نظرية ريمان للتحويل

نظرية. بالنسبة لمجال مفتوح${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$الشروط التالية متكافئة: ^{[ 10 ]}

1. ${\displaystyle G}$متصل ببساطة؛
2. تكامل كل دالة هولومورفية${\displaystyle f}$حول منحنى مغلق أملس متقطع في${\displaystyle G}$يختفي؛
3. كل دالة هولومورفية في${\displaystyle G}$هي مشتقة دالة هولومورفية؛
4. كل دالة هولومورفية لا تتلاشى في أي مكان${\displaystyle f}$على${\displaystyle G}$له لوغاريتم هولومورفي؛
5. كل دالة هولومورفية لا تتلاشى في أي مكان${\displaystyle g}$على${\displaystyle G}$له جذر تربيعي هولومورفي؛
6. لأي${\displaystyle w\notin G}$، رقم اللف${\displaystyle w}$لأي منحنى مغلق أملس جزئيًا في${\displaystyle G}$يكون${\displaystyle 0}$؛
7. مكمل لـ${\displaystyle G}$في المستوى المركب الممتد${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$متصل.

(1) ⇒ (2) لأن أي منحنى مغلق متصل، بنقطة أساس${\displaystyle a\in G}$، ويمكن تشويهها باستمرار إلى منحنى ثابت${\displaystyle a}$إذن، التكامل الخطي لـ${\displaystyle f\,\mathrm {d} z}$فوق المنحنى هو${\displaystyle 0}$.

(2) ⇒ (3) لأن التكامل على أي مسار أملس جزئيًا${\displaystyle \gamma }$من${\displaystyle a}$ل${\displaystyle z}$يمكن استخدامها لتعريف عنصر أساسي.

(3) ⇒ (4) عن طريق التكامل${\displaystyle f^{-1}\,\mathrm {d} f/\mathrm {d} z}$على امتداد${\displaystyle \gamma }$من${\displaystyle a}$ل${\displaystyle x}$لإعطاء فرع من اللوغاريتم.

(4) ⇒ (5) بأخذ الجذر التربيعي لـ${\displaystyle g(z)=\exp(f(x)/2)}$أين${\displaystyle f}$هو اختيار هولومورفي للوغاريتم.

(5) ⇒ (6) لأنه إذا${\displaystyle \gamma }$هو منحنى مغلق جزئياً و${\displaystyle f_{n}}$هي الجذور التربيعية المتتالية لـ${\displaystyle zw}$ل${\displaystyle w}$الخارج${\displaystyle G}$ثم عدد اللفات لـ${\displaystyle \gamma }$عن${\displaystyle w}$يكون${\displaystyle 2^{n}}$مضروبًا في عدد اللفات${\displaystyle f_{n}\circ \gamma }$عن${\displaystyle 0}$ومن ثم عدد اللفات لـ${\displaystyle \gamma }$عن${\displaystyle w}$يجب أن يكون قابلاً للقسمة على${\displaystyle 2^{n}}$للجميع${\displaystyle n}$لذلك يجب أن يساوي${\displaystyle 0}$.

(6) ⇒ (7) وإلا فإن المستوى الممتد${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}\setminus G}$يمكن كتابتها كاتحاد منفصل لمجموعتين مفتوحتين ومغلقتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$مع${\displaystyle \infty \in B}$و${\displaystyle A}$محدودة. ليكن${\displaystyle \delta >0}$ليكن أقصر مسافة إقليدية بين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$وقم ببناء شبكة مربعة على${\displaystyle \mathbb {C} }$مع الطول${\displaystyle \delta /4}$بنقطة${\displaystyle a}$ل${\displaystyle A}$في مركز مربع. ليكن${\displaystyle C}$لتكن المجموعة المدمجة لاتحاد جميع المربعات ذات المسافة${\displaystyle \leq \delta /4}$من${\displaystyle A}$. ثم${\displaystyle C\cap B=\varnothing }$و${\displaystyle \partial C}$لا يفي بالمعايير${\displaystyle A}$أو${\displaystyle B}$يتكون من عدد محدود من القطع الأفقية والرأسية في${\displaystyle G}$تشكيل عدد محدود من المسارات المستطيلة المغلقة${\displaystyle \gamma _{j}\in G}$أخذ${\displaystyle C_{i}}$أن تكون جميع المربعات التي تغطي${\displaystyle A}$، ثم${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{\partial C}\mathrm {d} \mathrm {arg} (z-a)}$يساوي مجموع أرقام اللف لـ${\displaystyle C_{i}}$ زيادة${\displaystyle a}$وبالتالي إعطاء${\displaystyle 1}$من ناحية أخرى، فإن مجموع أرقام اللف لـ${\displaystyle \gamma _{j}}$عن${\displaystyle a}$يساوي${\displaystyle 1}$وبالتالي، فإن عدد لفات واحد على الأقل من${\displaystyle \gamma _{j}}$عن${\displaystyle a}$ليس صفراً.

(7) ⇒ (1) هذه حجة طوبولوجية بحتة. ليكن${\displaystyle \gamma }$لتكن منحنى مغلقًا أملسًا على أجزاء، قائمًا على${\displaystyle z_{0}\in G}$. بالتقريب، γ تنتمي إلى نفس فئة التماثل مثل مسار مستطيل على شبكة مربعة طولها${\displaystyle \delta >0}$مقرها في${\displaystyle z_{0}}$يتم تحديد هذا المسار المستطيل من خلال سلسلة من${\displaystyle N}$جوانب رأسية وأفقية متتالية موجهة. بالحث على${\displaystyle N}$يمكن تحويل هذا المسار إلى مسار ثابت عند زاوية الشبكة. إذا تقاطع المسار عند نقطة${\displaystyle z_{1}}$ثم ينقسم إلى مسارين مستطيلين طولهما${\displaystyle <N}$وبالتالي يمكن تشويهها إلى المسار الثابت عند${\displaystyle z_{1}}$باستخدام فرضية الاستقراء والخصائص الأولية للمجموعة الأساسية . ويتبع هذا الاستدلال "حجة الشمال الشرقي": ^{[ 11 ] [ 12 ]} في المسار غير المتقاطع ذاتيًا، ستكون هناك زاوية${\displaystyle z_{0}}$بأكبر جزء حقيقي (شرقي)، ثم من بين هؤلاء، بأكبر جزء تخيلي (شمالي). وإذا لزم الأمر، يمكن عكس الاتجاه، حيث يسير المسار من${\displaystyle z_{0}-\delta }$ل${\displaystyle z_{0}}$ثم إلى${\displaystyle w_{0}=z_{0}-in\delta }$ل${\displaystyle n\geq 1}$ثم يتجه يسارًا إلى${\displaystyle w_{0}-\delta }$. يترك${\displaystyle R}$ليكن المستطيل المفتوح ذو هذه الرؤوس. عدد لفات المسار هو${\displaystyle 0}$بالنسبة للنقاط الواقعة على يمين القطعة الرأسية من${\displaystyle z_{0}}$ل${\displaystyle w_{0}}$و${\displaystyle -1}$بالنسبة للنقاط الموجودة على اليمين؛ وبالتالي في الداخل${\displaystyle R}$بما أن رقم اللف هو${\displaystyle 0}$عن${\displaystyle G}$،${\displaystyle R}$يكمن في${\displaystyle G}$. لو${\displaystyle z}$هي نقطة على الطريق، يجب أن تقع في${\displaystyle G}$؛ لو${\displaystyle z}$هو على${\displaystyle \partial R}$لكن ليس على المسار، فبحسب الاستمرارية يكون عدد لفات المسار حوالي${\displaystyle z}$يكون${\displaystyle -1}$، لذا${\displaystyle z}$يجب أن يكمن أيضًا في${\displaystyle G}$. لذلك${\displaystyle R\cup \partial R\subset G}$ولكن في هذه الحالة يمكن تشويه المسار عن طريق استبدال الجوانب الثلاثة للمستطيل بالجانب الرابع، مما ينتج عنه جانبان أقل (مع السماح بالتقاطعات الذاتية).

• نظرية تقارب فايرشتراس. النهاية المنتظمة على المجموعات المدمجة لمتتالية من الدوال التحليلية هي دالة تحليلية؛ وبالمثل بالنسبة للمشتقات.

هذه نتيجة مباشرة لنظرية موريرا للعبارة الأولى. تعطي صيغة كوشي التكاملية صيغة للمشتقات يمكن استخدامها للتحقق من أن المشتقات تتقارب بانتظام على المجموعات المدمجة. ^{[ 13 ]}

• تنص نظرية هورويتز على أنه إذا كانت متتالية من الدوال التحليلية غير الصفرية على مجال مفتوح لها نهاية منتظمة على المجالات المدمجة، فإن النهاية إما تساوي صفرًا تمامًا أو لا تتلاشى في أي مكان. أما إذا كانت متتالية من الدوال التحليلية أحادية القيمة على مجال مفتوح لها نهاية منتظمة على المجالات المدمجة، فإن النهاية إما ثابتة أو أحادية القيمة.

إذا كانت دالة النهاية غير صفرية، فيجب عزل أصفارها. ويمكن عدّ الأصفار ذات التكرارات حسب رقم اللف.${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)\right)^{-1}g'(z)\mathrm {d} z}$لدالة هولومورفية${\displaystyle g}$وبالتالي، فإن أعداد اللف متصلة تحت حدود منتظمة، بحيث إذا لم يكن لكل دالة في المتتالية أصفار، فلا يمكن أن يكون للنهاية أصفار. بالنسبة للعبارة الثانية، افترض أن${\displaystyle f(a)=f(b)}$وضبط${\displaystyle g_{n}(z)=f_{n}(z)-f_{n}(a)}$هذه البيانات لا تختفي من القرص، ولكن${\displaystyle g(z)=f(z)-f(a)}$يختفي عند${\displaystyle b}$، لذا${\displaystyle g}$يجب أن تختفي بنفس الطريقة. ^{[ 14 ]}

التعريفات. عائلة${\displaystyle {\cal {F}}}$يُقال إن مجموعة الدوال التحليلية على مجال مفتوح طبيعية إذا كانت أي متتالية من الدوال في${\displaystyle {\cal {F}}}$تحتوي على متتالية جزئية تتقارب إلى دالة تامة الشكل بانتظام على المجموعات المدمجة. عائلة${\displaystyle {\cal {F}}}$تكون المتتالية مضغوطة إذا كان كلما كانت متتالية${\displaystyle f_{n}}$يكمن في${\displaystyle {\cal {F}}}$ويتقارب بانتظام إلى${\displaystyle f}$على كومباكتا، ثم${\displaystyle f}$كما يقع في${\displaystyle {\cal {F}}}$عائلة${\displaystyle {\cal {F}}}$يُقال إن المجموعة محدودة محليًا إذا كانت دوالها محدودة بشكل منتظم على كل قرص مضغوط. وباشتقاق صيغة كوشي التكاملية ، يتبين أن مشتقات المجموعة المحدودة محليًا تكون أيضًا محدودة محليًا. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

• نظرية مونتيل . كل عائلة محدودة محليًا من الدوال التحليلية في مجال${\displaystyle G}$هذا طبيعي.

يترك${\displaystyle f_{n}}$لتكن متتالية محدودة تمامًا، اختر مجموعة جزئية كثيفة قابلة للعد${\displaystyle w_{m}}$ل${\displaystyle G}$باستخدام خاصية التقييد المحلي و" الوسيط القطري "، يمكن اختيار متتالية جزئية بحيث${\displaystyle g_{n}}$متقاربة عند كل نقطة${\displaystyle w_{m}}$يجب التحقق من أن هذه المتتالية من الدوال التحليلية تتقارب على${\displaystyle G}$بشكل موحد على كل قرص مضغوط${\displaystyle K}$. يأخذ${\displaystyle E}$افتح مع${\displaystyle K\subset E}$بحيث يؤدي إغلاق${\displaystyle E}$صغير الحجم ويحتوي على${\displaystyle G}$بما أن التسلسل${\displaystyle \{g_{n}'\}}$محدودة محلياً،${\displaystyle |g_{n}'|\leq M}$على${\displaystyle E}$. بالتراص، إذا${\displaystyle \delta >0}$إذا تم اختيارها صغيرة بما يكفي، فإن عدد الأقراص المفتوحة يكون محدودًا${\displaystyle D_{k}}$نصف قطر${\displaystyle \delta >0}$يُطلب منهم تغطية${\displaystyle K}$مع البقاء في${\displaystyle E}$. منذ

${\displaystyle g_{n}(b)-g_{n}(a)=\int _{a}^{b}g_{n}^{\prime }(z)\,dz}$،

لدينا ذلك${\displaystyle |g_{n}(a)-g_{n}(b)|\leq M|a-b|\leq 2\delta M}$والآن لكل${\displaystyle k}$اختر بعضًا${\displaystyle w_{i}}$في${\displaystyle D_{k}}$أين${\displaystyle g_{n}(w_{i})}$يتقارب، خذ${\displaystyle n}$و${\displaystyle m}$كبير جدًا بحيث لا يمكن أن يكون ضمن${\displaystyle \delta }$من حدودها. ثم لـ${\displaystyle z\in D_{k}}$،

${\displaystyle |g_{n}(z)-g_{m}(z)|\leq |g_{n}(z)-g_{n}(w_{i})|+|g_{n}(w_{i})-g_{m}(w_{i})|+|g_{m}(w_{1})-g_{m}(z)|\leq 4M\delta +2\delta .}$

ومن ثم التسلسل${\displaystyle \{g_{n}\}}$تشكل متتالية كوشي في المعيار المنتظم على${\displaystyle K}$حسب الحاجة. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

• نظرية ريمان للتطبيقات. إذا${\displaystyle G\neq \mathbb {C} }$هو نطاق متصل ببساطة و${\displaystyle a\in G}$، هناك تحويل متطابق فريد${\displaystyle f}$ل${\displaystyle G}$على القرص الصلب${\displaystyle D}$تمت معايرتها بحيث${\displaystyle f(a)=0}$و${\displaystyle f'(a)>0}$.

تتحقق التفردية لأنه إذا${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$استوفت الشروط نفسها،${\displaystyle h=f\circ g^{-1}}$ستكون خريطة هولومورفية أحادية القيمة للقرص الواحد مع${\displaystyle h(0)=0}$و${\displaystyle h'(0)>0}$لكن وفقًا لفرضية شوارتز ، فإن الخرائط الهولومورفية أحادية القيمة للقرص الواحد على نفسه تُعطى بواسطة تحويلات موبيوس.

${\displaystyle k(z)=e^{i\theta }(z-\alpha )/(1-{\overline {\alpha }}z)}$

مع${\displaystyle |\alpha |<1}$. لذا${\displaystyle h}$يجب أن تكون خريطة الهوية و${\displaystyle f=g}$.

لإثبات الوجود، خذ${\displaystyle {\cal {F}}}$أن تكون عائلة من التعيينات أحادية التكافؤ الهولومورفية${\displaystyle f}$ل${\displaystyle G}$في وحدة القرص المفتوحة${\displaystyle D}$مع${\displaystyle f(a)=0}$و${\displaystyle f'(a)>0}$إنها عائلة طبيعية وفقًا لنظرية مونتيل. وبحسب توصيف الاتصال البسيط، لـ${\displaystyle b\in \mathbb {C} \setminus G}$يوجد فرع هولومورفي للجذر التربيعي${\displaystyle h(z)={\sqrt {z-b}}}$في${\displaystyle G}$هو أحادي التكافؤ و${\displaystyle h(z_{1})\neq -h(z_{2})}$ل${\displaystyle z_{1},z_{2}\in G}$بحسب نظرية التطبيق المفتوح ،${\displaystyle h(G)}$يحتوي على قرص مغلق${\displaystyle \Delta }$قل مع المنتصف${\displaystyle h(a)}$ونصف القطر${\displaystyle r>0}$وبالتالي لا توجد نقاط من${\displaystyle -\Delta }$يمكن أن يكمن في${\displaystyle h(G)}$. يترك${\displaystyle F}$كن التحول الفريد لموبيوس${\displaystyle \mathbb {C} \setminus -\Delta }$على${\displaystyle D}$مع التطبيع${\displaystyle F(h(a))=0}$و${\displaystyle (F\circ h)'(a)=F'(h(a))\cdot h'(a)>0}$. عن طريق البناء${\displaystyle F\circ h}$هو في${\displaystyle {\cal {F}}}$، لهذا السبب${\displaystyle {\cal {F}}}$هي غير فارغة . تتمثل طريقة كوبي في استخدام دالة قصوى لإنتاج تحويل توافقي يحل المشكلة: في هذه الحالة، تُسمى غالبًا دالة أهلفورس لـ G ، نسبةً إلى أهلفورس . ^{[ 19 ]} ليكن${\displaystyle 0<M\leq \infty }$كن أعلى${\displaystyle f'(a)}$ل${\displaystyle f\in {\cal {F}}}$. يختار${\displaystyle f_{n}\in {\cal {F}}}$مع${\displaystyle f_{n}'(a)}$الاهتمام بـ${\displaystyle M}$وبحسب نظرية مونتيل، بالانتقال إلى متتالية جزئية إذا لزم الأمر،${\displaystyle f_{n}}$يميل إلى دالة هولومورفية${\displaystyle f}$بشكل موحد على المجموعات المدمجة. وفقًا لنظرية هورويتز،${\displaystyle f}$إما أن تكون أحادية القيمة أو ثابتة. لكن${\displaystyle f}$لديه${\displaystyle f(a)=0}$و${\displaystyle f'(a)>0}$. لذا${\displaystyle M}$محدود، يساوي${\displaystyle f'(a)>0}$و${\displaystyle {f\in {\cal {F}}}}$يبقى التحقق من أن التحويل المطابق${\displaystyle f}$يأخذ${\displaystyle G}$على${\displaystyle D}$وإلا، فخذ${\displaystyle c\neq 0}$في${\displaystyle D\setminus f(G)}$ودع${\displaystyle H}$ليكن الجذر التربيعي الهولومورفي لـ${\displaystyle (f(z)-c)/(1-{\overline {c}}f(z))}$على${\displaystyle G}$الوظيفة${\displaystyle H}$هو أحادي القيمة ويرسم الخرائط${\displaystyle G}$داخل${\displaystyle D}$. يترك

${\displaystyle F(z)={\frac {e^{i\theta }(H(z)-H(a))}{1-{\overline {H(a)}}H(z)}},}$

أين${\displaystyle H'(a)/|H'(a)|=e^{-i\theta }}$. ثم${\displaystyle F\in {\cal {F}}}$وتُظهر عملية حسابية روتينية أن

${\displaystyle F'(a)=e^{i\theta }H'(a)/(1-|H(a)|^{2})=f'(a)\left({\sqrt {|c|}}+{\sqrt {|c|^{-1}}}\right)/2>f'(a)=M.}$

وهذا يتعارض مع مبدأ الحد الأقصى لـ${\displaystyle M}$، لهذا السبب${\displaystyle f}$يجب أن تأخذ جميع القيم في${\displaystyle D}$[ ^{20 ] [ 21 ] [ 22 ]​}

ملاحظة. كنتيجة لنظرية ريمان للتطبيقات، فإن كل مجال بسيط الاتصال في المستوى يكون متماثلًا شكليًا مع القرص الواحدي. إذا تم حذف النقاط، فإن هذا يتبع من النظرية. بالنسبة للمستوى بأكمله، يكون التماثل الشكلي${\displaystyle \phi (z)=z/(1+|z|)}$يعطي تماثلًا تماثليًا لـ${\displaystyle \mathbb {C} }$على${\displaystyle D}$.

تُعمم نظرية التوحيد لكوبي للعائلات الطبيعية أيضًا لإنتاج مُوحِّدات.${\displaystyle f}$بالنسبة للمجالات متعددة الاتصال، بالنسبة لمجالات الشقوق المتوازية المحدودة ، حيث تكون للشقوق زاوية${\displaystyle \theta }$إلى المحور السيني . وبالتالي إذا${\displaystyle G}$هو نطاق في${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$يحتوي على${\displaystyle \infty }$وبوجود عدد محدود من خطوط جوردان، توجد دالة أحادية القيمة فريدة${\displaystyle f}$على${\displaystyle G}$مع

${\displaystyle f(z)=z^{-1}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots }$

قريب${\displaystyle \infty }$، لتحقيق أقصى قدر من${\displaystyle \mathrm {Re} (e^{-2i\theta }a_{1})}$وأن يكون لديك صورة${\displaystyle f(G)}$مجال شق متوازٍ بزاوية${\displaystyle \theta }$إلى المحور السيني . ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}

قدم ديفيد هيلبرت في عام 1909 أول برهان على أن مجالات الشق المتوازي كانت مجالات قانونية في الحالة متعددة الاتصال. وقدم جينكينز (1958) ، في كتابه عن الدوال أحادية القيمة والتحويلات المطابقة، معالجة تستند إلى عمل هربرت غروتزش ورينيه دي بوسيل من أوائل الثلاثينيات؛ وكانت هذه المعالجة بمثابة مقدمة للتحويلات شبه المطابقة والتفاضلات التربيعية ، والتي تم تطويرها لاحقًا كتقنية المقياس المتطرف بفضل أوزوالد تايخمولر . ^{[ 26 ]} قدّم مناحيم شيفر معالجةً قائمةً على مبادئ تباينية عامة جدًا ، لُخِّصت في خطابات ألقاها أمام المؤتمر الدولي للرياضيات عامي 1950 و1958. في نظريةٍ حول "التباين الحدودي" (لتمييزه عن "التباين الداخلي")، استنتج معادلةً تفاضليةً ومتباينةً، اعتمدت على توصيفٍ نظريٍّ قياسيٍّ لقطع الخطوط المستقيمة، يعود الفضل فيه إلى أوغتريد شاتلوورث هاسلام-جونز عام 1936. اعتُبر برهان هاسلام-جونز صعبًا، ولم يُقدَّم له برهانٌ مُرضٍ إلا في منتصف سبعينيات القرن العشرين على يد شوبر وكامبل-لامورو. ^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}

قدّم شيف (1993) برهانًا على التوحيد لمجالات الشقوق المتوازية، وهو برهان مشابه لنظرية ريمان للتحويل. ولتبسيط الترميز، سنستخدم الشقوق الأفقية. أولًا، وفقًا لمتباينة بيبرباخ ، فإن أي دالة أحادية القيمة

${\displaystyle g(z)=z+cz^{2}+\cdots }$

مع${\displaystyle z}$يجب أن يفي القرص المفتوح بمتطلبات الوحدة المفتوحة${\displaystyle |c|\leq 2}$ونتيجة لذلك، إذا

${\displaystyle f(z)=z+a_{0}+a_{1}z^{-1}+\cdots }$

أحادي القيمة في${\displaystyle |z|>R}$، ثم${\displaystyle |f(z)-a_{0}|\leq 2|z|}$لرؤية ذلك، خذ${\displaystyle S>R}$وضبط

${\displaystyle g(z)=S(f(S/z)-b)^{-1}}$

ل${\displaystyle z}$في وحدة القرص، اختر${\displaystyle b}$إذن، المقام لا يساوي صفرًا في أي مكان، ونطبق مبرهنة شوارتز . ثم الدالة${\displaystyle f_{R}(z)=z+R^{2}/z}$تتميز بـ "حالة قصوى" باعتبارها الوظيفة الأحادية الوحيدة في${\displaystyle z>R}$من الشكل${\displaystyle z+a_{1}z^{-1}+\cdots }$ذلك يزيد إلى أقصى حد${\displaystyle \mathrm {Re} (a_{1})}$هذه نتيجة مباشرة لنظرية غرونوال للمساحة ، المطبقة على عائلة الدوال أحادية القيمة${\displaystyle f(zR)/R}$في${\displaystyle z>1}$[ ^{30 ] [ 31 ]​}

لإثبات الآن أن المجال متعدد الاتصال${\displaystyle G\subset \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$يمكن توحيدها عن طريق تحويل متطابق أفقي متوازي الشق

${\displaystyle f(z)=z+a_{1}z^{-1}+\cdots }$،

يأخذ${\displaystyle R}$كبيرة بما يكفي بحيث${\displaystyle \partial G}$يقع في القرص المفتوح${\displaystyle |z|<R}$. ل${\displaystyle S>R}$، أحادية التكافؤ والتقدير${\displaystyle |f(z)|\leq 2|z|}$يعني ذلك أنه إذا${\displaystyle z}$يكمن في${\displaystyle G}$مع ${\displaystyle |z|\leq S}$، ثم${\displaystyle |f(z)|\leq 2S}$منذ عائلة الأيونات أحادية التكافؤ${\displaystyle f}$محدودة محليًا في${\displaystyle G\setminus \{\infty \}}$وبحسب نظرية مونتيل، فإنها تشكل عائلة طبيعية. علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle f_{n}}$هو فرد من العائلة ويميل إلى${\displaystyle f}$بشكل موحد على الكومباكتا، ثم${\displaystyle f}$وهي أيضًا ضمن عائلة معاملات متسلسلة لوران عند${\displaystyle \infty }$التابع${\displaystyle f_{n}}$يميل إلى المعامل المقابل لـ${\displaystyle f}$وينطبق هذا بشكل خاص على المعامل: لذا، وبسبب خاصية التراص، يوجد معامل أحادي القيمة${\displaystyle f}$مما يزيد من${\displaystyle \mathrm {Re} (a_{1})}$للتأكد من ذلك

${\displaystyle f(z)=z+a_{1}+\cdots }$

التحويل المطلوب هو تحويل الشق المتوازي، لنفترض بالاختزال إلى حد السخافة أن${\displaystyle f(G)=G_{1}}$يحتوي على مكون صغير الحجم ومتصل${\displaystyle K}$من حدودها التي ليست شقًا أفقيًا. ثم المكمل${\displaystyle G_{2}}$ل${\displaystyle K}$في${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$يرتبط ببساطة بـ${\displaystyle G_{2}\supset G_{1}}$بحسب نظرية ريمان للتحويلات، يوجد تحويل متطابق

${\displaystyle h(w)=w+b_{1}w^{-1}+\cdots ,}$

بحيث${\displaystyle h(G_{2})}$يكون${\displaystyle \mathbb {C} }$مع إزالة شق أفقي. لذلك لدينا ذلك

${\displaystyle h(f(z))=z+(a_{1}+b_{1})z^{-1}+\cdots ,}$

وبالتالي${\displaystyle \mathrm {Re} (a_{1}+b_{1})\leq \mathrm {Re} (a_{1})}$بسبب شدة${\displaystyle f}$. لذلك،${\displaystyle \mathrm {Re} (b_{1})\leq 0}$من ناحية أخرى، وبحسب نظرية ريمان للتحويلات، يوجد تحويل متطابق

${\displaystyle k(w)=w+c_{0}+c_{1}w^{-1}+\cdots ,}$

رسم الخرائط من${\displaystyle |w|>S}$على${\displaystyle G_{2}}$. ثم

${\displaystyle f(k(w))-c_{0}=w+(a_{1}+c_{1})w^{-1}+\cdots .}$

من خلال الحد الأقصى الصارم لرسم الخرائط الشقّية في الفقرة السابقة، يمكننا أن نرى أن${\displaystyle \mathrm {Re} (c_{1})<\mathrm {Re} (b_{1}+c_{1})}$، لهذا السبب${\displaystyle \mathrm {Re} (b_{1})>0}$المتباينتان لـ${\displaystyle \mathrm {Re} (b_{1})}$متناقضة. ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}

تم تقديم برهان تفرد تحويل الشق المتوازي المطابق في غولوزين (1969) وغرونسكي (1978) . بتطبيق معكوس تحويل جوكوفسكي${\displaystyle h}$بالنسبة لمجال الشق الأفقي، يمكن افتراض أن${\displaystyle G}$هي منطقة محددة بدائرة الوحدة${\displaystyle C_{0}}$ويحتوي على أقواس تحليلية${\displaystyle C_{i}}$والنقاط المعزولة (صور الشقوق الأفقية المتوازية الأخرى، عكس تحويل جوكوفسكي). وبالتالي، بأخذ قيمة ثابتة${\displaystyle a\in G}$، هناك تعيين أحادي القيمة

${\displaystyle F_{0}(w)=h\circ f(w)=(w-a)^{-1}+a_{1}(w-a)+a_{2}(w-a)^{2}+\cdots ,}$

مع صورتها في مجال شق أفقي. لنفترض أن${\displaystyle F_{1}(w)}$وهو أداة توحيد أخرى مع

${\displaystyle F_{1}(w)=(w-a)^{-1}+b_{1}(w-a)+b_{2}(w-a)^{2}+\cdots .}$

الصورة أدناه${\displaystyle F_{0}}$أو${\displaystyle F_{1}}$من كل${\displaystyle C_{i}}$لها إحداثي y ثابت ، وكذلك القطع الأفقية. من ناحية أخرى،${\displaystyle F_{2}(w)=F_{0}(w)-F_{1}(w)}$هو هولومورفي في${\displaystyle G}$إذا كانت ثابتة، فلا بد أن تكون قيمتها صفرًا تمامًا لأن${\displaystyle F_{2}(a)=0}$. يفترض${\displaystyle F_{2}}$إذا كانت غير ثابتة، فبافتراض${\displaystyle F_{2}(C_{i})}$جميعها خطوط أفقية. إذا${\displaystyle t}$إذا لم يكن أحد هذه الخطوط موجودًا، فإن مبدأ كوشي يوضح أن عدد حلول${\displaystyle F_{2}(w)=t}$في${\displaystyle G}$يساوي صفرًا (أي${\displaystyle t}$ستُحاط في نهاية المطاف بخطوط محيطية في${\displaystyle G}$بالقرب من${\displaystyle C_{i}}$وهذا يتناقض مع حقيقة أن الدالة الهولومورفية غير الثابتة${\displaystyle F_{2}}$هي خريطة مفتوحة . ^{[ 35 ]}