توزيع بيرنباوم-سوندرز

يُعدّ توزيع بيرنباوم-سوندرز ، المعروف أيضاً بتوزيع عمر الإجهاد ، توزيعاً احتمالياً يُستخدم على نطاق واسع في تطبيقات الموثوقية لنمذجة أوقات الفشل. وتوجد عدة صيغ بديلة لهذا التوزيع في المراجع العلمية. وقد سُمّي نسبةً إلى زي دبليو بيرنباوم وإس سي سوندرز.

طُوِّر هذا التوزيع لمحاكاة حالات الفشل الناتجة عن الشقوق. تُعرَّض المادة لدورات متكررة من الإجهاد. تؤدي الدورة ^رقم n إلى زيادة في الشق بمقدار${\displaystyle X_{n}}$المبلغ. إذا افترضنا الزيادات${\displaystyle X_{n}}$إذا كانت المتغيرات مستقلة ومتطابقة التوزيع، فسيكون مجموعها موزّعًا توزيعًا طبيعيًا بمتوسط ​​nμ وتباين nσ² ^. احتمال ألا يتجاوز طول الشق طولًا حرجًا ω هو

${\displaystyle P\left(\sum _{j=1}^{n}X_{j}\leq \omega \right)=\Phi \left({\frac {\omega -n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}\right)}$

أين${\displaystyle \Phi ()}$دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي. أما إذا اعتبرنا أن T هو عدد دورات الفشل، فإن دالة التوزيع التراكمي لـ T هي

${\displaystyle P(T\leq t)=1-\Phi \left({\frac {\omega -t\mu }{\sigma {\sqrt {t}}}}\right)=\Phi \left({\frac {t\mu -\omega }{\sigma {\sqrt {t}}}}\right)=\Phi \left({\frac {\mu {\sqrt {t}}}{\sigma }}-{\frac {\omega }{\sigma {\sqrt {t}}}}\right)=\Phi \left({\frac {\sqrt {\mu \omega }}{\sigma }}\left[\left({\frac {t}{\omega /\mu }}\right)^{1/2}-\left({\frac {\omega /\mu }{t}}\right)^{1/2}\right]\right)}$

بما أن تفاصيل العملية الأساسية غير معروفة، فعادةً ما تتم إعادة تحديد هذه المعلمات على النحو التالي:

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=\Phi \left({\frac {1}{\alpha }}\left[\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{1/2}-\left({\frac {\beta }{x}}\right)^{1/2}\right]\right)}$

حيث α هو معامل الشكل و β هو معامل المقياس . قد تظل هذه المجموعة من التوزيعات بمثابة تقريب جيد لتوزيع وقت الفشل حتى عندما لا يتم الالتزام التام بافتراضات الاشتقاق.

توزيع بيرنباوم-سوندرز أحادي النمط مع وسيط β .

المتوسط ​​( μ ) والتباين (σ ² ) والتواء ( γ ) والتفرطح ( κ ) هي كما يلي :

${\displaystyle \mu =\beta \left(1+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=(\alpha \beta )^{2}\left(1+{\frac {5\alpha ^{2}}{4}}\right)}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {4\alpha (11\alpha ^{2}+6)}{(5\alpha ^{2}+4)^{\frac {3}{2}}}}}$

${\displaystyle \kappa =3+{\frac {6\alpha ^{2}(93\alpha ^{2}+40)}{(5\alpha ^{2}+4)^{2}}}}$

بالنظر إلى مجموعة بيانات يُعتقد أنها موزعة وفقًا لتوزيع بيرنباوم-سوندرز، فإن قيم المعلمات يتم تقديرها على أفضل وجه عن طريق الاحتمال الأقصى .

إذا كان T موزعًا وفقًا لتوزيع بيرنباوم-سوندرز بالمعاملات α و β، فإن T ⁻¹ موزع أيضًا وفقًا لتوزيع بيرنباوم-سوندرز بالمعاملات α و β ⁻¹ .

الصيغة العامة لدالة كثافة الاحتمال (pdf) هي

${\displaystyle f(x)={\frac {{\sqrt {\frac {x-\mu }{\beta }}}+{\sqrt {\frac {\beta }{x-\mu }}}}{2\gamma \left(x-\mu \right)}}\phi \left({\frac {{\sqrt {\frac {x-\mu }{\beta }}}-{\sqrt {\frac {\beta }{x-\mu }}}}{\gamma }}\right)\quad x>\mu$ ;\gamma ,\beta >0}

حيث γ هو معامل الشكل ، وμ هو معامل الموقع ، وβ هو معامل المقياس ، و${\displaystyle \phi }$هي دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي القياسي .

تُسمى الحالة التي يكون فيها μ = 0 و β = 1 بتوزيع عمر الإجهاد القياسي . ويُختزل توزيع كثافة الاحتمال لتوزيع عمر الإجهاد القياسي إلى

${\displaystyle f(x)={\frac {{\sqrt {x}}+{\sqrt {\frac {1}{x}}}}{2\gamma x}}\phi \left({\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {1}{x}}}}{\gamma }}\right)\quad x>0;\gamma >0}$

بما أن الشكل العام لدوال الاحتمال يمكن التعبير عنه بدلالة التوزيع القياسي، فإن جميع الصيغ اللاحقة تُعطى للشكل القياسي للدالة.

صيغة دالة التوزيع التراكمي هي

${\displaystyle F(x)=\Phi \left({\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {1}{x}}}}{\gamma }}\right)\quad x>0;\gamma >0}$

حيث Φ هي دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي القياسي.

صيغة دالة الكمية هي

${\displaystyle G(p)={\frac {1}{4}}\left[\gamma \Phi ^{-1}(p)+{\sqrt {4+\left(\gamma \Phi ^{-1}(p)\right)^{2}}}\right]^{2}}$

حيث Φ ^{− 1} هي دالة الكمية للتوزيع الطبيعي القياسي. 

يمكن إثبات أن توزيع بيرنباوم-سوندرز هو نتيجة مزيج متساوٍ بين توزيع غاوسي معكوس وتوزيع غاوسي معكوس متبادل.

يمكن تصور هذه الخاصية من خلال النظر في عملية وينر مع الانجراف: سيكون لوقت الوصول الأول إلى نقطة ما توزيع غاوسي معكوس، وسيكون لوقت الوصول الأخير إلى تلك النقطة توزيع غاوسي معكوس متبادل، وسيمثل توزيع بيرنباوم-سوندرز احتمال أن تكون العملية قد تجاوزت النقطة بغض النظر عن عدد المرات التي مرت بها أو ستمر بها.

• بيرنباوم، زد دبليو ؛ سوندرز، إس سي (1969)، "عائلة جديدة من توزيعات الحياة" ، مجلة الاحتمالات التطبيقية ، 6 (2): 319-327 ، doi : 10.2307/3212003 ، JSTOR 3212003 ، مؤرشف من الأصل في 23 سبتمبر 2017 
• ديزموند، أ. ف. (1985)، "نماذج عشوائية للفشل في بيئات عشوائية"، المجلة الكندية للإحصاء ، 13 (3): 171-183 ، doi : 10.2307/3315148 ، JSTOR 3315148 
• جونسون، ن.؛ كوتز، س.؛ بالاكريشنان، ن. (1995)، التوزيعات أحادية المتغير المستمرة ، المجلد  2 (  الطبعة الثانية)، نيويورك: وايلي
• ليمونتي، أ. ج.؛ كريباري-نيتو، ف.؛ فاسكونسيلوس، ك. ل. ب. (2007)، "تحسين الاستدلال الإحصائي لتوزيع بيرنباوم - سوندرز ذي المعلمتين "، الإحصاءات الحاسوبية وتحليل البيانات ، 51 (9): 4656-4681 ، doi : 10.1016/j.csda.2006.08.016
• ليمونتي، أ. ج.؛ سيماس، أ. ب.؛ كريباري-نيتو، ف. (2008)، "مُقدِّرات مُحسَّنة قائمة على إعادة التوزيع لتوزيع بيرنباوم - سوندرز ذي المعلمتين" ، مجلة الحساب الإحصائي والمحاكاة ، 78 : 37-49 ، doi : 10.1080/10629360600903882
• كورديرو، جي إم؛ ليمونتي، إيه جيه (2011)، "توزيع بيتا-بيرنباوم-سوندرز: توزيع مُحسَّن لنمذجة عمر الإجهاد"، الإحصاءات الحاسوبية وتحليل البيانات ، 55 (3): 1445-1461 ، doi : 10.1016/j.csda.2010.10.007

• توزيع عمر الإجهاد

 تتضمن هذه المقالة موادًا متاحة للعموم من المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا