جبر كليفورد

ترتبط جبريات كليفورد ارتباطًا وثيقًا بالجبريات الخارجية . في الواقع، إذا كانت Q = 0، فإن جبر كليفورد Cl( V , Q ) هو ببساطة الجبر الخارجي ⋀V . عندما يكون 2 قابلاً للعكس في الحقل الأساسي K ، يوجد تماثل خطي أساسي بين ⋀V و Cl( V , Q ) . أي أنهما متماثلان طبيعيًا كفضاءات متجهة، ولكن مع عمليات ضرب مختلفة (في حالة الخاصية 2، يظلان متماثلين كفضاءات متجهة، ولكن ليس بشكل طبيعي) . يُعد ضرب كليفورد مع الفضاء الجزئي المميز أغنى من الضرب الخارجي لأنه يستفيد من المعلومات الإضافية التي يوفرها Q.  

جبر كليفورد هو جبر مرشح ؛ والجبر المتدرج المرتبط به هو الجبر الخارجي.

وبشكل أكثر دقة، يمكن اعتبار جبر كليفورد بمثابة تكميمات (انظر المجموعة الكمومية ) للجبر الخارجي، بنفس الطريقة التي يكون بها جبر ويل تكميمًا للجبر المتناظر .

تسمح جبريات ويل وجبريات كليفورد ببنية إضافية من الجبر * ، ويمكن توحيدها كحدود زوجية وفردية لجبر فائق ، كما تمت مناقشته في جبريات CCR و CAR .

يُشار أحيانًا إلى جبر كليفورد باسم الجبر الهندسي ، وغالبًا ما يكون ذلك على الأعداد الحقيقية.

كل شكل تربيعي غير منحل على فضاء متجهي حقيقي ذي أبعاد محدودة يكافئ الشكل القطري القياسي: $${\displaystyle Q(v)=v_{1}^{2}+\dots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\dots -v_{p+q}^{2},}$$ حيث n = p + q هو بُعد الفضاء المتجهي. يُطلق على زوج الأعداد الصحيحة ( p , q ) اسم إشارة الصيغة التربيعية. يُرمز للفضاء المتجهي الحقيقي ذي هذه الصيغة التربيعية غالبًا بالرمز R_{^{p , q}} . يُرمز لجبر كليفورد على R_{^{p , q}} بالرمز Cl _{_{p , q}} ( R ). يُشير الرمز Cl _{_n} ( R ) إما إلى Cl _{_{n ,0}} ( R ) أو Cl _{_{0, n}} ( R ) ، وذلك بحسب ما إذا كان المؤلف يُفضل الفضاءات الموجبة المحددة أو السالبة المحددة.

تتكون القاعدة القياسية { e1 _, ..., en _} للفضاء R ^{(p , q)} من n = p + q متجهات متعامدة، مربع p منها يساوي +1 ومربع q منها يساوي -1 . وبناءً على هذه القاعدة، فإن الجبر Cl( _{p , q} ( R )) سيحتوي على p متجهات مربعها يساوي +1 و q متجهات مربعها يساوي -1 .  

من الأمثلة على الحالات ذات الأبعاد المنخفضة ما يلي:

• Cl _0,0 ( R ) متماثل بشكل طبيعي مع R لأنه لا توجد متجهات غير صفرية.
• Cl _0,1 ( R ) هو جبر ثنائي الأبعاد مولد بواسطة e ₁ مربعه يساوي −1 ، وهو متماثل جبرياً مع C ، حقل الأعداد المركبة .
• Cl _1,0 ( R ) هو جبر ثنائي الأبعاد مولد بواسطة e ₁ مربعه يساوي 1 ، وهو متماثل جبريًا مع الأعداد المركبة المنقسمة .
• Cl _0,2 ( R ) هو جبر رباعي الأبعاد يمتد بواسطة {1, e ₁ , e ₂ , e ₁ e ₂ } . العناصر الثلاثة الأخيرة مربعة جميعها تساوي -1 وهي مضادة للتبادل، وبالتالي فإن الجبر متماثل مع الكواترنيونات H . 
• Cl _2,0 ( R ) ≅ Cl _1,1 ( R ) متماثل مع جبر الرباعيات المنقسمة .
• Cl _0,3 ( R ) هو جبر ثماني الأبعاد متماثل مع المجموع المباشر H ⊕ H ، ثنائيات الرباعيات المنقسمة .
• Cl _3,0 ( R ) ≅ Cl _1,2 ( R ) ، ويسمى أيضًا جبر باولي ، ^{[ 7 ] [ 8 ]} متماثل مع جبر ثنائي الكواترنيون .

يمكن أيضًا دراسة جبر كليفورد على فضاءات المتجهات المركبة. كل شكل تربيعي غير منحل على فضاء متجه مركب ذي بُعد n يكافئ الشكل القطري القياسي $${\displaystyle Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\dots +z_{n}^{2}.}$$ وبالتالي، لكل بُعد n ، يوجد، حتى التشاكل، جبر كليفورد واحد فقط لفضاء متجهي عقدي ذي شكل تربيعي غير منحل. سنرمز لجبر كليفورد على C n ذي الشكل التربيعي القياسي بـ Cl n ( C ) .

في الحالات القليلة الأولى، يجد المرء أن

• Cl ₀ ( C ) ≅ C ، الأعداد المركبة
• Cl ₁ ( C ) ≅ C ⊕ C ، أعداد المركبات الثنائية
• Cl ₂ ( C ) ≅ M ₂ ( C ) ، ثنائيات الكواترنيون

حيث يشير M _n ( C ) إلى جبر المصفوفات n × n على C .

في هذا القسم، يتم بناء رباعيات هاميلتون على أنها الجبر الفرعي الزوجي لجبر كليفورد Cl _3,0 ( R ) .

ليكن الفضاء المتجهي V فضاءً حقيقيًا ثلاثي الأبعاد R³ ^، وليكن الشكل التربيعي هو الشكل التربيعي المعتاد. عندئذٍ، بالنسبة لـ v و w في R³ ^، لدينا الشكل الثنائي الخطي (أو الضرب القياسي).  $${\displaystyle v\cdot w=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$$ والآن، لنُعرّف جداء كليفورد للمتجهين v و w كما يلي: $${\displaystyle vw+wv=2(v\cdot w).}$$

إذا رمزنا لمجموعة من متجهات الوحدة المتعامدة في R³ ^بالرمز { e₁ , e₂ _, e₃ _} ، _فإن جداء كليفورد ينتج العلاقات التالية $${\displaystyle e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2},\,\,\,e_{1}e_{3}=-e_{3}e_{1},\,\,\,e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},}$$ و $${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=1.}$$يُعطى العنصر العام لجبر كليفورد Cl _3,0 ( R ) بواسطة$${\displaystyle A=a_{0}+a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}+a_{4}e_{2}e_{3}+a_{5}e_{1}e_{3}+a_{6}e_{1}e_{2}+a_{7}e_{1}e_{2}e_{3}.}$$

التركيبة الخطية لعناصر الدرجة الزوجية من Cl _3,0 ( R ) تُعرّف الجبر الجزئي الزوجي Cl ^[0] _3,0 ( R ) مع العنصر العام $${\displaystyle q=q_{0}+q_{1}e_{2}e_{3}+q_{2}e_{1}e_{3}+q_{3}e_{1}e_{2}.}$$ يمكن تحديد عناصر الأساس باستخدام عناصر أساس الكواترنيون i و j و k كما يلي: $${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{1}e_{3},k=e_{1}e_{2},}$$ مما يدل على أن الجبر الفرعي الزوجي Cl ^[0] _3,0 ( R ) هو جبر الكواترنيون الحقيقي لهاملتون .

لتوضيح ذلك، احسب $${\displaystyle i^{2}=(e_{2}e_{3})^{2}=e_{2}e_{3}e_{2}e_{3}=-e_{2}e_{2}e_{3}e_{3}=-1,}$$ و $${\displaystyle ij=e_{2}e_{3}e_{1}e_{3}=-e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}=-e_{2}e_{1}=e_{1}e_{2}=k.}$$ أخيراً، $${\displaystyle ijk=e_{2}e_{3}e_{1}e_{3}e_{1}e_{2}=-1.}$$

في هذا القسم، يتم بناء الكواترنيونات الثنائية كجبر فرعي زوجي لجبر كليفورد لفضاء حقيقي رباعي الأبعاد ذي شكل تربيعي متدهور. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

ليكن الفضاء المتجهي V فضاءً حقيقيًا رباعي الأبعاد R⁴ ^، وليكن الشكل التربيعي Q شكلًا منحلًا مشتقًا من المقياس الإقليدي على R³ . لكل v و w في R⁴ ^، نُعرّف الشكل الثنائي الخطي ^المنحط .$${\displaystyle d(v,w)=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$$ يقوم هذا المنتج القياسي المنحط بإسقاط قياسات المسافة في R ⁴ على المستوى الفائق R ³ .

يُعطى حاصل ضرب كليفورد للمتجهين v و w بالصيغة التالية:$${\displaystyle vw+wv=-2\,d(v,w).}$$ لاحظ أن الإشارة السالبة قد تم إدخالها لتبسيط المطابقة مع الرباعيات.

إذا _رمزنا لمجموعة من متجهات الوحدة المتعامدة المتبادلة في R⁴ ^بالرمز { e₁ , e₂ _, e₃ , _e₄ } ، _فإن جداء كليفورد ينتج العلاقات التالية $${\displaystyle e_{m}e_{n}=-e_{n}e_{m},\,\,\,m\neq n,}$$ و $${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.}$$

يحتوي العنصر العام لجبر كليفورد Cl( R⁴ , d ) على 16 مكونًا. ويُعرّف التركيب الخطي للعناصر ذات الدرجة الزوجية الجبر الفرعي الزوجي Cl ^[0] ( R⁴ , ^d ) مع العنصر العام ^.$${\displaystyle H=h_{0}+h_{1}e_{2}e_{3}+h_{2}e_{3}e_{1}+h_{3}e_{1}e_{2}+h_{4}e_{4}e_{1}+h_{5}e_{4}e_{2}+h_{6}e_{4}e_{3}+h_{7}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.}$$

يمكن تحديد عناصر الأساس باستخدام عناصر أساس الكواترنيون i و j و k والوحدة الثنائية ε كما يلي: $${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},\,\,\varepsilon =e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.}$$ وهذا يوفر تطابق Cl ^[0] _0,3,1 ( R ) مع جبر الكواترنيون المزدوج .

لتوضيح ذلك، احسب $${\displaystyle \varepsilon ^{2}=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}=-e_{1}e_{2}e_{3}(e_{4}e_{4})e_{1}e_{2}e_{3}=0,}$$ و $${\displaystyle \varepsilon i=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})e_{2}e_{3}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{2}e_{3}=e_{2}e_{3}(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})=i\varepsilon .}$$ تتبادل عمليات تبادل e ₁ و e ₄ الإشارات عددًا زوجيًا من المرات، وتظهر الوحدة المزدوجة ε تتبادل مع عناصر أساس الكواترنيون i و j و k .

بالنسبة لـ dim V = 1 ، إذا كان Q لديه قطري diag( a ) ، متجه غير صفري x بحيث Q ( x ) = a ، فإن Cl( V , Q ) متماثل جبريًا مع جبر K مولد بواسطة عنصر x يحقق x ² = a ، الجبر التربيعي K [ X ] / ( X ² − a ) .

على وجه الخصوص، إذا كانت a = 0 (أي أن Q هي الشكل التربيعي الصفري) فإن Cl( V , Q ) متماثلة جبريًا مع جبر الأعداد المزدوجة على K.

إذا كان a مربعًا غير صفري في K ، فإن Cl( V , Q ) ≃ K ⊕ K .

بخلاف ذلك، فإن Cl( V , Q ) متماثل مع امتداد الحقل التربيعي K ( √ a ) لـ K .

بالنسبة لـ dim V = 2 ، إذا كان Q لديه قطري diag( a , b ) مع a و b غير الصفرية (والتي توجد دائمًا إذا كانت Q غير متدهورة)، فإن Cl( V , Q ) متماثل مع جبر K مولد بواسطة العناصر x و y التي تحقق x ² = a ، y ² = b و xy = − yx .

وبالتالي فإن Cl( V , Q ) متماثل مع جبر الكواترنيون ( a , b ) _K (المعمم) . نسترجع كواترنيونات هاميلتون عندما a = b = −1 ، لأن H = (−1, −1) _R .

كحالة خاصة، إذا كان هناك x في V يحقق Q ( x ) = 1 ، فإن Cl( V , Q ) ≃ M ₂ ( K ) .

بفرض وجود فضاء متجهي V ، يمكن بناء الجبر الخارجي ⋀V ، الذي لا يعتمد تعريفه على أي شكل تربيعي على V. يتضح أنه إذا لم يكن للفضاء المتجهي K خاصية 2 ، فإنه يوجد تماثل طبيعي بين ⋀V و Cl(V, Q ) باعتبارهما فضاءين متجهيين ( ويوجد تماثل في الخاصية 2 ، والذي قد لا يكون طبيعيًا). يكون هذا التماثل جبريًا إذا وفقط إذا كان Q = 0. وبالتالي، يمكن اعتبار جبر كليفورد Cl( V , Q ) بمثابة إثراء (أو بتعبير أدق، تكميم، انظر المقدمة) للجبر الخارجي على V مع عملية ضرب تعتمد على Q (مع ذلك، يمكن تعريف الضرب الخارجي بشكل مستقل عن Q ).   

أسهل طريقة لإثبات التشاكل هي اختيار أساس متعامد { e1 _, ... , en _} للفضاء V وتوسيعه ليصبح أساسًا للفضاء Cl( V , Q ) كما هو موضح أعلاه . يتم تحديد التطبيق Cl( V , Q ) → ⋀V بواسطة$${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mapsto e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}.}$$لاحظ أن هذا لا ينجح إلا إذا كانت القاعدة { e1 , ... , en _} متعامدة. يمكن إثبات أن هذا التطبيق مستقل عن اختيار القاعدة المتعامدة، وبالتالي يُعطي تماثلًا طبيعيًا _.

إذا كانت خاصية K تساوي صفرًا ، فيمكن أيضًا إثبات التشاكل عن طريق التناظر العكسي. عرّف الدوال f _k : V × ⋯ × V → Cl( V , Q ) كما يلي : $${\displaystyle f_{k}(v_{1},\ldots ,v_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)}}$$ حيث يُجرى الجمع على المجموعة المتناظرة ذات k عنصر، S _k . وبما أن f k متناوبة ، _فإنها تُنشئ تطبيقًا خطيًا فريدًا ⋀ ^k V → Cl( V , Q ) . يُعطي الجمع المباشر لهذين التطبيقين تطبيقًا خطيًا بين ⋀ V و Cl( V , Q ) . يمكن إثبات أن هذا التطبيق تماثل خطي، وهو أمر طبيعي.

تتمثل إحدى الطرق الأكثر تعقيدًا لفهم هذه العلاقة في بناء ترشيح على Cl( V , Q ) . تذكر أن جبر الموترات T ( V ) له ترشيح طبيعي: F₀ ⊂ F₁ ⊂ ^F₂ ⊂ ... ^، حيث يحتوي Fₖ على مجاميع موترات من الرتبة ≤ ^k . بإسقاط هذا الترشيح على جبر كليفورد ^، نحصل على ترشيح على Cl( V , Q ) . الجبر المتدرج المرتبط به$${\displaystyle \operatorname {Gr} _{F}\operatorname {Cl} (V,Q)=\bigoplus _{k}F^{k}/F^{k-1}}$$ متماثل بشكل طبيعي مع الجبر الخارجي ⋀ V. بما أن الجبر المتدرج المرتبط بالجبر المرشح يكون دائمًا متماثلًا مع الجبر المرشح كفضاءات متجهة مرشحة (عن طريق اختيار مكملات F ^k في F ^{k +1} لجميع k )، فإن هذا يوفر تماثلًا (وإن لم يكن طبيعيًا) في أي خاصية، حتى اثنين. 

^{فيما يلي ،} افترض أن الخاصية ليست 2. [ ^{هـ ]} 

جبر كليفورد هو جبر متدرج من _Z² ( يُعرف أيضًا باسم الجبر الفائق ). في الواقع، يحافظ التطبيق الخطي على V المعرف بواسطة v ↦ − v ( انعكاس حول نقطة الأصل ) على الشكل التربيعي Q، وبالتالي، وفقًا للخاصية العامة لجبر كليفورد، يمتد إلى تشاكل جبري ذاتي$${\displaystyle \alpha$$ :\operatorname {Cl} (V,Q)\to \operatorname {Cl} (V,Q).}

بما أن α عبارة عن دالة انعكاسية (أي أنها مربعة بالنسبة للدالة المحايدية )، فإنه يمكن تحليل Cl( V , Q ) إلى فضاءات ذاتية موجبة وسالبة لـ α $${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[0]}(V,Q)\oplus \operatorname {Cl} ^{[1]}(V,Q)}$$ أين $${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)=\left\{x\in \operatorname {Cl} (V,Q)\mid \alpha (x)=(-1)^{i}x\right\}.}$$

بما أن α هو تشاكل ذاتي، فإنه يترتب على ذلك ما يلي: $${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)\operatorname {Cl} ^{[j]}(V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[i+j]}(V,Q)}$$ حيث تُقرأ الأرقام المرتفعة بين قوسين بتردد  2. وهذا يُعطي Cl( V , Q ) بنية جبر _متدرج Z2 . يُشكّل الفضاء الجزئي Cl ^[0] ( V , Q ) جبرًا جزئيًا من Cl( V , Q ) ، يُسمى الجبر الجزئي الزوجي . يُسمى الفضاء الجزئي Cl ^[1] ( V , Q ) الجزء الفردي من Cl( V , Q ) (وهو ليس جبرًا جزئيًا). يلعب هذا _التدرج Z2 دورًا هامًا في تحليل وتطبيق جبر كليفورد. يُسمى التشاكل الذاتي α بالانعكاس الرئيسي أو انعكاس الدرجة . تُوصف العناصر النقية في هذا _التدرج Z2 ببساطة بأنها زوجية أو فردية.

ملاحظة . إن جبر كليفورد ليس جبرًا متدرجًا من Z ، ولكنه مرشح من Z ، حيث Cl ^{≤ i} ( V , Q ) هو الفضاء الجزئي الذي يمتد بواسطة جميع نواتج على الأكثر i عنصر من V. $${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\leqslant i}(V,Q)\cdot \operatorname {Cl} ^{\leqslant j}(V,Q)\subset \operatorname {Cl} ^{\leqslant i+j}(V,Q).}$$

تشير درجة رقم كليفورد عادةً إلى الدرجة في تصنيف Z.

الجبر الجزئي الزوجي Cl ^[0] ( V , Q ) لجبر كليفورد متماثل مع جبر كليفورد. ^{[ و ] [ ز ]} إذا كان V هو المجموع المباشر المتعامد لمتجه a ذي معيار غير صفري Q ( a ) وفضاء جزئي U ، فإن Cl ^[0] ( V , Q ) متماثل مع Cl( U , −Q ( a ) Q | U ₎ ، حيث Q | _U هو الشكل Q المقيد بـ U. وبالتحديد، على الأعداد الحقيقية، هذا يعني أن: $${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}(\mathbf {R} )\cong {\begin{cases}\operatorname {Cl} _{p,q-1}(\mathbf {R} )&q>0\\\operatorname {Cl} _{q,p-1}(\mathbf {R} )&p>0\end{cases}}}$$

في حالة التحديد السلبي، ينتج عن ذلك تضمين Cl _{0, n − 1} ( R ) ⊂ Cl _{0, n} ( R ) ، والذي يوسع المتتالية

وبالمثل، في الحالة المعقدة، يمكن للمرء أن يثبت أن الجبر الفرعي الزوجي لـ Cl _n ( C ) متماثل مع Cl _{n −1} ( C ) .

بالإضافة إلى التماثل الذاتي α ، يوجد تماثلان مضادان يلعبان دورًا هامًا في تحليل جبر كليفورد. تذكر أن جبر الموتر T ( V ) يأتي مع تماثل مضاد يعكس ترتيب جميع نواتج المتجهات. $${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k}\mapsto v_{k}\otimes \cdots \otimes v_{2}\otimes v_{1}.}$$ بما أن المثالي I _Q ثابت تحت هذا الانعكاس، فإن هذه العملية تنحدر إلى تشاكل مضاد لـ Cl( V , Q ) يُسمى عملية النقل أو الانعكاس ، ويُرمز له بـ x ^t . عملية النقل هي تشاكل مضاد: ( xy ) ^t = y ^t x ^t . لا تستخدم عملية النقل التدرج Z _2، لذا نُعرّف تشاكلًا مضادًا ثانيًا بتركيب α وعملية النقل. نُسمي هذه العملية اقتران كليفورد، ويُرمز له بـ${\displaystyle {\bar {x}}}$$${\displaystyle {\bar {x}}=\alpha (x^{\mathrm {t} })=\alpha (x)^{\mathrm {t} }.}$$ من بين التماثلين العكسيين، يعتبر التحويل هو الأكثر جوهرية. ^{[ ح ]}

لاحظ أن جميع هذه العمليات هي عمليات عكسية . يمكن إثبات أنها تعمل كـ ±1 على العناصر النقية في تصنيف Z. في الواقع، تعتمد العمليات الثلاث جميعها على الدرجة بتردد 4 فقط . أي، إذا كان x عنصرًا نقيًا من الدرجة k، فإن  $${\displaystyle \alpha (x)=\pm x\qquad x^{\mathrm {t} }=\pm x\qquad {\bar {x}}=\pm x}$$ حيث يتم تحديد الإشارات من خلال الجدول التالي:

k mod 4	0	1	2	3	...
${\displaystyle \alpha (x)\,}$	+	-	+	-	(-1) k
${\displaystyle x^{\mathrm {t} }\,}$	+	+	-	-	(−1) k ( k −1)/2
${\displaystyle {\bar {x}}}$	+	-	-	+	(−1) k ( k +1)/2

عندما لا تكون الخاصية 2 ، يمكن تمديد الشكل التربيعي Q على V إلى شكل تربيعي على كامل Cl( V , Q ) (والذي نرمز إليه أيضًا بـ Q ). تعريف مستقل عن الأساس لأحد هذه التمديدات هو $${\displaystyle Q(x)=\left\langle x^{\mathrm {t} }x\right\rangle _{0}}$$ حيث _يرمز ⟨a⟩⟩⟩ إلى الجزء القياسي من a (الجزء ذو الدرجة 0 في تصنيف Z ). يمكن إثبات ذلك .$${\displaystyle Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})\cdots Q(v_{k})}$$ حيث أن v _i هي عناصر من V - هذه الهوية ليست صحيحة بالنسبة للعناصر العشوائية من Cl( V , Q ) .

يُعطى الشكل الثنائي الخطي المتناظر المرتبط على Cl( V , Q ) بواسطة$${\displaystyle \langle x,y\rangle =\left\langle x^{\mathrm {t} }y\right\rangle _{0}.}$$ يمكن التحقق من أن هذا يختزل إلى الشكل الثنائي الخطي الأصلي عند تقييده على V. يكون الشكل الثنائي الخطي على Cl( V , Q ) غير منحل إذا وفقط إذا كان غير منحل على V.

إنّ عامل الضرب من اليسار (أو اليمين) في عملية كليفورد بواسطة منقولة عنصر a ^هو العامل المرافق للضرب من اليسار (أو اليمين) في عملية كليفورد بواسطة a بالنسبة لهذا الضرب الداخلي. أي، $${\displaystyle \langle ax,y\rangle =\left\langle x,a^{\mathrm {t} }y\right\rangle ,}$$ و $${\displaystyle \langle xa,y\rangle =\left\langle x,ya^{\mathrm {t} }\right\rangle .}$$

في خاصية اختيارية، يتم تعريف معيار السبينور Q على مجموعة ليبشيتز بواسطة $${\displaystyle Q(x)=x^{\mathrm {t} }x.}$$ هو تشاكل من زمرة ليبشيتز إلى زمرة العناصر غير الصفرية K ^× K. ويتطابق مع الشكل التربيعي Q لـ V عندما تُعرَّف V على أنها فضاء جزئي من جبر كليفورد. يُعرّف العديد من المؤلفين معيار السبينور بشكل مختلف قليلاً، بحيث يختلف عن المعيار المُعرَّف هنا بمعامل −1 أو 2 أو −2 على Γ ^1. هذا الاختلاف ليس ذا أهمية كبيرة في الخصائص الأخرى غير 2. 

العناصر غير الصفرية في K لها معيار سبينوري في المجموعة ( K ^× ) ^² لمربعات العناصر غير الصفرية في الحقل K. لذا، عندما يكون V محدود الأبعاد وغير منفرد، نحصل على دالة مستحثة من المجموعة المتعامدة لـ V إلى المجموعة K ^× / ( K ^× ) ^² ، وتُسمى أيضًا المعيار السبينوري. المعيار السبينوري للانعكاس حول r⊥ ^، لأي متجه r ، له صورة Q ( r ) في K ^× / ( K ^× ) ^² ، وهذه الخاصية تُعرّفه بشكل فريد على المجموعة المتعامدة. وهذا يُعطي المتتاليات التامة التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} _{V}(K)&\to \operatorname {O} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},\\1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Spin} _{V}(K)&\to \operatorname {SO} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

لاحظ أنه في الخاصية 2، تحتوي المجموعة {±1} على عنصر واحد فقط.

من منظور علم التماثل لغالوا للمجموعات الجبرية ، فإن معيار السبينور هو تشاكل ربط على علم التماثل. بكتابة μ ₂ للمجموعة الجبرية للجذور التربيعية للعدد 1 (على حقل ذي خاصية لا تساوي 2، وهي تقريبًا نفس مجموعة ثنائية العناصر ذات فعل غالوا تافه)، فإن المتتالية التامة القصيرة $${\displaystyle 1\to \mu _{2}\rightarrow \operatorname {Pin} _{V}\rightarrow \operatorname {O} _{V}\rightarrow 1}$$ ينتج عنه متتالية تامة طويلة في علم التماثل، والتي تبدأ $${\displaystyle 1\to H^{0}(\mu _{2};K)\to H^{0}(\operatorname {Pin} _{V};K)\to H^{0}(\operatorname {O} _{V};K)\to H^{1}(\mu _{2};K).}$$

مجموعة التماثل الصفري لغالوا لمجموعة جبرية ذات معاملات في K هي ببساطة مجموعة النقاط ذات القيم في K : H₀ ⁽ G ; K ) = G ( K ) ، و H₁ (μ² _; K ) ≅ K ^× / ( K ^× ) ^² ، مما يعيد التسلسل السابق ^.$${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} _{V}(K)\to \operatorname {O} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},}$$ حيث يكون معيار السبينور هو التشاكل الرابط H ⁰ (O _V ; K ) → H ¹ (μ ₂ ; K ) .

لوصف تمثيلات الدوران الحقيقية، يجب معرفة موقع زمرة الدوران داخل جبر كليفورد الخاص بها. زمرة الدبابيس ، Pin _{p , q،} هي مجموعة العناصر القابلة للعكس في Cl _{p , q} التي يمكن كتابتها كحاصل ضرب متجهات الوحدة. $${\displaystyle \mathrm {Pin} _{p,q}=\left\{v_{1}v_{2}\cdots v_{r}\mid \forall i\,\|v_{i}\|=\pm 1\right\}.}$$ بالمقارنة مع التطبيقات الملموسة المذكورة أعلاه لجبر كليفورد، فإن زمرة الدبوس تُقابل نواتج عددٍ كيفي من الانعكاسات: فهي غطاءٌ للمجموعة المتعامدة الكاملة O( p , q ) . تتكون زمرة الدوران من عناصر الدبوس _{(p , q)} التي هي نواتج عدد زوجي من متجهات الوحدة. وبالتالي، وفقًا لنظرية كارتان-ديودونيه، فإن الدوران هو غطاءٌ لزمرة الدورانات المناسبة SO( p , q ) .

ليكن α  : Cl → Cl التشاكل الذاتي المعطى بواسطة التطبيق v ↦ − v المؤثر على المتجهات النقية. عندئذٍ، على وجه الخصوص، Spin _{p , q} هي المجموعة الجزئية من Pin _{p , q} التي عناصرها ثابتة بواسطة α . $${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}=\{x\in \operatorname {Cl} _{p,q}\mid \alpha (x)=x\}.}$$ (هذه هي بالضبط العناصر ذات الدرجة الزوجية في Cl _{p , q} .) ثم تقع مجموعة الدوران داخل Cl ^[0] _{p , q} .

تُختزل التمثيلات غير القابلة للاختزال لـ Cl _{p , q} إلى تمثيلات لمجموعة pin. وعلى العكس، بما أن مجموعة pin مُولَّدة بواسطة متجهات الوحدة، فإن جميع تمثيلاتها غير القابلة للاختزال تُستحث بهذه الطريقة. وبالتالي، يتطابق التمثيلان. وللأسباب نفسها، تتطابق التمثيلات غير القابلة للاختزال للدوران مع التمثيلات غير القابلة للاختزال لـ Cl ^[0] _{p , q} .

لتصنيف تمثيلات الدبوس، يكفي الرجوع إلى تصنيف جبر كليفورد . ولإيجاد تمثيلات الدوران (وهي تمثيلات للجبر الجزئي الزوجي)، يمكن أولاً استخدام أي من التشاكلات (انظر أعلاه). $${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{p,q-1},{\text{ for }}q>0}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{q,p-1},{\text{ for }}p>0}$$ وتحقيق تمثيل الدوران في التوقيع ( p ، q ) كتمثيل دبوس إما في التوقيع ( p ، q - 1) أو ( q ، p - 1) .

يُعدّ أحد التطبيقات الرئيسية للجبر الخارجي في الهندسة التفاضلية ، حيث يُستخدم لتعريف حزمة الأشكال التفاضلية على مشعب أملس . في حالة المشعب الريماني ( الزائف ) ، تأتي الفضاءات المماسية مزودة بصيغة تربيعية طبيعية مستحثة بواسطة المقياس . وبالتالي، يمكن تعريف حزمة كليفورد قياسًا على الحزمة الخارجية . ولهذا تطبيقات مهمة عديدة في الهندسة الريمانية . ولعلّ الأهم من ذلك هو ارتباطه بالمشعب الدوراني ، وحزمة السبينور المرتبطة به، ومشعبات الدوران ^c .

تُستخدم جبر كليفورد في العديد من التطبيقات المهمة في الفيزياء. عادةً ما يعتبر الفيزيائيون جبر كليفورد جبرًا له أساس مُوَلَّد بواسطة المصفوفات γ₀ _، ...، γ₃ _، والتي تُسمى مصفوفات ديراك ، والتي تتميز بالخاصية التالية: $${\displaystyle \gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=2\eta _{ij},}$$ حيث η هي مصفوفة شكل تربيعي ذي إشارة (1، 3) (أو (3، 1) الموافق للاختيارين المتكافئين للإشارة المترية). هذه هي تحديدًا العلاقات الأساسية لجبر كليفورد Cl_1,3 (R)، الذييكونتكوينه المعقدCl_1,3 (R) _C ، والتي، بحسبتصنيف جبر كليفورد، متماثلة مع جبرالمصفوفات المركبة4 × 4Cl₄(C) ≈ M₄(C). ومع ذلك، من الأفضل الاحتفاظ بالرمزCl_1,3 (R) _C ، لأن أي تحويل يأخذ الشكل الثنائي الخطي إلى الشكل المتعارف عليهليستحويل لورنتز للزمكان الأساسي.

وبالتالي، فإن جبر كليفورد للزمكان المستخدم في الفيزياء يتمتع ببنية أكثر تعقيدًا من Cl ₄ ( C ) . كما أنه يمتلك مجموعة من التحويلات المفضلة - تحويلات لورنتز. وتعتمد ضرورة التعقيد في المقام الأول جزئيًا على الاصطلاحات المستخدمة وجزئيًا على مدى الرغبة في دمجه بشكل مباشر، ولكن غالبًا ما يكون التعقيد ضروريًا في ميكانيكا الكم، حيث يتطلب تمثيل اللف المغزلي لجبر لي so (1, 3) الموجود داخل جبر كليفورد، عادةً، جبر كليفورد معقدًا. وللمقارنة، يُعطى جبر لي اللف المغزلي بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu \nu }&=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu },\,\gamma ^{\nu }\right],\\\left[\sigma ^{\mu \nu },\,\sigma ^{\rho \tau }\right]&=i\left(\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \tau }\right).\end{aligned}}}$$

هذا يتبع اصطلاح (3، 1) ، وبالتالي فهو يناسب Cl_3,1 (R) _C . ^{[ 14 ]}

كتب بول ديراك مصفوفات ديراك لأول مرة عندما كان يحاول كتابة معادلة موجية نسبية من الدرجة الأولى للإلكترون ، وهي تُعطي تماثلاً صريحاً من جبر كليفورد إلى جبر المصفوفات المركبة. استُخدمت هذه النتيجة لتعريف معادلة ديراك وتقديم مؤثر ديراك . يظهر جبر كليفورد بأكمله في نظرية الحقل الكمومي في صورة ثنائيات خطية لحقل ديراك .

لقد تم تطوير استخدام جبر كليفورد لوصف نظرية الكم من قبل ماريو شونبيرج ، ^{[ 1 ]} وديفيد هيستينز من حيث حساب التفاضل والتكامل الهندسي ، وديفيد بوم وباسيل هيلي وزملاؤهما في شكل تسلسل هرمي لجبر كليفورد ، وإيليو كونتي وآخرون ^{[ 15 ] [ 16 ] .}

استُخدمت جبريات كليفورد في مشكلة التعرف على الأفعال وتصنيفها في مجال رؤية الحاسوب . يقترح رودريغيز وآخرون ^{[ 17 ]} تضمين كليفورد لتعميم مرشحات MACH التقليدية على الفيديو (حجم مكاني-زماني ثلاثي الأبعاد)، والبيانات المتجهة مثل التدفق البصري . تُحلل البيانات المتجهة باستخدام تحويل فورييه لكليفورد . وبناءً على هذه المتجهات، تُركّب مرشحات الأفعال في مجال فورييه لكليفورد، ويُجرى التعرف على الأفعال باستخدام ارتباط كليفورد. يُبرهن الباحثون على فعالية تضمين كليفورد من خلال التعرف على الأفعال التي تُؤدى عادةً في الأفلام الروائية الكلاسيكية والبث التلفزيوني الرياضي.