متعدد الحدود المتفرق

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 9 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، تُعرف كثيرة الحدود المتفرقة (وتُسمى أيضًا كثيرة الحدود الفجوية [ 1 ] أو قليلة الحدود [ 2 ] ) بأنها كثيرة حدود تحتوي على عدد أقل بكثير من الحدود مما قد يُشير إليه درجتها وعدد متغيراتها . على سبيل المثال،x10+3x3+1{\displaystyle x^{10}+3x^{3}+1}هي كثيرة حدود متفرقة، لأنها ثلاثية حدود من الدرجة α10{\displaystyle 10}.

يكمن الدافع وراء دراسة كثيرات الحدود المتفرقة في التركيز على بنية أحاديات كثير الحدود بدلاً من درجته، كما يتضح، على سبيل المثال، من خلال مقارنة نظرية برنشتاين-كوشنيرينكو بنظرية بيزو . وقد شملت الأبحاث المتعلقة بكثيرات الحدود المتفرقة أيضاً العمل على خوارزميات يزداد زمن تشغيلها تبعاً لعدد الحدود وليس لدرجتها، [ 3 ] وذلك لمسائل تتضمن ضرب كثيرات الحدود [ 4 ] [ 5 ] ، وقسمتها ، [ 6 ] وخوارزميات إيجاد الجذور ، [ 7 ] وقواسمها المشتركة الكبرى . [ 8 ] كما استُخدمت كثيرات الحدود المتفرقة في الرياضيات البحتة، لا سيما في دراسة زمر غالوا ، لأنه من الأسهل تحديد زمر غالوا لبعض عائلات كثيرات الحدود المتفرقة مقارنةً بغيرها. [ 9 ]

تتميز الأصناف الجبرية المحددة بواسطة كثيرات الحدود المتفرقة ببنية بسيطة، تنعكس أيضًا في بنية حلول بعض المعادلات التفاضلية ذات الصلة . [ 2 ] بالإضافة إلى ذلك، توجد نظرية إحصائية إيجابية متفرقة لكثيرات الحدود المتفرقة أحادية المتغير. تنص هذه النظرية على أنه يمكن إثبات عدم سلبية كثيرة الحدود بواسطة كثيرات حدود مجموع المربعات (SOS) التي تعتمد درجتها فقط على عدد أحاديات كثير الحدود. [ 10 ]

تظهر كثيرات الحدود المتفرقة غالبًا في معادلات مجموع أو فرق القوى. مجموع مكعبين ينص على أن(x+y)(x2-xy+y2)=x3+y3{\displaystyle (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=x^{3}+y^{3}}. هناx3+y3{\displaystyle x^{3}+y^{3}}هي متعددة حدود متفرقة، لأنها من بين16{\displaystyle 16}الشروط الممكنة فقط2{\displaystyle 2}تظهر. ومن الأمثلة الأخرى الهويات(x-y)∑ك=0شمال-1xكyشمال-1-ك=xشمال-yشمال{\displaystyle (xy)\sum _{k=0}^{N-1}x^{k}y^{N-1-k}=x^{N}-y^{N}}وأيضًا(x+y)∑ك=02ن(-1)كxكy2ن-ك=x2ن+1+y2ن+1،{\displaystyle (x+y)\sum _{k=0}^{2n}(-1)^{k}x^{k}y^{2n-k}=x^{2n+1}+y^{2n+1},}حيث ينتج عن ضرب كثيرتي حدود كثيرة حدود متفرقة. الشكل الطبيعي لبرينغ-جيرارد لدالة من الدرجة الخامسة،x5+صx+q،{\displaystyle x^{5}+px+q,}وهو أيضًا متعدد حدود متفرق.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ Rédei، L. (1973)، كثيرات الحدود اللاكونية على الحقول المحدودة ، ترجمة Földes، I.، Elsevier، MR 0352060 
  2. 1 2 خفانسكي، أ. ج. (1991)، الحدود القليلة ، ترجمات من دراسات رياضية، المجلد 88، ترجمة زدرافكوفسكا، سميلكا، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية، doi : 10.1090/mmono/088 ، ISBN  0-8218-4547-0MR 1108621​ 
  3. ↑ روش، دانيال س. (2018)، "ما الذي يمكننا (وما لا يمكننا) فعله باستخدام كثيرات الحدود المتفرقة؟"، في: كاورز، مانويل؛ أوفشينيكوف، أليكسي؛ شوست، إريك (محررون)، وقائع ندوة ACM الدولية لعام 2018 حول الحوسبة الرمزية والجبرية، ISSAC 2018، نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية، 16-19 يوليو 2018 ، رابطة آلات الحوسبة، ص 25-30 ، arXiv : 1807.08289 ، doi : 10.1145/3208976.3209027 ، ISBN  978-1-4503-5550-6، S2CID 49868973 
  4. ↑ ناكوس، فاسيليوس (2020)، "ضرب كثيرات الحدود المتفرقة شبه الأمثل"، معاملات IEEE في نظرية المعلومات ، 66 (11): 7231-7236 ، arXiv : 1901.09355 ، Bibcode : 2020ITIT...66.7231N ، doi : 10.1109/TIT.2020.2989385 ، MR 4173637 ، S2CID 59316578  
  5. ↑ جورجي، باسكال؛ غرينيه، برونو؛ بيريه دو كراي، أرميل (2020)، "الضرب الأمثل لكثيرات الحدود المتفرقة"، وقائع الندوة الدولية الخامسة والأربعين حول الحساب الرمزي والجبري (ISSAC '20) ، رابطة آلات الحوسبة، الصفحات 202-209 ، arXiv : 2001.11959 ، doi : 10.1145/3373207.3404026 ، ISBN  978-1-4503-7100-1، S2CID 211003922 
  6. ↑ جورجي، باسكال؛ غرينيه، برونو؛ بيريه دو كراي، أرميل (2021)، "حول القسمة الدقيقة واختبار قابلية القسمة لكثيرات الحدود المتفرقة"، وقائع الندوة الدولية لعام 2021 حول الحساب الرمزي والجبري (ISSAC '21)، رابطة آلات الحوسبة، الصفحات 163-170 ، arXiv : 2102.04826 ، doi : 10.1145/3452143.3465539 ، ISBN  978-1-4503-8382-0، S2CID 231855563 
  7. ↑ بان، فيكتور ي. (2020)، "تسريع إيجاد جذور التقسيم الفرعي لكثيرات الحدود المتفرقة"، الجبر الحاسوبي في الحوسبة العلمية ، سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب، المجلد 12291، تشام: سبرينغر، الصفحات 461-477 ، doi : 10.1007/978-3-030-60026-6_27 ، ISBN   978-3-030-60025-9، MR 4184190 ، S2CID 224820309  
  8. ↑ زيبيل، ريتشارد (1979)، "الخوارزميات الاحتمالية لكثيرات الحدود المتفرقة"، الحساب الرمزي والجبري (EUROSAM '79، الندوة الدولية، مرسيليا، 1979) ، سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب، المجلد 72، برلين، نيويورك: سبرينغر، الصفحات 216-226 ، MR 0575692   
  9. ↑ كوهين، إس دي؛ موحدي، أ؛ سالينيه، أ (1999)، "مجموعات غالوا للثلاثيات الحدودية"، مجلة الجبر ، 222 (2): 561-573 ، doi : 10.1006/jabr.1999.8033 ، MR 1734229 
  10. ^ أفيركوف، جينادي؛ شيديرر ، كلاوس (2023/03/07). “أجسام محدبة من منحنيات أحادية الحد، وإيجابية متناثرة”. أرخايف : 2303.03826 [ math.OC ].