التحويل ذو الحدين

في علم التوافيق ، يُعدّ التحويل الثنائي تحويلاً للمتتالية (أي تحويلاً للمتتالية ) يحسب فروقها الأمامية . وهو يرتبط ارتباطاً وثيقاً بتحويل أويلر ، الذي ينتج عن تطبيق التحويل الثنائي على المتتالية المرتبطة بدالة توليدها العادية .

التحويل الثنائي ، T ، لمتتالية { a _n } ، هو المتتالية { s _n } المعرفة بواسطة

$${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}a_{k}.}$$

رسميًا، يمكن للمرء أن يكتب

$${\displaystyle s_{n}=(تا)_{n}=\sum _{k=0}^{n}T_{nk}a_{k}}$$

بالنسبة للتحويل، حيث T هو مؤثر لا نهائي الأبعاد بعناصر مصفوفة T _nk . التحويل هو عملية عكسية ، أي

$${\displaystyle TT=1}$$

أو باستخدام ترميز الفهرس ،

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}T_{km}=\delta _{nm}}$$

أين${\displaystyle \delta _{nm}}$هي دلتا كرونكر . يمكن استعادة السلسلة الأصلية بواسطة

$${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}s_{k}.}$$

التحويل ذو الحدين لمتتالية ما هو ببساطة الفروق الأمامية من الرتبة n للمتتالية، مع كون الفروق الفردية تحمل إشارة سالبة، أي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=a_{0}\\s_{1}&=-(\Delta a)_{0}=-a_{1}+a_{0}\\s_{2}&=(\Delta ^{2}a)_{0}=-(-a_{2}+a_{1})+(-a_{1}+a_{0})=a_{2}-2a_{1}+a_{0}\\&\;\;\vdots \\s_{n}&=(-1)^{n}(\Delta ^{n}a)_{0}\end{aligned}}}$$

حيث Δ هو عامل الفرق الأمامي .

يُعرّف بعض المؤلفين التحويل ذي الحدين بإشارة إضافية، بحيث لا يكون معكوساً ذاتياً:

$${\displaystyle t_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n}{k}}a_{k}}$$

الذي معكوسه هو

$${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}t_{k}.}$$

في هذه الحالة، يُطلق على التحويل الأول اسم التحويل العكسي ذي الحدين ، بينما يُطلق على الثاني اسم التحويل ذي الحدين . وهذا استخدام شائع، كما هو الحال في الموسوعة الإلكترونية لتسلسلات الأعداد الصحيحة .

يظهر كلا شكلي التحويل ذي الحدين في جداول الفروق. انظر إلى جدول الفروق التالي:

كل سطر هو الفرق بين السطر السابق. ( الرقم n في السطر m هو a _{m , n} = 3 ^{n −2} (2 ^{m +1} n ² + 2 ^m (1+6 m ) n + 2 ^{m -1} 9 m ² )، ومعادلة الفرق a _{m +1, n} = a _{m , n +1} - a _{m , n} صحيحة.)

السطر العلوي المقروء من اليسار إلى اليمين هو { a _n } = 0, 1, 10, 63, 324, 1485, ... القطر الذي له نفس نقطة البداية 0 هو { t _n } = 0, 1, 8, 36, 128, 400, ... { t _n } هو التحويل الثنائي غير المتداخل لـ { a _n }.

السطر العلوي المقروء من اليمين إلى اليسار هو { b _n } = 1485، 324، 63، 10، 1، 0، ... القطر المتقاطع الذي له نفس نقطة البداية 1485 هو { s _n } = 1485، 1161، 900، 692، 528، 400، ... { s _n } هو التحويل الثنائي الانعكاسي لـ { b _n }.

يربط التحويل الدوال المولدة المرتبطة بالمتسلسلة. بالنسبة للدالة المولدة العادية ، لنفترض

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$$

و

$${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}}$$

ثم

$${\displaystyle g(x)=(Tf)(x)={\frac {1}{1-x}}f{\left({\frac {-x}{1-x}}\right)}.}$$

تُسمى العلاقة بين الدوال المولدة العادية أحيانًا بتحويل أويلر . ويظهر هذا التحويل عادةً بإحدى طريقتين مختلفتين. في إحدى صيغه، يُستخدم لتسريع تقارب متسلسلة متناوبة . أي أن لدينا متطابقة

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^{n}{\frac {(\Delta ^{n}a)_{0}}{2^{n+1}}}}$$

والتي يتم الحصول عليها بتعويض x = 1/2 في الصيغة الأخيرة أعلاه. عادةً ما تصبح الحدود الموجودة على الجانب الأيمن أصغر بكثير، وبسرعة أكبر، مما يسمح بإجراء عملية جمع عددية سريعة.

يمكن تعميم تحويل أويلر (بوريسوف ب. وشكودروف ف.، 2007):

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^{n}{\binom {n+p}{n}}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^{n}{\binom {n+p}{n}}{\frac {(\Delta ^{n}a)_{0}}{2^{n+p+1}}},}$$

حيث p = 0، 1، 2، ...

كما يتم تطبيق تحويل أويلر بشكل متكرر على تكامل أويلر الهندسي الفائق${\displaystyle \,_{2}F_{1}}$هنا، يأخذ تحويل أويلر الشكل التالي:

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,_{2}F_{1}\left(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}}\right).}$$

[انظر ^{[ 1 ]} للاطلاع على تعميمات لسلاسل فرط هندسية أخرى.]

يُعدّ التحويل ذو الحدين، وتنوعه كتحويل أويلر، جديرًا بالذكر لارتباطه بتمثيل العدد بالكسور المستمرة .${\displaystyle 0<x<1}$تمثيل الكسر المستمر

$${\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}$$

ثم

$${\displaystyle {\frac {x}{1-x}}=[0;a_{1}-1,a_{2},a_{3},\cdots ]}$$

و

$${\displaystyle {\frac {x}{1+x}}=[0;a_{1}+1,a_{2},a_{3},\cdots ].}$$

بالنسبة للدالة المولدة الأسية ، لنفترض

$${\displaystyle {\overline {f}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}$$

و

$${\displaystyle {\overline {g}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}$$

ثم

$${\displaystyle {\overline {g}}(x)=(T{\overline {f}})(x)=e^{x}{\overline {f}}(-x).}$$

سيحول تحويل بوريل الدالة المولدة العادية إلى الدالة المولدة الأسية.

يترك${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$و${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$لتكن متتابعات من الأعداد المركبة . ويُعرَّف التفافها الثنائي كما يلي: $${\displaystyle (a\circ b)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a_{k}b_{n-k},\ \ n=0,1,2,\ldots }$$ يمكن إيجاد هذا الالتفاف في كتاب آر إل غراهام، ودي إي كنوث، وأو باتاشنيك: الرياضيات الملموسة : أساس لعلوم الحاسوب، دار أديسون-ويسلي (1989). من السهل ملاحظة أن التفاف ذي الحدين تجميعي وتبديلي، والمتتالية${\displaystyle \{e_{n}\}}$محدد بواسطة${\displaystyle e_{0}=1}$و${\displaystyle e_{n}=0}$ل${\displaystyle n=1,2,\ldots ,}$تُستخدم كعنصر هوية في عملية الالتفاف الثنائي. علاوة على ذلك، من السهل ملاحظة أن المتتاليات${\displaystyle \{a_{n}\}}$مع${\displaystyle a_{0}\neq 0}$تمتلك معكوسًا. وبالتالي فإن مجموعة المتتاليات${\displaystyle \{a_{n}\}}$مع${\displaystyle a_{0}\neq 0}$يشكل زمرة أبيلية تحت عملية الالتفاف الثنائي.

ينشأ الالتفاف الثنائي بشكل طبيعي من حاصل ضرب الدوال المولدة الأسية. في الواقع، $${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }(a\circ b)_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$

يمكن كتابة التحويل ذي الحدين بدلالة الالتفاف ذي الحدين. ليكن${\displaystyle \lambda _{n}=(-1)^{n}}$و${\displaystyle 1_{n}=1}$للجميع${\displaystyle n}$. ثم $${\displaystyle (Ta)_{n}=(\lambda a\circ 1)_{n}.}$$ الصيغة $${\displaystyle t_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\left(-1\right)}^{n-k}{\binom {n}{k}}a_{k}\iff a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}t_{k}}$$ يمكن تفسيرها على أنها صيغة من نوع انعكاس موبيوس $${\displaystyle t_{n}=(a\circ \lambda )_{n}\iff a_{n}=(t\circ 1)_{n}}$$ منذ${\displaystyle \lambda _{n}}$هو عكس ${\displaystyle 1_{n}}$ تحت تأثير الالتفاف ذي الحدين.

يوجد أيضًا نوع آخر من الالتفاف الثنائي في الأدبيات الرياضية. وهو الالتفاف الثنائي للدوال الحسابية.${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$يُعرَّف بأنه $${\displaystyle (f\circ _{B}g)(n)=\sum _{d\mid n}\left(\prod _{p}{\binom {\nu _{p}(n)}{\nu _{p}(d)}}\right)f(d)g(n/d),}$$ أين${\displaystyle n=\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}}$هو التحليل الكنسي لعدد صحيح موجب${\displaystyle n}$و${\displaystyle {\binom {\nu _{p}(n)}{\nu _{p}(d)}}}$هو معامل ذي الحدين . يظهر هذا الالتفاف في كتاب بي جيه مكارثي (1986) وتمت دراسته بشكل أكبر من قبل إل توث وبي هوكانين (2009).

عندما يمكن استكمال المتتالية بواسطة دالة تحليلية معقدة ، يمكن تمثيل التحويل ذي الحدين للمتتالية عن طريق تكامل نورلوند-رايس على دالة الاستكمال.

يقدم برودينجر تحويلاً مشابهاً يشبه التحويل النمطي : السماح

$${\displaystyle u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}{\left(-c\right)}^{n-k}b_{k}}$$

أعطِ

$${\displaystyle U(x)={\frac {1}{cx+1}}B{\left({\frac {ax}{cx+1}}\right)}}$$

حيث U و B هما الدالتان المولدتان العاديتان المرتبطتان بالمتسلسلة${\displaystyle \{u_{n}\}}$و${\displaystyle \{b_{n}\}}$، على التوالى.

يُعرَّف تحويل k- ذو الحدين الصاعد أحيانًا على النحو التالي:

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}j^{k}a_{j}.}$$

التحويل الثنائي k المتناقص هو

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}j^{n-k}a_{j}.}$$

كلاهما هما تشاكلات لنواة تحويل هانكل لسلسلة .

في حالة تعريف التحويل ذي الحدين على النحو التالي

$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\left(-1\right)}^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}=b_{n}.}$$

لنفترض أن هذا يساوي الدالة${\displaystyle {\mathfrak {J}}(a)_{n}=b_{n}.}$

إذا تم إنشاء جدول فرق أمامي جديد ، وتم أخذ العناصر الأولى من كل صف في هذا الجدول لتشكيل تسلسل جديد${\displaystyle \{b_{n}\}}$إذن، يكون التحويل الثنائي الثاني للمتتالية الأصلية هو:

$${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{2}(a)_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-2)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}.}$$

إذا تكررت نفس العملية k مرة، فإنه يترتب على ذلك،

$${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{k}(a)_{n}=b_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-k)^{n-i}{\binom {n}{i}}a_{i}.}$$

وعكسه هو،

$${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{-k}(b)_{n}=a_{n}=\sum _{i=0}^{n}k^{n-i}{\binom {n}{i}}b_{i}.}$$

ويمكن تعميم ذلك على النحو التالي:

$${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{k}(a)_{n}=b_{n}=(\mathbf {E} -k)^{n}a_{0}}$$

أين${\displaystyle \mathbf {E} }$هو عامل المناوبة .

معكوسه هو

$${\displaystyle {\mathfrak {J}}^{-k}(b)_{n}=a_{n}=(\mathbf {E} +k)^{n}b_{0}.}$$

• سلسلة نيوتن
• مصفوفة هانكل
• تحويل موبيوس
• تحويل ستيرلينغ
• مجموع أويلر
• توزيع ثنائي الحد QMF
• تكامل ريمان-ليوفيل
• قائمة بمواضيع المضروب والثنائي

• جون إتش. كونواي وريتشارد ك. جاي، 1996، كتاب الأعداد
• دونالد إي. كنوث، فن برمجة الحاسوب المجلد 3 ، (1973) أديسون ويسلي، ريدينغ، ماساتشوستس.
• هيلموت برودينجر، بعض المعلومات حول التحويل ذي الحدين ، مجلة فيبوناتشي الفصلية 32 (1994)، 412-415.
• سبيفي، مايكل ز.؛ ستيل، لورا ل. (2006). "تحويلات ذات الحدين k وتحويل هانكل" . مجلة متواليات الأعداد الصحيحة . 9 : 06.1.1. رمز Bibcode : 2006JIntS...9...11S .
• بوريسوف، ب.؛ شكودروف، ف. (2007). "المتسلسلات المتباعدة في التحويل ذي الحدين المعمم" . دراسات متقدمة في الرياضيات التداخلية . 14 (1): 77-82 .
• خريستو ن. بويادجييف، ملاحظات حول التحويل ذي الحدين ، النظرية والجدول، مع ملحق حول تحويل ستيرلينغ (2018)، وورلد ساينتيفيك.
• RL Graham و DE Knuth و O. Patashnik: الرياضيات الملموسة: أساس لعلوم الحاسوب، Addison-Wesley (1989).
• بي جيه مكارثي، مقدمة في الدوال الحسابية، سبرينغر-فيرلاغ، 1986.
• P. Haukkanen، حول التواء ذي الحدين للوظائف الحسابية، Nieuw Arch. ويسك. (رابعا) 14 (1996)، لا. 2, 209--216.
• L. Toth and P. Haukkanen, On the binomial convolution of arithmetical functions, J. Combinatorics and Number Theory 1(2009), 31–48.
• ب. هاوكانين، بعض عمليات الانعكاس ذات الحدين بدلالة الدوال المولدة العادية. منشورات الرياضيات ديبر. 47، العدد 1-2، 181-191 (1995).

• التحويل الثنائي على موقع Wolfram MathWorld
• التحويل ذو الحدين في ويكي OEIS