رمز غولاي الثنائي

في الرياضيات وهندسة الإلكترونيات ، يُعدّ رمز غولاي الثنائي نوعًا من رموز تصحيح الأخطاء الخطية المستخدمة في الاتصالات الرقمية . ويرتبط رمز غولاي الثنائي، إلى جانب رمز غولاي الثلاثي ، ارتباطًا وثيقًا بنظرية المجموعات المتفرقة المنتهية في الرياضيات. ^{[ 1 ]} سُمّيت هذه الرموز تكريمًا لمارسيل جيه إي غولاي، الذي وصف بحثه المنشور عام 1949 ^{[ 2 ]} والذي قدّم هذه الرموز، بأنه "أفضل صفحة منشورة" في نظرية الترميز ، وذلك بحسب إي آر بيرلكامب . ^{[ 3 ]}

يوجد نوعان من رموز غولاي الثنائية المترابطة ترابطًا وثيقًا. يقوم رمز غولاي الثنائي الموسع ، G ₂₄ (ويُسمى أحيانًا "رمز غولاي" في نظرية الزمر المنتهية)، بتشفير 12 بتًا من البيانات في كلمة طولها 24 بتًا، بحيث يمكن تصحيح أي خطأ بطول 3 بتات أو اكتشاف أي خطأ بطول 7 بتات. أما النوع الآخر، وهو رمز غولاي الثنائي المثالي ، G ₂₃ ، فيتكون من كلمات رمزية طولها 23 بتًا، ويُشتق من رمز غولاي الثنائي الموسع بحذف موضع إحداثي واحد (وبالمقابل، يُشتق رمز غولاي الثنائي الموسع من رمز غولاي الثنائي المثالي بإضافة بت التكافؤ ). في تدوين الترميز القياسي، تحتوي الرموز على المعاملات [24، 12، 8] و[23، 12، 7]، والتي تُقابل طول الكلمات الرمزية، وبُعد الرمز، وأقصر مسافة هامينغ بين كلمتين رمزيتين، على التوالي.

رياضيًا، يتكون رمز غولاي الثنائي الموسع G _{24 من} فضاء جزئي خطي ذي 12 بُعدًا W من الفضاء V = F ²⁴ ₂ من كلمات 24 بت، بحيث يختلف أي عنصرين مختلفين في W في 8 إحداثيات على الأقل. يُسمى W رمزًا خطيًا لأنه فضاء متجهي. إجمالًا، يحتوي W على 4096 = 2 ¹² عنصرًا.

• تُسمى عناصر المجموعة W بالكلمات المشفرة . ويمكن وصفها أيضاً بأنها مجموعات جزئية من مجموعة مكونة من 24 عنصراً، حيث تُعرَّف عملية الجمع بأنها أخذ الفرق المتناظر بين المجموعات الجزئية.
• في شفرة غولاي الثنائية الموسعة، تحتوي جميع كلمات الشفرة على أوزان هامينغ 0 أو 8 أو 12 أو 16 أو 24. تسمى كلمات الشفرة ذات الوزن 8 بالثمانيات وتسمى كلمات الشفرة ذات الوزن 12 بالاثنا عشريات .
• تُعدّ الأوكتادات في الشفرة G _{24 عناصر من} نظام شتاينر S(5,8,24) . يوجد 759 = 3 × 11 × 23 أوكتادًا، و759 مكملًا لها. وبناءً على ذلك، يوجد 2576 = 2 ⁴ × 7 × 23 دوديكادًا.
• يتقاطع مجموعتان ثمانيتان (تشتركان في الرقم 1) عند الإحداثيات 0 أو 2 أو 4 في التمثيل المتجهي الثنائي (وهذه هي أحجام التقاطع الممكنة في تمثيل المجموعة الجزئية). ويتقاطع مجموعة ثمانية ومجموعة اثني عشرية عند الإحداثيات 2 أو 4 أو 6.
• باستثناء إعادة تسمية الإحداثيات، فإن W فريدة.

يُعدّ رمز غولاي الثنائي، G _23، رمزًا مثاليًا . أي أن الكرات التي نصف قطرها ثلاثة حول كلمات الرمز تُشكّل تجزئةً للفضاء المتجهي. G _{23 هو} فضاء جزئي ذو 12 بُعدًا من الفضاء F ²³ ₂ .

زمرة التشاكل الذاتي لرمز غولاي الثنائي المثالي G ₂₃ (أي الزمرة الجزئية من زمرة S ₂₃ لتباديل إحداثيات F ²³ التي تُبقي G _{23 ثابتة} )، هي زمرة ماثيو${\displaystyle M_{23}}$مجموعة التشاكل الذاتي لرمز غولاي الثنائي الموسع هي مجموعة ماثيو${\displaystyle M_{24}}$، من الرتبة 2 ¹⁰ × 3 ³ × 5 × 7 × 11 × 23 .${\displaystyle M_{24}}$تكون هذه الخاصية متعدية على الثمانيات وعلى الاثني عشريات. أما مجموعات ماثيو الأخرى فتظهر كمثبتات لعنصر واحد أو عدة عناصر من W.

توجد كلمة واحدة وزنها 24، وهي عبارة عن فضاء فرعي ثابت أحادي البعد.${\displaystyle M_{24}}$لذلك، يمتلك تمثيلاً غير قابل للاختزال في أحد عشر بُعدًا على الحقل بعنصرين. إضافةً إلى ذلك، بما أن رمز غولاي الثنائي هو فضاء جزئي ذو اثني عشر بُعدًا من فضاء ذي أربعة وعشرين بُعدًا،${\displaystyle M_{24}}$يؤثر أيضًا على فضاء القسمة ذي الاثني عشر بُعدًا ، والذي يُسمى رمز غولاي الثنائي . تقع الكلمة في هذا الرمز في نفس المجموعة المشاركة مع كلمة طولها 0 أو 1 أو 2 أو 3 أو 4. في الحالة الأخيرة، تقع 6 كلمات (منفصلة) من الرمز في نفس المجموعة المشاركة. يوجد فضاء فرعي ثابت ذو أحد عشر بُعدًا، يتكون من كلمات الرمز ذات الوزن الفردي، مما يُعطي${\displaystyle M_{24}}$تمثيل ثانٍ ذو 11 بُعدًا على الحقل بعنصرين.

• الترميز المعجمي : رتب المتجهات في V ترتيبًا معجميًا (أي، فسرها كأعداد صحيحة ثنائية غير مُوقّعة من 24 بت، واتبع الترتيب المعتاد). بدءًا من w₀ = 0، عرّف w₁، _w₂ ، ... ، _w₁₂ وفقًا _{للقاعدة} التي تنص على أن wₙ _هو أصغر عدد صحيح يختلف عن جميع التراكيب الخطية للعناصر السابقة في ثمانية إحداثيات على الأقل. عندئذٍ، _{يمكن تعريف} W على أنه امتداد w₁ _، ...، w₁₂ _.
• مجموعة ماثيو : نشر ويت في عام 1938 بناءً لأكبر مجموعة ماثيو يمكن استخدامها لبناء رمز غولاي الثنائي الموسع. ^{[ 4 ]}
• رمز البقايا التربيعية : لنفترض المجموعة N من البقايا التربيعية غير المتبقية (mod 23). هذه المجموعة هي مجموعة جزئية مكونة من 11 عنصرًا من المجموعة الدورية Z /23 . لنفترض الإزاحات t + N لهذه المجموعة الجزئية. قم بتوسيع كل إزاحة إلى مجموعة مكونة من 12 عنصرًا S _t بإضافة العنصر ∞. عندئذٍ، يمكن تعريف ترقيم عناصر الأساس للمجموعة V بالأرقام 0، 1، 2، ...، 22، ∞، W على أنه مدى الكلمات S _t بالإضافة إلى الكلمة التي تتكون من جميع متجهات الأساس. (يتم الحصول على الرمز المثالي بحذف ∞).
• كشفرة دورية : يمكن بناء شفرة G ₂₃ المثالية من خلال تحليلها إلى عواملها الأولية.${\displaystyle x^{23}+1}$على الحقل الثنائي GF(2) :$${\displaystyle x^{23}+1=(x+1)(x^{11}+x^{9}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x+1)(x^{11}+x^{10}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+1).}$$إنه الكود الذي تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle \left(x^{11}+x^{10}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+1\right)}$[ ^{5 ] يمكن استخدام أي من العوامل غير القابلة للاختزال من} الدرجة 11 لتوليد الشفرة. ^{[ 6 ]}
• بناء تورين لعام 1967، "بناء بسيط لرمز غولاي الثنائي"، الذي يبدأ من رمز هامينغ بطول 8 ولا يستخدم البقايا التربيعية mod 23. ^{[ 7 ]}
• من نظام شتاينر S(5,8,24) ، الذي يتكون من 759 مجموعة جزئية من مجموعة مكونة من 24 عنصرًا. إذا فُسِّرَ نطاق كل مجموعة جزئية على أنه رمز ثنائي (0-1) بطول 24 (بوزن هامينغ 8)، فإن هذه هي "الثمانيات" في شفرة غولاي الثنائية. يمكن الحصول على شفرة غولاي كاملةً بتكرار حساب الفروق المتناظرة للمجموعات الجزئية، أي الجمع الثنائي. يُعد مولد الأوكتاد المعجزة لـ RT Curtis طريقةً أسهل لكتابة نظام شتاينر، أو بالأحرى كتابة الثمانيات ، حيث يستخدم تناظرًا واحدًا لواحد بين التقسيمات الـ 35 لمجموعة مكونة من 8 عناصر إلى مجموعتين مكونتين من 4 عناصر، والتقسيمات الـ 35 للفضاء المتجهي المحدود.${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{4}}$إلى 4 مستويات. ^{[ 8 ]} في الوقت الحاضر، غالبًا ما يتم استخدام النهج المضغوط لرمز كونواي السداسي، الذي يستخدم مصفوفة 4 × 6 من الخلايا المربعة.
• مواقع الفوز في لعبة موغول الرياضية : الموقع في موغول عبارة عن صف من 24 قطعة نقدية. تتكون كل جولة من قلب من قطعة نقدية واحدة إلى سبع قطع، بحيث تكون القطعة الموجودة في أقصى اليسار من الوجه إلى الظهر. مواقع الخسارة هي تلك التي لا يوجد بها أي حركة قانونية. إذا فُسِّر الوجه على أنه 1 والظهر على أنه 0، فإن الانتقال إلى كلمة رمزية من شفرة غولاي الثنائية الموسعة يضمن إمكانية فرض الفوز.
• مصفوفة المولد لرمز غولاي الثنائي هي IA ، حيث I هي مصفوفة الوحدة 12×12، و A هي مكمل مصفوفة التجاور للمجسم العشري الوجوه .

٠ ١ ١ ١ ١ ١ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

∞ 0 | ∞ 0 | ∞ 0 3 2 | 3 2 | 3 2 5 1 | 5 1 | 5 1 6 4 | 6 4 | 6 4

0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• شبكة العلق
• الكود الخطي