عشريني الوجوه

في الهندسة ، المجسم العشروني ( / ˌaɪkɒsəˈhiːdrən ، -kə - ، -koʊ - / أو / aɪˌkɒsəˈhiːdrən / [ 1 ] ) هو​​​​​​​​​​​​​​​​​​^​ ​متعدد السطوح مع 20 وجهًا. الاسم يأتي من اليونانية القديمة εἴκοσι (eíkosi)  "عشرون" و ἕδρα (hédra)  "مقعد". يمكن أن تكون صيغة الجمع إما "عشروني الوجوه" ( /- د ص ə / ) أو "عشرونية الوجوه".

هناك عدد لا نهائي من الأشكال غير المتشابهة للمجسمات ذات العشرين وجهًا، بعضها أكثر تناسقًا من غيرها. وأشهرها هو المجسم ذو العشرين وجهًا المنتظم ( المحدب ، غير النجمي ) - أحد الأشكال الصلبة الأفلاطونية - الذي تتكون وجوهه من 20 مثلثًا متساوي الأضلاع .

يوجد جسمان، أحدهما محدب والآخر غير محدب، يمكن أن نطلق عليهما اسم عشريني وجه منتظم. كل منهما له 30 ضلعًا و20 وجهًا مثلثًا متساوي الأضلاع ، خمسة منها تلتقي عند كل من رؤوسه الاثنتي عشرة. وكلاهما لهما تماثل عشريني الوجوه . يشير مصطلح "عشروني الوجوه المنتظم" عمومًا إلى النوع المحدب، بينما يُطلق على الشكل غير المحدب اسم عشريني الوجوه الكبير .

يشار عادةً إلى العشريني الوجوه المنتظم المحدب ببساطة باسم العشريني الوجوه المنتظم ، وهو أحد الأشكال الأفلاطونية الخمسة المنتظمة ، ويمثله رمز شليفلي {3، 5}، ويحتوي على 20 وجهًا مثلثيًا، مع 5 وجوه تلتقي حول كل رأس.

متعدد السطوح المزدوج هو الاثني عشر وجهًا المنتظم {5، 3} الذي يحتوي على ثلاثة أوجه خماسية منتظمة حول كل رأس.

يعتبر المجسم العشروني الوجوه الكبير أحد الأشكال النجمية الأربعة المنتظمة لمتعددات السطوح كبلر-بوينسو . رمز شليفلي الخاص به هو {3، ⁠5/2} مثل الشكل المحدب، يحتوي أيضًا على 20 وجهًا مثلثًا متساوي الأضلاع، لكن شكل رأسه عبارة عن نجمة خماسية وليس خماسيًا، مما يؤدي إلى وجوه متقاطعة هندسيًا. لا تمثل تقاطعات المثلثات حوافًا جديدة.

متعدد السطوح المزدوج هو الاثني عشر وجهًا النجمي العظيم { ⁠5/2⁠ ، 3}، له ثلاثة وجوه خماسية منتظمة على شكل نجمة حول كل رأس.

التجميع النجمي هو عملية تمديد وجوه أو حواف متعدد السطوح حتى تلتقي لتكوين متعدد سطوح جديد. يتم ذلك بشكل متماثل بحيث يحتفظ الشكل الناتج بالتناظر العام للشكل الأصلي.

في كتابهم "التسعة والخمسون من العشرينيات الوجوه" ، قام كوكستر وآخرون بإحصاء 58 من هذه المجموعات من العشرينيات الوجوه المنتظمة.

من بين هذه الأشكال، العديد منها لها وجه واحد في كل من مستويات الوجوه العشرين، وبالتالي فهي أيضًا ذات عشرين وجهًا. ومن بينها الشكل العشريني الكبير.

تحتوي مجموعات أخرى على أكثر من وجه في كل مستوى أو تشكل مركبات من متعددات السطوح الأكثر بساطة. هذه ليست مجسمات ذات عشرين وجهًا بشكل صارم، على الرغم من الإشارة إليها غالبًا على هذا النحو.

مجموعات بارزة من العشرين وجهًا
عادي	ثنائيات موحدة			المركبات العادية			نجم منتظم	آحرون
(محدب) عشريني الوجوه	مجسم ثلاثي الوجوه صغير ذو عشرين وجهًا	مجسم إكوساهيدرون ثلاثي الوجوه	مجسم ثلاثي الوجوه كبير ذو عشرين وجها	مركب من خمسة مجسمات ثماني السطوح	مركب من خمسة رباعيات السطوح	مركب من عشرة رباعيات السطوح	عشريني الوجوه العظيم	مجسم اثني عشري محفور	التكوين النهائي
إن عملية تكوين النجوم على العشريني الوجوه تخلق عددًا من متعددات السطوح والمركبات ذات الصلة ذات التناظر العشريني الوجوه .

تماثلات البيريتوهدرا والرباعية السطوح
مخططات كوكستر	(بيروتهيدرا) (رباعي السطوح)
رمز شلايفلي	س{3,4} س{3,3} أو${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$
وجوه	20 مثلثًا: 8 مثلثات متساوية الأضلاع و12 مثلثًا متساوي الساقين
الحواف	30 (6 قصيرة + 24 طويلة)
رؤوس	12
مجموعة التماثل	ث ، [4،3 + ]، (3*2)، الترتيب 24
مجموعة الدوران	T d ، [3,3] + ، (332)، الترتيب 12
متعدد السطوح المزدوج	بيريتوهيدرون
ملكيات	محدب
شبكة
المجسم العشروني الوجوه المنتظم متطابق طوبولوجيًا مع المكعب ثماني السطوح الذي يحتوي على ستة وجوه مربعة مقسمة قطريًا بتناظر بيريتوهيدري. يوجد تحويل حركي بين المكعب ثماني السطوح والمجسم العشروني الوجوه .

يمكن تشويه أو تمييز مجسم عشريني منتظم على أنه تماثل بيريتوهدرا سفلي ، [ 2 ] ^{[ 3]} ويسمى ثماني السطوح المقلوب ، ورباعي السطوح المقلوب ، ورباعي السطوح المقلوب ، وشبه عشريني السطوح . ^[4] ويمكن رؤية ذلك على أنه ثماني السطوح المقطوع بالتناوب . إذا كانت جميع المثلثات متساوية الأضلاع ، فيمكن أيضًا تمييز التماثل عن طريق تلوين مجموعات المثلثات 8 و12 بشكل مختلف.

يرمز إلى تماثل البيريتوهدرا (3*2)، [3 ⁺ ، 4]، بالترتيب 24. يرمز إلى تماثل رباعي السطوح (332)، [3,3] ⁺ ، بالترتيب 12. تسمح هذه التناظرات المنخفضة بتشوهات هندسية من 20 وجهًا مثلثيًا متساوي الأضلاع، بدلاً من ذلك يكون هناك 8 مثلثات متساوية الأضلاع و12 مثلثًا متساوي الساقين متطابقًا .

تقدم هذه التناظرات مخططات كوكستر :وعلى التوالي، يمثل كل منهما التناظر الأدنى للعشروني الوجوه المنتظم ، (*532)، [5،3] تناسق عشريني الوجوه من الدرجة 120.

يمكن تعريف إحداثيات ديكارت للرؤوس الاثنتي عشرة بواسطة المتجهات التي تحددها جميع التباديل الدورية الممكنة وانعكاسات الإشارة لإحداثيات من النموذج (2، 1، 0). تمثل هذه الإحداثيات ثماني السطوح المقطوع مع حذف الرؤوس المتبادلة .

يُطلق على هذا البناء اسم رباعي السطوح المقلوب في شكله العشريني المنتظم، والذي يتم إنشاؤه من خلال نفس العمليات التي يتم تنفيذها بدءًا من المتجه ( ϕ ، 1، 0)، حيث ϕ هي النسبة الذهبية . ^[3]

في مجسم جيسن العشريني الوجوه، والذي يُسمى أحيانًا مجسم جيسن العشريني الوجوه المتعامد ، يتم ترتيب الوجوه المتساوية الساقين الـ12 بشكل مختلف بحيث يكون الشكل غير محدب وله زوايا ثنائية السطوح قائمة .

إنه مقص يتطابق مع المكعب، مما يعني أنه يمكن تقطيعه إلى قطع متعددة السطوح أصغر حجمًا يمكن إعادة ترتيبها لتشكيل مكعب صلب.

إن المجسم العشروني الوجوه المنتظم متطابق طوبولوجيًا مع مكعب ثماني السطوح الذي يحتوي على ستة وجوه مربعة مقسمة قطريًا بتناظر بيريتوهيدري. ويشكل المجسم العشروني الوجوه ذو التناظر بيريتوهيدري عائلة لا نهائية من متعددات السطوح والتي تشمل مكعب ثماني السطوح، والمجسم العشروني الوجوه المنتظم، والمجسم العشروني الوجوه لجيسين، والمجسم الثماني السطوح ذي الغطاء المزدوج . وتوجد تحولات حركية دورية بين أعضاء هذه العائلة.

المعين العشريني الوجوه هو شكل متعدد الوجوه يتكون من 20 معينًا متطابقًا. ويمكن اشتقاقه من المعين ثلاثي الوجوه بإزالة 10 وجوه متوسطة. وعلى الرغم من أن جميع الوجوه متطابقة، فإن المعين العشريني الوجوه ليس متعديًا للوجه .

تشمل العشرينيات الوجوه الشائعة ذات التماثلات الهرمية والمنشورية ما يلي:

• هرم ذو 19 ضلعًا (بالإضافة إلى قاعدة واحدة = 20).
• منشور ذو 18 وجهًا (بالإضافة إلى نهايتين = 20).
• منشور مضاد ذو 9 جوانب (مجموعتان من 9 جوانب + 2 طرفين = 20).
• هرم ثنائي الأضلاع ذو 10 أضلاع (مجموعتان من 10 أضلاع = 20).
• شبه منحرف ذو 10 أضلاع (مجموعتان من 10 أضلاع = 20).

العديد من أجسام جونسون الصلبة هي عبارة عن عشرين وجهًا: ^[5]

ج22	ج35	ج36	ج59	جيه60	ج92
قبة مثلثة الشكل مستطيلة الشكل	قبة مستطيلة الشكل مستطيلة الشكل	قبة مثلثة مستطيلة الشكل	مجسم اثني عشري الوجوه موسع بارابيا	مجسم اثني عشري الوجوه معزز ميتابيا	هيبسفينوروتوندا مثلثية الشكل
16 مثلثًا و 3 مربعات   وسداسيًا واحدًا	8 مثلثات و 12 مربعا	8 مثلثات و 12 مربعا	10 مثلثات   10 خماسيات	10 مثلثات   10 خماسيات	13 مثلثًا، 3 مربعات ، 3 خماسيات ، سداسي واحد

• عشريني الوجوه مقطوع
• 600 خلية
• إيكوسوكو