شفرة (هندسة)

الموسوعة الحرة
العلاقات بين الكميات القياسية والمتجهةك{\displaystyle k}-شفرات (بسيطة)ك{\displaystyle k}(المتجهات)، وك{\displaystyle k}المتجهات.

في دراسة الجبر الهندسي ، يعتبر k -blade أو k -vector البسيط تعميمًا لمفهوم الكميات القياسية والمتجهات ليشمل المتجهات الثنائية البسيطة ، والمتجهات الثلاثية ، وما إلى ذلك . على وجه التحديد، فإن k -blade هو متجه k يمكن التعبير عنه كحاصل ضرب خارجي (بشكل غير رسمي حاصل ضرب إسفيني ) لمتجهات 1، وهو من الدرجة k .

بالتفصيل: [ 1 ]

  • الشفرة الصفرية هي كمية قياسية .
  • الشفرة الواحدة هي متجه . كل متجه بسيط.
  • المتجه ذو الشفرتين هو متجه ثنائي بسيط . مجموع المتجهات ذات الشفرتين هو أيضاً متجه ثنائي، ولكنه ليس بسيطاً دائماً. يمكن التعبير عن المتجه ذي الشفرتين كحاصل ضرب خارجي لمتجهين a و b .
    أ∧ب.{\displaystyle a\wedge b.}
  • المتجه الثلاثي هو متجه ثلاثي بسيط، أي أنه يمكن التعبير عنه كحاصل ضرب خارجي لثلاثة متجهات a و b و c :
    أ∧ب∧ج.{\displaystyle a\wedge b\wedge c.}
  • في الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد ≤ 3، يُمثل كل متجه من الرتبة k شفرة. أما في الأبعاد ≥ 4، فتوجد متجهات من الرتبة k (بدءًا من الدرجة 2) لا تُمثل شفرات. وهذا ما يجعل التمييز بينها مهمًا، لأنه في الأبعاد الأعلى، لا تتوافق معظم متجهات الرتبة k مع أي فضاء جزئي، مما يستلزم تعريف الشفرات بشكل منفصل عن متجهات الرتبة k لتحديد متجهات الرتبة k التي تُمثلها فعليًا.
  • في فضاء متجهي ذي بُعد n ، يُطلق على النصل من الدرجة n − 1 اسم متجه زائف [ 2 ] أو متجه مضاد . [ 3 ]
  • يُطلق على العنصر ذي الدرجة الأعلى في الفضاء اسم شبه قياسي ، وفي فضاء ذي بُعد n يُطلق عليه اسم شفرة n . [ 4 ]
  • في فضاء متجهي ذي بُعد n ، يوجد k ( n − k ) + 1 بُعدًا من الحرية في اختيار شفرة k لـ 0 ≤ k ≤ n ، أحد هذه الأبعاد هو مُضاعِف القياس الكلي. [ 5 ]

يمكن تمثيل فضاء متجهي جزئي ذي بُعد محدود k بواسطة شفرة k- ية مُشكَّلة كحاصل ضرب خارجي لجميع عناصر أساس ذلك الفضاء الجزئي. [ 6 ] في الواقع، تُكافئ الشفرة k- ية فضاءً جزئيًا k-يًا بشكل طبيعي ، حتى عامل قياسي. عندما يُزوَّد الفضاء بصيغة حجمية ( دالة قياسية متعددة الخطية متناوبة k-ية )، يمكن تطبيع هذه الشفرة k- ية لتأخذ قيمة الوحدة، مما يجعل التطابق فريدًا حتى إشارة.

أمثلة

في الفضاء ثنائي الأبعاد، يتم وصف الكميات القياسية بأنها 0-شفرات، والمتجهات بأنها 1-شفرات، وعناصر المساحة بأنها 2-شفرات في هذا السياق تُعرف باسم الكميات القياسية الزائفة ، لأنها عناصر من فضاء أحادي البعد يختلف عن الكميات القياسية العادية.

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، تُعتبر الشفرات الصفرية كميات قياسية، بينما تُعتبر الشفرات الأحادية متجهات ثلاثية الأبعاد، أما الشفرات الثنائية فهي عناصر مساحة موجهة. في هذه الحالة، تُسمى الشفرات الثلاثية بالكميات القياسية الزائفة، وهي تمثل عناصر حجم ثلاثية الأبعاد، تُشكل فضاءً متجهيًا أحادي البعد مشابهًا للكميات القياسية. على عكس الكميات القياسية، تتحول الشفرات الثلاثية وفقًا لمحدد جاكوبي لدالة تغيير الإحداثيات .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ ماركوس أ. رودريغز (2000). "§1.2 الجبر الهندسي: موجز" . الثوابت للتعرف على الأنماط وتصنيفها . وورلد ساينتيفيك. ص  3 وما يليها . ISBN 981-02-4278-6.
  2. ↑ ويليام إي بايليس (2004). "§4.2.3 المتجهات المتعددة من الدرجة العليا في Cℓ n : الثنائيات" . محاضرات في جبر كليفورد (الهندسي) وتطبيقاته . بيركهاوزر. ص 100. ISBN  0-8176-3257-3.
  3. ↑ لينجيل، إريك (2016). أسس تطوير محركات الألعاب، المجلد 1: الرياضيات . شركة تيراثون للبرمجيات. رقم ISBN 978-0-9858117-4-7.
  4. ↑ جون أ. فينس (2008). الجبر الهندسي لرسومات الحاسوب . سبرينغر. ص 85. ISBN  978-1-84628-996-5.
  5. ↑ بالنسبة لنظرية غراسمان (بما في ذلك النتيجة المتعلقة بالبعد)، يُعد كتاب: غريفيث، فيليب ؛ هاريس، جوزيف (1994)، مبادئ الهندسة الجبرية ، مكتبة وايلي كلاسيكس، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، ISBN 978-0-471-05059-9MR 1288523​ إن إثبات الأبعاد في الواقع أمرٌ بسيط. خذ الضرب الخارجي لـ k متجهاتv1∧⋯∧vك{\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}}ثم قم بإجراء عمليات عمودية أولية على هذه (بإخراج المحاور) حتى تصبح الكتلة العلوية k × k عبارة عن متجهات أساسية أولية منFك{\displaystyle \mathbb {F} ^{k}}ثم يُعطى حاصل الضرب الخارجي بمعامل حاصل ضرب المحاور والكتلة السفلية k × ( n − k ) . قارن ذلك أيضًا ببعد فضاء غراسمان ، k ( n − k ) ، حيث يُحذف المضاعف القياسي.
  6. ↑ ديفيد هيستينز (1999). أسس جديدة للميكانيكا الكلاسيكية: النظريات الأساسية للفيزياء . سبرينغر. ص 54. ISBN  0-7923-5302-1.

مراجع