مجموعة التشاكل الذاتي

في الرياضيات ، تُعرف مجموعة التشاكلات الذاتية للكائن X بأنها المجموعة التي تتكون من التشاكلات الذاتية لـ X تحت تأثير تركيب التشاكلات . على سبيل المثال، إذا كان X فضاءً متجهيًا محدود الأبعاد ، فإن مجموعة التشاكلات الذاتية لـ X هي مجموعة التحويلات الخطية القابلة للعكس من X إلى نفسه ( المجموعة الخطية العامة لـ X ). أما إذا كان X زمرة، فإن مجموعة التشاكلات الذاتية الخاصة بها${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$هي المجموعة التي تتكون من جميع التشاكلات الذاتية للمجموعة X.

خاصة في السياقات الهندسية، تُسمى مجموعة التشاكل الذاتي أيضاً بمجموعة التناظر . وتُسمى المجموعة الجزئية من مجموعة التشاكل الذاتي أحياناً بمجموعة التحويل .

تُدرس مجموعات التماثل الذاتي بشكل عام في مجال نظرية الفئات .

إذا كانت X مجموعةً بدون بنية إضافية، فإن أي تقابل من X إلى نفسها يكون تشاكلاً ذاتياً، وبالتالي فإن زمرة التشاكل الذاتي لـ X في هذه الحالة هي تحديداً الزمرة المتناظرة لـ X. أما إذا كانت المجموعة X تحتوي على بنية إضافية، فقد لا تحافظ جميع التقابلات على هذه البنية، وفي هذه الحالة ستكون زمرة التشاكل الذاتي زمرةً جزئيةً من الزمرة المتناظرة لـ X. ومن الأمثلة على ذلك ما يلي:

• مجموعة التشاكل الذاتي لتمديد الحقل${\displaystyle L/K}$هي المجموعة المكونة من التشاكلات الذاتية للحقول في L التي تثبت K. إذا كان امتداد الحقل من نوع Galois ، فإن مجموعة التشاكلات الذاتية تسمى مجموعة Galois لامتداد الحقل.
• مجموعة التشاكل الذاتي للفضاء الإسقاطي ذي البعد n على حقل k هي المجموعة الخطية الإسقاطية${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k).}$^{[ 1 ]}
• مجموعة التشاكل الذاتي${\displaystyle G}$مجموعة دورية منتهية من الرتبة n متماثلة مع${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$، وهي المجموعة الضربية للأعداد الصحيحة بتردد n ، مع التشاكل المعطى بواسطة${\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}}$^{[ 2 ]} على وجه الخصوص ،${\displaystyle G}$هي مجموعة أبيلية .
• مجموعة التشاكل الذاتي لجبر لي حقيقي محدود الأبعاد${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$لها بنية زمرة لي (حقيقية) (في الواقع، هي حتى زمرة جبرية خطية : انظر أدناه ). إذا كانت G زمرة لي ذات جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذاً، فإن زمرة التشاكل الذاتي لـ G لها بنية زمرة لي مستحثة من تلك الموجودة على زمرة التشاكل الذاتي لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$[ ^{3 ] [ 4 ] [ أ ]​}

إذا كانت G زمرة تؤثر على مجموعة X ، فإن هذا التأثير يُعادل تشاكل زمر من G إلى زمرة التشاكل الذاتي لـ X ، والعكس صحيح. في الواقع، كل تأثير يساري لـ G على مجموعة X يُحدد${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma _{g},\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x}$، وعلى العكس من ذلك، كل تشاكل${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)}$يُعرّف إجراءً بواسطة${\displaystyle g\cdot x=\varphi (g)x}$وينطبق هذا على الحالة التي يكون فيها للمجموعة X بنية أكثر تعقيدًا من مجرد مجموعة. على سبيل المثال، إذا كانت X فضاءً متجهيًا، فإن تأثير المجموعة G على X هو تمثيل للمجموعة G ، حيث يُمثل G كمجموعة من التحويلات الخطية (التشاكلات الذاتية) لـ X ؛ وتُعد هذه التمثيلات محور الدراسة الرئيسي في مجال نظرية التمثيل .

إليكم بعض الحقائق الأخرى حول مجموعات التشاكل الذاتي:

• يترك${\displaystyle A,B}$ليكن مجموعتين منتهيتين لهما نفس العدد الأصلي و${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$مجموعة جميع التقابلات${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$. ثم${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$، وهي مجموعة متناظرة (انظر أعلاه)، تؤثر على${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$من اليسار بحرية وبشكل متعدٍ ؛ أي،${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$هو تورسور لـ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$(انظر #في نظرية الفئات ).
• ليكن P وحدة إسقاطية مولدة نهائيًا على حلقة R. عندئذٍ يوجد تضمين${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)}$فريدة حتى التماثلات الذاتية الداخلية . ^{[ 5 ]}

تظهر مجموعات التماثل الذاتي بشكل طبيعي للغاية في نظرية الفئات .

إذا كان X كائنًا في فئة، فإن زمرة التشاكل الذاتي لـ X هي الزمرة التي تتكون من جميع التشاكلات القابلة للعكس من X إلى نفسه. وهي زمرة الوحدة لمجموعة التشاكل الداخلي لـ X. (للاطلاع على بعض الأمثلة، انظر PROP .)

لو${\displaystyle A,B}$إذا كانت الكائنات تنتمي إلى فئة معينة، فإن المجموعة${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$من بين الجميع${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$اليسار${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$- تورسور . عمليًا، هذا يعني أن اختيارًا مختلفًا لنقطة أساس لـ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$يختلف بشكل لا لبس فيه بعنصر من${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$أو أن كل اختيار لنقطة أساسية هو تحديداً اختيار لتبسيط الـ torsor.

لو${\displaystyle X_{1}}$و${\displaystyle X_{2}}$هي كائنات في فئات${\displaystyle C_{1}}$و${\displaystyle C_{2}}$وإذا${\displaystyle F:C_{1}\to C_{2}}$هي دالة ربط${\displaystyle X_{1}}$ل${\displaystyle X_{2}}$، ثم${\displaystyle F}$يُحفز تماثل المجموعة${\displaystyle \operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})}$، لأنها تقوم برسم التشكلات القابلة للعكس إلى التشكلات القابلة للعكس.

على وجه الخصوص، إذا كانت G مجموعة تُعتبر فئة ذات عنصر واحد * أو، بشكل أعم، إذا كانت G زمرة جزئية ، فإن كل دالة${\displaystyle F:G\to C}$، C فئة، تسمى فعلًا أو تمثيلًا لـ G على الكائن${\displaystyle F(*)}$أو الأشياء${\displaystyle F(\operatorname {Obj} (G))}$ثم يقال إن تلك الأشياء${\displaystyle G}$-الكائنات (كما يتم التعامل معها بواسطة${\displaystyle G}$); انظر.${\displaystyle \mathbb {S} }$-كائن . إذا${\displaystyle C}$إذا كانت فئة نمطية مثل فئة فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة، فإن${\displaystyle G}$تُسمى الكائنات أيضًا${\displaystyle G}$-الوحدات.

يترك${\displaystyle M}$ليكن M فضاءً متجهيًا محدود الأبعاد على حقل k مزودًا ببنية جبرية معينة (أي أن M جبر محدود الأبعاد على k ). يمكن أن يكون، على سبيل المثال، جبرًا ترابطيًا أو جبر لي .

والآن، لننظر في الخرائط الخطية من الرتبة k${\displaystyle M\to M}$التي تحافظ على البنية الجبرية: فهي تشكل فضاءً فرعياً متجهياً${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ل${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$. المجموعة الوحدوية لـ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$هي مجموعة التشاكل الذاتي${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$عند اختيار أساس على M ،${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$هي فضاء المصفوفات المربعة و${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$هي مجموعة الأصفار لبعض المعادلات متعددة الحدود ، ويتم وصف قابلية الانعكاس مرة أخرى بواسطة متعددات الحدود. وبالتالي،${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$هي مجموعة جبرية خطية على k .

الآن، تحدد امتدادات القاعدة المطبقة على المناقشة أعلاه دالة: ^{[ 6 ]} أي، لكل حلقة تبديلية R على k ، ضع في اعتبارك التطبيقات الخطية R.${\displaystyle M\otimes R\to M\otimes R}$الحفاظ على البنية الجبرية: يُرمز إليها بـ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$ثم مجموعة الوحدة لحلقة المصفوفة${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$على R هي مجموعة التشاكل الذاتي${\displaystyle \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$و${\displaystyle R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$هو دالة زمرة : دالة من فئة الحلقات التبديلية على k إلى فئة الزمر . والأفضل من ذلك، أنه يُمثَّل بمخطط (بما أن زمر التشاكل الذاتي تُعرَّف بواسطة كثيرات الحدود): يُسمى هذا المخطط مخطط زمرة التشاكل الذاتي ويُرمز له بـ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$.

لكن بشكل عام، قد لا يتم تمثيل دالة مجموعة التشاكل الذاتي بواسطة مخطط.

• مجموعة التماثل الخارجي
• بنية المستوى ، وهي تقنية لإزالة مجموعة التماثل الذاتي
• مجموعة هولونومي

• https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme