قرص الوحدة

في الرياضيات ، القرص الوحدوي المفتوح (أو القرص ) حول P (حيث P هي نقطة معينة في المستوى )، هو مجموعة النقاط التي تكون المسافة من P أقل من 1:

${\displaystyle D_{1}(P)=\{Q:\vert PQ\vert <1\}.\,}$

القرص الوحدوي المغلق حول P هو مجموعة النقاط التي تكون المسافة من P أقل من أو تساوي واحدًا:

${\displaystyle {\bar {D}}_{1}(P)=\{Q:|PQ|\leq 1\}.\,}$

الأقراص الوحدوية هي حالات خاصة من الأقراص والكرات الوحدوية ؛ وعلى هذا النحو، فإنها تحتوي على الجزء الداخلي من دائرة الوحدة ، وفي حالة قرص الوحدة المغلق، تحتوي على دائرة الوحدة نفسها.

بدون مزيد من المواصفات، يُستخدم مصطلح قرص الوحدة للقرص الوحدوي المفتوح حول الأصل ، ، فيما يتعلق بالمقياس الإقليدي القياسي . إنه الجزء الداخلي من دائرة نصف قطرها 1، ومركزها الأصل. يمكن التعرف على هذه المجموعة بمجموعة جميع الأعداد المركبة ذات القيمة المطلقة الأقل من واحد. عند النظر إليها كمجموعة فرعية من المستوى المركب ( C )، غالبًا ما يُشار إلى قرص الوحدة بـ . ${\displaystyle D_{1}(0)}$${\displaystyle \mathbb {D} }$

الوظيفة

${\displaystyle f(z)={\frac {z}{1-|z|^{2}}}}$

هو مثال لدالة تحليلية وثنائية حقيقية من قرص الوحدة المفتوح إلى المستوى؛ ودالتها العكسية تحليلية أيضًا. وباعتباره متعدد شعب تحليلي حقيقي ثنائي الأبعاد، فإن قرص الوحدة المفتوح متماثل الشكل بالنسبة للمستوى بأكمله. وعلى وجه الخصوص، فإن قرص الوحدة المفتوح متماثل الشكل بالنسبة للمستوى بأكمله.

ومع ذلك، لا توجد خريطة مطابقة ثنائية بين قرص الوحدة المفتوح والمستوى. وباعتباره سطح ريمان ، فإن قرص الوحدة المفتوح يختلف عن المستوى المركب .

توجد خرائط ثنائية مطابقة بين قرص الوحدة المفتوح ونصف المستوى العلوي المفتوح . وبالتالي، إذا اعتبرنا قرص الوحدة المفتوح سطح ريمان، فإنه يكون متماثلًا ("ثنائي الشكل"، أو "مكافئًا مطابقًا") مع نصف المستوى العلوي، وغالبًا ما يتم استخدام الاثنين بالتبادل.

بشكل عام أكثر، تنص نظرية رسم الخرائط لريمان على أن كل مجموعة فرعية مفتوحة متصلة ببساطة من المستوى المركب والتي تختلف عن المستوى المركب نفسه تسمح بخريطة مطابقة وثنائية لقرص الوحدة المفتوحة.

إحدى الخرائط المطابقة الثنائية من قرص الوحدة المفتوح إلى نصف المستوى العلوي المفتوح هي تحويل موبيوس

${\displaystyle g(z)=i{\frac {1+z}{1-z}}}$   وهو معكوس تحويل كايلي .

من الناحية الهندسية، يمكن للمرء أن يتخيل المحور الحقيقي منحنيًا ومتقلصًا بحيث يصبح نصف المستوى العلوي هو الجزء الداخلي للقرص ويشكل المحور الحقيقي محيط القرص، باستثناء نقطة واحدة في الأعلى، "النقطة عند اللانهاية". يمكن أيضًا إنشاء خريطة مطابقة ثنائية الاتجاه من قرص الوحدة المفتوح إلى نصف المستوى العلوي المفتوح كتركيبة لإسقاطين مجسمين : أولاً، يتم إسقاط قرص الوحدة مجسمًا لأعلى على نصف الكرة العلوي الوحدوي، مع أخذ "القطب الجنوبي" للكرة الوحدوية كمركز إسقاط، ثم يتم إسقاط نصف الكرة هذا جانبيًا على نصف مستوى رأسي يلامس الكرة، مع أخذ النقطة على نصف الكرة المقابلة لنقطة اللمس كمركز إسقاط.

لا يمكن استخدام القرص الوحدوي والنصف العلوي من المستوى كمجالات متبادلة لمساحات هاردي . يساهم في هذا الاختلاف حقيقة أن الدائرة الوحدوية لها مقياس ليبيج محدود (أحادي البعد) بينما لا يمتلك الخط الحقيقي هذا القياس.

يشكل قرص الوحدة المفتوح مجموعة النقاط لنموذج قرص بوانكاريه للمستوى الزائدي. تشكل الأقواس الدائرية العمودية على دائرة الوحدة "الخطوط" في هذا النموذج. دائرة الوحدة هي القيمة المطلقة لكايلي التي تحدد مقياسًا على القرص من خلال استخدام النسبة المتقاطعة على غرار مقياس كايلي-كلاين . في لغة الهندسة التفاضلية، فإن الأقواس الدائرية العمودية على دائرة الوحدة هي خطوط جيوديسية تُظهر أقصر مسافة بين النقاط في النموذج. يتضمن النموذج حركات يتم التعبير عنها بواسطة المجموعة الوحدوية الخاصة SU(1,1) . يمكن تحويل نموذج القرص إلى نموذج نصف المستوى لبوانكاريه من خلال التعيين g الموضح أعلاه.

كل من قرص بوانكاريه ونصف مستوى بوانكاريه عبارة عن نماذج مطابقة للمستوى الزائدي، وهذا يعني أن الزوايا بين المنحنيات المتقاطعة محفوظة عن طريق حركات مجموعات التساوي في القياس الخاصة بها.

تم بناء نموذج آخر للفضاء الزائدي أيضًا على قرص الوحدة المفتوحة: نموذج بلترامي-كلاين . إنه ليس متوافقًا ، ولكنه يتمتع بخاصية أن الخطوط الجيوديسية عبارة عن خطوط مستقيمة.

كما يمكن أيضًا النظر إلى أقراص الوحدات فيما يتعلق بمقاييس أخرى . على سبيل المثال، مع مقياس سيارة الأجرة ومقياس تشيبيشيف، تبدو الأقراص وكأنها مربعات (على الرغم من أن الطوبولوجيات الأساسية هي نفسها الطوبولوجيا الإقليدية).

مساحة قرص الوحدة الإقليدية هي π ومحيطه هو 2π . وعلى النقيض من ذلك، فإن محيط (نسبة إلى مقياس سيارة الأجرة) لقرص الوحدة في هندسة سيارة الأجرة هو 8. في عام 1932، أثبت ستانيسلاف جولاب أنه في المقاييس الناشئة عن معيار ، يمكن لمحيط قرص الوحدة أن يأخذ أي قيمة بين 6 و8، وأن هذه القيم المتطرفة يتم الحصول عليها إذا وفقط إذا كان قرص الوحدة مسدسًا منتظمًا أو متوازي أضلاع ، على التوالي.

• رسم بياني لوحدة القرص
• وحدة المجال
• نظرية دي برانجيس

• S. Golab، "Quelques problèmes métriques de la géometrie de Minkowski"، Trav. دي لاكاد. مناجم كراكوفي 6 (1932)، 179.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "قرص الوحدة". MathWorld .
• حول محيط ومساحة القرص الوحدوي، بقلم جيه سي ألفاريز بافيا وأيه سي تومسون