجموعة مفتوحة من النوع b.
• كل مجموعة مفتوحة من النوع b هي مجموعة شبه مفتوحة مسبقًا (أي مفتوحة من النوع β).
• كل مجموعة ما قبل الفتح تكون مفتوحة جزئياً وشبه مفتوحة جزئياً.
• كل مجموعة شبه مفتوحة تكون مفتوحة من النوع b وشبه مفتوحة مسبقًا.

علاوة على ذلك، تكون المجموعة الجزئية مجموعة مفتوحة منتظمة إذا وفقط إذا كانت شبه مفتوحة وشبه مغلقة. ^{[ 10 ]} تقاطع مجموعة مفتوحة من النوع α مع مجموعة شبه شبه مفتوحة (أو شبه مفتوحة، أو مفتوحة مسبقًا، أو مفتوحة من النوع b) هو مجموعة شبه مفتوحة (أو شبه مفتوحة، أو مفتوحة مسبقًا، أو مفتوحة من النوع b). ^{[ 10 ]} لا يشترط أن تكون المجموعات المفتوحة مسبقًا شبه مفتوحة، ولا يشترط أن تكون المجموعات شبه المفتوحة مفتوحة مسبقًا. ^{[ 10 ]}

الاتحادات العشوائية للمجموعات شبه المفتوحة (أو α-المفتوحة، أو b-المفتوحة، أو شبه المفتوحة) هي مجموعات شبه مفتوحة (أو α-المفتوحة، أو b-المفتوحة، أو شبه المفتوحة). ^{[ 10 ]} مع ذلك، لا يشترط أن تكون التقاطعات المحدودة للمجموعات شبه المفتوحة مجموعات شبه مفتوحة. ^{[ 13 ]} مجموعة جميع المجموعات الجزئية α-المفتوحة من فضاء ما${\displaystyle (X,\tau )}$يشكل بنية طوبولوجية على${\displaystyle X}$هذا أدق من${\displaystyle \tau .}$^{[ 9 ]}

فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$تكون فضاءات هاوسدورف إذا وفقط إذا كان كل فضاء جزئي مضغوط من${\displaystyle X}$هو مغلق من النوع θ. ^{[ 13 ]} فضاء${\displaystyle X}$تكون الفضاءات منفصلة تمامًا إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة جزئية مغلقة منتظمة مفتوحة جزئيًا، أو بصورة مكافئة، إذا كانت كل مجموعة جزئية شبه مفتوحة مفتوحة جزئيًا. علاوة على ذلك، تكون الفضاءات منفصلة تمامًا إذا وفقط إذا كان إغلاق كل مجموعة جزئية مفتوحة جزئيًا مفتوحًا. ^{[ 9 ]}

• خريطة شبه مفتوحة - خريطة تستوفي شرطًا مشابهًا لشرط كونها خريطة مفتوحة 
• الأساس (الطوبولوجيا) - مجموعة من المجموعات المفتوحة المستخدمة لتعريف الطوبولوجيا 
• مجموعة مفتوحة ومغلقة في آن واحد – مجموعة فرعية تكون مفتوحة ومغلقة في آن واحد 
• المجموعة المغلقة – متممة مجموعة جزئية مفتوحة 
• المجال (التحليل الرياضي) - مجموعة فرعية مفتوحة متصلة من فضاء طوبولوجي 
• التشاكل الموضعي – دالة رياضية قابلة للانعكاس بالقرب من كل نقطة 
• خريطة مفتوحة – وظائف تُرسل مجموعات فرعية مفتوحة (أو مغلقة) إلى مجموعات فرعية مفتوحة (أو مغلقة). صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• القاعدة الفرعية - مجموعة من المجموعات الفرعية التي تولد بنية طوبولوجية 

• هارت، كلاس (2004). موسوعة الطوبولوجيا العامة . أمستردام - بوسطن: إلسيفير/نورث هولاند. ISBN 0-444-50355-2. OCLC 162131277 . 
• هارت، كلاس بيتر. ناجاتا، جون إيتي؛ فوغان، جيري إي. (2004). موسوعة الطوبولوجيا العامة . إلسفير. رقم ISBN 978-0-444-50355-8.
• مونكرز، جيمس ر. (2000). الطوبولوجيا (  الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي : برنتيس هول، إنك . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 . ( متاح للزبائن ذوي الإعاقات البصرية )

• "المجموعة المفتوحة" . موسوعة الرياضيات . مطبعة EMS . 2001 [1994].