تسارع السلسلة

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 28 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف طريقة تسريع المتسلسلات بأنها أيٌّ من مجموعة تحويلات المتتابعات التي تُحسِّن معدل تقارب المتسلسلة . تُستخدم تقنيات تسريع المتسلسلات بكثرة في التحليل العددي ، حيث تُسهم في تسريع التكامل العددي . كما يُمكن استخدام هذه التقنيات، على سبيل المثال، للحصول على مجموعة متنوعة من المتطابقات على الدوال الخاصة . فعلى سبيل المثال، يُعطي تحويل أويلر المُطبَّق على متسلسلة فرط هندسية بعضًا من متطابقات متسلسلة فرط هندسية الكلاسيكية والمعروفة.

تعريف

بفرض وجود متسلسلة لانهائية مع سلسلة من المجاميع الجزئية

(Sن)ن∈شمال{\displaystyle (S_{n})_{n\in \mathbb {N} }}

وجود حد

ليمن→∞Sن=S،{\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=S,}

المتسلسلة المتسارعة هي متسلسلة لانهائية ذات متتالية ثانية من المجاميع الجزئية

(Sن′)ن∈شمال{\displaystyle (S'_{n})_{n\in \mathbb {N} }}

والتي تتقارب بشكل أسرع إلىS{\displaystyle S}مما ستكون عليه سلسلة المجاميع الجزئية الأصلية:

ليمن→∞Sن′-SSن-S=0.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {S'_{n}-S}{S_{n}-S}}=0.}

طريقة تسريع المتسلسلة هي تحويل للمتتابعات يُحوّل المتتابعات المتقاربة من المجاميع الجزئية لمتسلسلة ما إلى متتابعات أسرع تقاربًا من المجاميع الجزئية لمتسلسلة مُسرّعة لها نفس النهاية. إذا طُبّقت طريقة تسريع المتسلسلة على متسلسلة متباعدة ، فإن النهاية الصحيحة للمتسلسلة تكون غير مُعرّفة، ولكن يمكن أن يظل تحويل المتتابعة مفيدًا كطريقة استقراء إلى نهاية عكسية للمتسلسلة.

قد تكون التحويلات من السلسلة الأصلية إلى السلسلة المُحوَّلة تحويلات خطية أو غير خطية. وبشكل عام، تميل التحويلات غير الخطية إلى أن تكون أكثر فعالية.

ملخص

من التقنيات الكلاسيكية لتسريع المتسلسلات تحويل أويلر للمتسلسلات [ 1 ] وتحويل كومر للمتسلسلات [ 2 ] . وقد طُوِّرت في القرن العشرين مجموعة متنوعة من الأدوات ذات التقارب الأسرع بكثير والحالات الخاصة، بما في ذلك استقراء ريتشاردسون ، الذي قدمه لويس فراي ريتشاردسون في أوائل القرن العشرين، والذي كان معروفًا أيضًا واستخدمه كاتاهيرو تاكيب في عام 1722؛ وعملية دلتا تربيع لأيتكن ، التي قدمها ألكسندر أيتكن في عام 1926، والتي كان معروفًا أيضًا واستخدمه تاكاكازو سيكي في القرن الثامن عشر؛ وطريقة إبسيلون التي قدمها بيتر وين في عام 1956؛ وتحويل ليفين يو؛ وطريقة ويلف-زيلبرغر-إخاد أو طريقة WZ .

بالنسبة للسلاسل المتناوبة ، هناك العديد من التقنيات الفعالة التي توفر معدلات تقارب من5.828-ن{\displaystyle 5.828^{-n}}على طول الطريق إلى17.93-ن{\displaystyle 17.93^{-n}}للحصول على ملخص لـن{\displaystyle n}المصطلحات، كما وصفها كوهين وآخرون [ 3 ]

تحويل أويلر

يُعد تحويل أويلر مثالًا أساسيًا على تحويل المتتابعات الخطية ، إذ يُحسّن من تقارب الحل. وهو مُصمم للتطبيق على المتسلسلة المتناوبة، ويُعطى بالصيغة التالية:

∑ن=0∞(-1)نأن=∑ن=0∞(-1)ن(Δنأ)02ن+1{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(\Delta ^{n}a)_{0}}{2^{n+1}}}}

أينΔ{\displaystyle \Delta }هو عامل الفرق الأمامي ، والذي لدينا الصيغة التالية له

(Δنأ)0=∑ك=0ن(-1)ك(نك)أن-ك.{\displaystyle (\Delta ^{n}a)_{0}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{nk}.}

إذا كانت السلسلة الأصلية، على الجانب الأيسر، تتقارب ببطء فقط، فإن الفروق الأمامية ستميل إلى أن تصبح صغيرة بسرعة كبيرة؛ كما أن القوة الإضافية للعدد اثنين تعمل على تحسين معدل تقارب الجانب الأيمن.

يُعد تحويل فان وينجاردن أحد أكثر التطبيقات العددية فعالية لتحويل أويلر . [ 4 ]

التحويلات المطابقة

سلسلة

S=∑ن=0∞أن{\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty}a_{n}}

يمكن كتابتها على النحو التاليو(1){\displaystyle f(1)}حيث تُعرَّف الدالة f على النحو التالي:

و(z)=∑ن=0∞أنzن.{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}.}

الوظيفةو(z){\displaystyle f(z)}قد تحتوي المتسلسلة على نقاط تفرد في المستوى المركب ( نقاط تفرد التفرع ، أو الأقطاب ، أو نقاط التفرد الأساسية )، مما يحد من نصف قطر تقارب المتسلسلة. إذا كانت النقطةz=1{\displaystyle z=1}إذا كانت قريبة من أو على حدود قرص التقارب، فإن المتسلسلة لـS{\displaystyle S}سيتقارب ببطء شديد. يمكن بعد ذلك تحسين تقارب المتسلسلة عن طريق تحويل متطابق ينقل النقاط الشاذة بحيث تصبح النقطة التي يتم تحويلها إلىz=1{\displaystyle z=1}ينتهي به المطاف أعمق في قرص التقارب الجديد.

التحويل المطابقz=Φ(w){\displaystyle z=\Phi (w)}يجب اختيارها بحيثΦ(0)=0{\displaystyle \Phi (0)=0}وعادةً ما يتم اختيار دالة لها مشتقة محدودة عند w = 0. ويمكن افتراض أنΦ(1)=1{\displaystyle \Phi (1)=1}دون فقدان للعمومية، حيث يمكن دائمًا إعادة قياس w لإعادة تعريفهاΦ{\displaystyle \Phi }ثم ننظر في الدالة

ز(w)=و(Φ(w)).{\displaystyle g(w)=f(\Phi (w)).}

منذΦ(1)=1{\displaystyle \Phi (1)=1}لديناو(1)=ز(1){\displaystyle f(1)=g(1)}يمكننا الحصول على متسلسلة تايلور لـز(w){\displaystyle g(w)}عن طريق وضعz=Φ(w){\displaystyle z=\Phi (w)}في سلسلة التوسع لـو(z){\displaystyle f(z)}لأنΦ(0)=0{\displaystyle \Phi (0)=0}؛ الأولن{\displaystyle n}شروط توسيع السلسلة لـو(z){\displaystyle f(z)}سيُسفر ذلك عن النتيجة الأولىن{\displaystyle n}شروط توسيع السلسلة لـز(w){\displaystyle g(w)}لوΦ′(0)≠0{\displaystyle \Phi '(0)\neq 0}وضعw=1{\displaystyle w=1}وبالتالي فإن توسيع تلك السلسلة سيؤدي إلى سلسلة بحيث إذا تقاربت، فإنها ستتقارب إلى نفس قيمة السلسلة الأصلية.

تحويلات التسلسل غير الخطية

ومن أمثلة تحويلات التسلسل غير الخطية هذه تقريبات باديه ، وتحويل شانكس ، وتحويلات التسلسل من نوع ليفين .

توفر تحويلات التسلسل غير الخطية على وجه الخصوص طرقًا عددية قوية لجمع السلاسل المتباعدة أو السلاسل التقاربية التي تنشأ على سبيل المثال في نظرية الاضطراب ، وبالتالي يمكن استخدامها كطرق استقراء فعالة .

طريقة أيتكين

يُعدّ استقراء أيتكن أو طريقة دلتا تربيع تحويلاً بسيطاً للمتتاليات غير الخطية.

أ:S→S′=أ(S)=(sن′)ن∈شمال{\displaystyle \mathbb {A} :S\to S'=\mathbb {A} (S)={(s'_{n})}_{n\in \mathbb {N} }}

محدد بواسطة

sن′=sن+2-(sن+2-sن+1)2sن+2-2sن+1+sن.{\displaystyle s'_{n}=s_{n+2}-{\frac {(s_{n+2}-s_{n+1})^{2}}{s_{n+2}-2s_{n+1}+s_{n}}}.}

يُستخدم هذا التحويل بشكل شائع لتحسين معدل تقارب المتتالية بطيئة التقارب؛ ومن الناحية الاستدلالية، فإنه يزيل الجزء الأكبر من الخطأ المطلق .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن ، محرران (1983) [يونيو 1964]. "الفصل 3، المعادلة 3.6.27" . دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد  55 (الطبعة التاسعة المعاد طباعتها مع تصحيحات إضافية للطبعة العاشرة الأصلية مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛  الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ص  16. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   
  2. ↑ أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن ، محرران (1983) [يونيو 1964]. "الفصل 3، المعادلة 3.6.26" . دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد 55 (الطبعة التاسعة المعاد طباعتها مع تصحيحات إضافية للطبعة العاشرة الأصلية مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛ الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ص 16. ISBN    978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   
  3. ↑ هنري كوهين ، فرناندو رودريغيز فيليغاس، ودون زاغير ، " تسارع تقارب المتسلسلات المتناوبة "، الرياضيات التجريبية ، 9 :1 (2000) الصفحة 3.
  4. ↑ ويليام هـ. بريس وآخرون ، وصفات عددية بلغة سي ، (1987) مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-43108-5(انظر القسم 5.1).
  • C. Brezinski و M. Redivo Zaglia ، أساليب الاستقراء. النظرية والتطبيق ، نورث هولاند، 1991.
  • GA Baker Jr. و P. Graves-Morris، Padé Approximants ، Cambridge UP، 1996.
  • وايسستين، إريك دبليو. “تحسين التقارب” . عالم الرياضيات .
  • هربرت إتش إتش هوميير: تحويلات متتابعة من نوع ليفين القياسي ، مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية، المجلد 122، العدد 1-2، ص 81 (2000). هوميير، إتش إتش إتش (2000). "تحويلات متتابعة من نوع ليفين القياسي". مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية . 122 ( 1-2 ): 81-147 . arXiv : math/0005209 . Bibcode : 2000JCoAM.122...81H . doi : 10.1016/S0377-0427(00)00359-9 .، arXiv : math/0005209 .
  • بريزينسكي كلود وريديفو-زاجليا ميشيلا  : "نشأة وتطورات عملية أيتكن المبكرة، وتحويل شانكس، وϵ{\displaystyle \epsilon }-الخوارزمية، وطرق النقطة الثابتة ذات الصلة،" الخوارزميات العددية، المجلد 80، العدد 1، (2019)، ص 11-133.
  • Delahaye JP  : “Sequence Transformations”، Springer-Verlag، Berlin، ISBN 978-3540152835 (1988).
  • سيدي أفرام  : "طرق استقراء المتجهات مع التطبيقات"، SIAM، ISBN 978-1-61197-495-9 (2017).
  • بريزينسكي كلود، ريديفو-زاجليا ميشيلا وسعد يوسف  : "تحويلات متسلسلة شانكس وتسريع أندرسون"، مجلة SIAM، المجلد 60، العدد 3 (2018)، الصفحات 646-669. doi:10.1137/17M1120725.
  • بريزينسكي كلود  : "ذكريات بيتر وين "، الخوارزميات العددية، المجلد 80 (2019)، الصفحات 5-10.
  • Brezinski Claude and Redivo-Zaglia Michela  : "Extrapolation and Rational Approsimation", Springer, ISBN 978-3-030-58417-7 (2020).