الجبر الهندسي

التوجيه المحدد بواسطة مجموعة مرتبة من المتجهات.

الاتجاه المعكوس يتوافق مع نفي المنتج الخارجي.

التفسير الهندسي للدرجة-${\displaystyle n}$عناصر في جبر خارجي حقيقي لـ${\displaystyle n=0}$(نقطة مُوقّعة)،${\displaystyle 1}$(قطعة مستقيمة موجهة، أو متجه)،${\displaystyle 2}$(عنصر مستوي موجه)،${\displaystyle 3}$(حجم موجه). المنتج الخارجي لـ${\displaystyle n}$يمكن تصور المتجهات على أنها أي${\displaystyle n}$الشكل ذو الأبعاد ( مثلاً )${\displaystyle n}$- متوازي الأضلاع ،​${\displaystyle n}$- شكل بيضاوي ) ؛ذو حجم ( حجم فائق )، واتجاه محدد بواسطة اتجاهه على سطحه${\displaystyle (n-1)}$الحدود ذات الأبعاد، وعلى أي جانب يقع الداخل. ^{[ 14 ] [ 15 ]}

للمتجهات​${\displaystyle a}$و​​${\displaystyle b}$يمكننا كتابة حاصل الضرب الهندسي لأي متجهين .${\displaystyle a}$و​​${\displaystyle b}$كمجموع حاصل ضرب متناظر وحاصل ضرب مضاد للتناظر:

${\displaystyle ab={\frac {1}{2}}(ab+ba)+{\frac {1}{2}}(ab-ba).}$

وبالتالي يمكننا تعريف الضرب الداخلي للمتجهات على النحو التالي:

${\displaystyle a\cdot b:=g(a,b),}$

بحيث يمكن كتابة الضرب المتناظر على النحو التالي

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(ab+ba)={\frac {1}{2}}\left((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}\right)=a\cdot b.}$

وعلى العكس من ذلك ،${\displaystyle g}$يتم تحديدها بالكامل بواسطة الجبر. الجزء غير المتناظر هو حاصل الضرب الخارجي للمتجهين، وهو حاصل ضرب الجبر الخارجي المحتوي عليهما :

${\displaystyle a\wedge b:={\frac {1}{2}}(ab-ba)=-(b\wedge a).}$

ثم بالجمع البسيط:

${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$الشكل غير المعمم أو المتجهي للمنتج الهندسي.

يرتبط حاصل الضرب الداخلي والخارجي بمفاهيم مألوفة من الجبر المتجهي القياسي. هندسياً،${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$تكون الأجسام متوازية إذا كان حاصل ضربها الهندسي يساوي حاصل ضربها الداخلي، بينما${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$تكون المتجهات متعامدة إذا كان حاصل ضربها الهندسي مساويًا لحاصل ضربها الخارجي. في الجبر الهندسي الذي يكون فيه مربع أي متجه غير صفري موجبًا، يمكن تعريف حاصل الضرب الداخلي لمتجهين بأنه حاصل الضرب القياسي في جبر المتجهات. ويمكن تعريف حاصل الضرب الخارجي لمتجهين بأنه المساحة الموجهة المحصورة داخل متوازي أضلاع أضلاعه هي المتجهات. أما حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين في${\displaystyle 3}$الأبعاد ذات الشكل التربيعي الموجب المحدد ترتبط ارتباطًا وثيقًا بحاصل ضربها الخارجي.

معظم الأمثلة على الجبر الهندسي ذي الأهمية لها شكل تربيعي غير منحل. إذا كان الشكل التربيعي منحلاً تماماً ، فإن حاصل الضرب الداخلي لأي متجهين يساوي صفرًا دائمًا، ويكون الجبر الهندسي حينها مجرد جبر خارجي. ما لم يُذكر خلاف ذلك، ستتناول هذه المقالة الجبر الهندسي غير المنحل فقط.

يتم توسيع الضرب الخارجي بشكل طبيعي كمؤثر ثنائي خطي ترابطي بين أي عنصرين من عناصر الجبر، بحيث يحقق المتطابقات التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}1\wedge a_{i}&=a_{i}\wedge 1=a_{i}\\a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}&={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{\sigma (1)}a_{\sigma (2)}\cdots a_{\sigma (r)},\end{aligned}}}$

حيث يكون المجموع على جميع تباديل المؤشرات، مع${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}$إشارة التبديل ، و${\displaystyle a_{i}}$هي متجهات (وليست عناصر عامة في الجبر). بما أن كل عنصر من عناصر الجبر يمكن التعبير عنه كمجموع نواتج من هذا الشكل، فإن هذا يُعرّف الضرب الخارجي لكل زوج من عناصر الجبر. ويترتب على هذا التعريف أن الضرب الخارجي يُشكّل جبرًا متناوبًا .

معادلة البنية المكافئة لجبر كليفورد هي ^{[ 16 ] [ 17 ]}

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}=\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}\sum _{\mu \in {}{\mathcal {C}}}(-1)^{k}\operatorname {Pf} (a_{\mu _{1}}\cdot a_{\mu _{2}},\dots ,a_{\mu _{2i-1}}\cdot a_{\mu _{2i}})a_{\mu _{2i+1}}\land \dots \land a_{\mu _{n}}}$

أين${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)}$هو بفافيان من​${\displaystyle A}$و​${\textstyle {\mathcal {C}}={\binom {n}{2i}}}$يوفر تركيبات ،​${\displaystyle \mu }$، من​${\displaystyle n}$المؤشرات مقسمة إلى${\displaystyle 2i}$و​​${\displaystyle n-2i}$أجزاء و​${\displaystyle k}$⁠ هو تكافؤ المجموعة.​

يُوفّر مُحدِّد بفافي مقياسًا للجبر الخارجي، وكما أشار كلود شوفالي، فإن جبر كليفورد يختزل إلى الجبر الخارجي ذي الصيغة التربيعية الصفرية. ^{[ 18 ]} يُمكن فهم دور مُحدِّد بفافي من منظور هندسي من خلال تطوير جبر كليفورد انطلاقًا من المُبسَّطات . [ ^{19 ] يُوفّر} هذا الاشتقاق صلةً أوثق بين مُثلث باسكال والمُبسَّطات لأنه يُقدّم تفسيرًا للعمود الأول من الآحاد.

متجه متعدد يمثل الناتج الخارجي لـ${\displaystyle r}$يُطلق على المتجهات المستقلة خطيًا اسم "الشفرة" ، ويُقال إنها من الدرجة ⁠${\displaystyle r}$[ ^{و ]} متجهمتعدد يمثل مجموع شفرات من ^الدرجة${\displaystyle r}$يُطلق عليه اسم متجه متعدد (متجانس) من الدرجة ⁠${\displaystyle r}$⁠ . من البديهيات، مع الإغلاق، كل متجه متعدد للجبر الهندسي هو مجموع شفرات.

لنفترض مجموعة من${\displaystyle r}$متجهات مستقلة خطيًا${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{r}\}}$يمتد على مدى${\displaystyle r}$الفضاء الجزئي ذو الأبعاد n من الفضاء المتجهي. باستخدام هذه الأبعاد، يمكننا تعريف مصفوفة متناظرة حقيقية (بنفس طريقة تعريف مصفوفة غراميان ).

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{ij}=a_{i}\cdot a_{j}}$

بحسب نظرية الطيف ،${\displaystyle \mathbf {A} }$يمكن تحويلها إلى مصفوفة قطرية${\displaystyle \mathbf {D} }$بواسطة مصفوفة متعامدة${\displaystyle \mathbf {O} }$عبر

${\displaystyle \sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {A} ]_{kl}[\mathbf {O} ^{\mathrm {T} }]_{lj}=\sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {O} ]_{jl}[\mathbf {A} ]_{kl}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$

حدد مجموعة جديدة من المتجهات${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$، والمعروفة باسم متجهات الأساس المتعامدة، هي تلك التي يتم تحويلها بواسطة المصفوفة المتعامدة:

${\displaystyle e_{i}=\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{ij}a_{j}}$

بما أن التحويلات المتعامدة تحافظ على الضرب الداخلي، فإنه يترتب على ذلك أن${\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$وبالتالي${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$متعامدان. بعبارة أخرى، حاصل الضرب الهندسي لمتجهين مختلفين${\displaystyle e_{i}\neq e_{j}}$يتم تحديدها بالكامل من خلال منتجها الخارجي، أو بشكل عام

${\displaystyle {\begin{array}{rl}e_{1}e_{2}\cdots e_{r}&=e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{r}\\&=\left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{1j}a_{j}\right)\wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{2j}a_{j}\right)\wedge \cdots \wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{rj}a_{j}\right)\\&=(\det \mathbf {O} )a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}\end{array}}}$

لذلك، كل شفرة من الدرجة${\displaystyle r}$يمكن كتابتها كناتج خارجي لـ${\displaystyle r}$المتجهات. وبشكل أعم، إذا سُمح باستخدام الجبر الهندسي المنحط، فسيتم استبدال المصفوفة المتعامدة بمصفوفة كتلية متعامدة في الكتلة غير المنحطة، وستكون عناصر المصفوفة القطرية صفرية على طول الأبعاد المنحطة. إذا تم تطبيع المتجهات الجديدة للفضاء الفرعي غير المنحط وفقًا لـ

${\displaystyle {\widehat {e_{i}}}={\frac {1}{\sqrt {|e_{i}\cdot e_{i}|}}}e_{i},}$

إذن، يجب أن تكون هذه المتجهات المعيارية مربعة إلى${\displaystyle +1}$أو​${\displaystyle -1}$بحسب قانون سيلفستر للقصور الذاتي ، فإن العدد الإجمالي لـ${\displaystyle +1}$والعدد الإجمالي لـ${\displaystyle -1}$تكون قيم s على طول المصفوفة القطرية ثابتة. وبناءً على ذلك، فإن العدد الإجمالي${\displaystyle p}$من هذه المتجهات التي مربعها يساوي${\displaystyle +1}$والعدد الإجمالي${\displaystyle q}$ذلك المربع إلى${\displaystyle -1}$ثابت. (العدد الإجمالي لمتجهات الأساس التي مربعها يساوي صفرًا ثابت أيضًا، وقد يكون غير صفري إذا سُمح بالحالة المنحلة). نرمز إلى هذا الجبر بـ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$على سبيل المثال ،${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$نماذج الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ،${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$الزمكان النسبي و${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$جبر هندسي متطابق لفضاء ثلاثي الأبعاد.

مجموعة جميع المنتجات الممكنة لـ${\displaystyle n}$متجهات أساسية متعامدة ذات مؤشرات مرتبة تصاعديًا، بما في ذلك${\displaystyle 1}$باعتبارها ناتجًا فارغًا ، تُشكّل أساسًا للجبر الهندسي بأكمله (وهو نظير لنظرية PBW ). على سبيل المثال، ما يلي هو أساس للجبر الهندسي .${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$⁠ :

${\displaystyle \{1,e_{1},e_{2},e_{3},e_{1}e_{2},e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}e_{3}\}}$

يُطلق على الأساس المُشكَّل بهذه الطريقة اسم الأساس القياسي للجبر الهندسي، وأي أساس متعامد آخر لـ${\displaystyle V}$سينتج عنه أساس معياري آخر. يتكون كل أساس معياري من${\displaystyle 2^{n}}$العناصر. يمكن التعبير عن كل متجه متعدد في الجبر الهندسي كتركيبة خطية من عناصر الأساس القياسية. إذا كانت عناصر الأساس القياسية هي${\displaystyle \{B_{i}\mid i\in S\}}$مع${\displaystyle S}$إذا كانت مجموعة فهارس، فإن حاصل الضرب الهندسي لأي متجهين متعددين هو

${\displaystyle \left(\sum _{i}\alpha _{i}B_{i}\right)\left(\sum _{j}\beta _{j}B_{j}\right)=\sum _{i,j}\alpha _{i}\beta _{j}B_{i}B_{j}.}$

المصطلحات "${\displaystyle k}$يُستخدم مصطلح "المتجه" غالبًا لوصف المتجهات المتعددة التي تحتوي على عناصر من درجة واحدة فقط. في الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى، لا تُعتبر بعض هذه المتجهات المتعددة شفرات (لا يمكن تحليلها إلى حاصل الضرب الخارجي لـ${\displaystyle k}$المتجهات). على سبيل المثال،${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}}$في${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,0)}$لا يمكن تحليلها إلى عوامل؛ ومع ذلك، عادةً، لا تخضع عناصر الجبر هذه للتفسير الهندسي كأجسام، على الرغم من أنها قد تمثل كميات هندسية مثل الدوران. فقط${\displaystyle 0}$- ,​${\displaystyle 1}$- ,​${\displaystyle (n-1)}$- و​${\displaystyle n}$المتجهات دائمًا ما تكون شفرات في${\displaystyle n}$-مسافة .

أ​${\displaystyle k}$المتجه - هو متجه متعدد يمكن التعبير عنه كحاصل ضرب هندسي لـ${\displaystyle k}$المتجهات القابلة للعكس. ^{[ g ] [ 21 ]} يمكن تعريف الكواترنيونات الوحدوية (التي أطلق عليها هاميلتون في الأصل اسم versors) بالدوارات في الفضاء ثلاثي الأبعاد بنفس الطريقة التي تشمل بها الدوارات ثنائية الأبعاد الحقيقية الأعداد المركبة؛ لمزيد من التفاصيل، راجع دورست. ^{[ 22 ]}

يستخدم بعض المؤلفين مصطلح "الضرب الاتجاهي" للإشارة إلى الحالة الشائعة التي يكون فيها أحد المعاملات "محصورًا" بين مؤثرين. وتُعدّ أوصاف الدوران والانعكاس، بما في ذلك تحويلاتها الخارجية، أمثلة على هذا الحصر. تتميز هذه التحويلات الخارجية بصيغة جبرية بسيطة للغاية. ^{[ ح ]} تحديدًا، هي عبارة عن تطبيق للمتجهات على الشكل التالي:

${\displaystyle V\to V:a\mapsto RaR^{-1}}$يمتد إلى التشاكل الخارجي${\displaystyle {\mathcal {G}}(V)\to {\mathcal {G}}(V):A\mapsto RAR^{-1}.}$

بما أن كلاً من المشغلين والمعامل عبارة عن متجهات عكسية، فهناك إمكانية لأمثلة بديلة مثل تدوير الدوار أو عكس الدوران، شريطة أن يكون من الممكن دائمًا إضفاء بعض الأهمية الهندسية أو الفيزيائية على هذه العمليات.

بحسب نظرية كارتان-ديودونيه، لدينا أن كل تماثل هندسي يمكن أن يُعطى كانعكاسات في المستويات الفائقة، وبما أن الانعكاسات المركبة توفر دورانات، فإن التحويلات المتعامدة هي متجهات.

من حيث المجموعات، بالنسبة لحقيقي، غير منحط${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$بعد تحديد المجموعة${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\times }}$باعتبارها مجموعة جميع العناصر القابلة للعكس من${\displaystyle {\mathcal {G}}}$يقدم لوندولم برهانًا على أن "مجموعة فيرسور"${\displaystyle \{v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\in {\mathcal {G}}\mid v_{i}\in V^{\times }\}}$(مجموعة المتجهات العكسية) تساوي مجموعة ليبشيتز${\displaystyle \Gamma }$( المعروفة أيضًا باسم مجموعة كليفورد، على الرغم من أن لوندولم يرفض هذا الاستخدام). ^{[ 23 ]}

نرمز إلى انعكاس الدرجة بـ ⁠${\displaystyle {\widehat {S}}}$والعودة إلى الوضع السابق${\displaystyle {\widetilde {S}}}$⁠ .

على الرغم من أن مجموعة ليبشيتز (المعرفة على أنها${\displaystyle \{S\in {\mathcal {G}}^{\times }\mid {\widehat {S}}VS^{-1}\subseteq V\}}$) ومجموعة المتجهات (المعرفة على النحو التالي )${\displaystyle \textstyle \{\prod _{i=0}^{k}v_{i}\mid v_{i}\in V^{\times },k\in \mathbb {N} \}}$على الرغم من اختلاف تعريفاتها، إلا أنها تنتمي إلى نفس المجموعة. يُعرّف لوندولم ⁠${\displaystyle \operatorname {Pin} }$،​​${\displaystyle \operatorname {Spin} }$و​​${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}}$^{[ 24 ]} مجموعات فرعية من مجموعة ليبشيتز.

المجموعة الفرعية	تعريف	مصطلح GA
${\displaystyle \Gamma }$	${\displaystyle \{S\in {\mathcal {G}}^{\times }\mid {\widehat {S}}VS^{-1}\subseteq V\}}$	المتجهات
${\displaystyle \operatorname {Pin} }$	${\displaystyle \{S\in \Gamma \mid S{\widetilde {S}}=\pm 1\}}$	وحدات متجهات
${\displaystyle \operatorname {Spin} }$	${\displaystyle {\operatorname {Pin} }\cap {\mathcal {G}}^{[0]}}$	حتى وحدات المتجه
${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}}$	${\displaystyle \{S\in \operatorname {Spin} \mid S{\widetilde {S}}=1\}}$	الدوارات

تستخدم العديد من التحليلات للسبينورات GA كتمثيل. ^{[ 25 ]}

أ​${\displaystyle \mathbb {Z} }$- يمكن إنشاء بنية فضاء متجه متدرج على الجبر الهندسي باستخدام المنتج الخارجي الذي يتم استنتاجه بشكل طبيعي من المنتج الهندسي.

بما أن حاصل الضرب الهندسي وحاصل الضرب الخارجي متساويان على المتجهات المتعامدة، فإنه يمكن إنشاء هذا التصنيف بسهولة باستخدام أساس متعامد .${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$⁠ .

عناصر الجبر الهندسي التي هي مضاعفات قياسية لـ${\displaystyle 1}$هي من الدرجة${\displaystyle 0}$وتُسمى هذه العناصر بالكميات القياسية . وهي العناصر التي تقع ضمن نطاق${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$من الدرجة ⁠${\displaystyle 1}$و هما متجهان عاديان. العناصر الموجودة في مدى${\displaystyle \{e_{i}e_{j}\mid 1\leq i<j\leq n\}}$هي من الدرجة${\displaystyle 2}$وهما متجهان ثنائيان. ويستمر هذا المصطلح حتى الصف الأخير من ⁠${\displaystyle n}$المتجهات . أو بدلاً من ذلك ،${\displaystyle n}$تُسمى المتجهات - بالكميات شبه القياسية ، ${\displaystyle (n-1)}$تُسمى المتجهات من الرتبة n بالمتجهات الزائفة، وهكذا. لا تخضع العديد من عناصر الجبر لهذا النظام للتصنيف لأنها عبارة عن مجموع عناصر ذات درجات مختلفة. تُسمى هذه العناصر بالمتجهات المختلطة . تصنيف المتجهات المتعددة مستقل عن الأساس المُختار أصلاً.

هذا تصنيف كفضاء متجهي، وليس كجبر. لأن حاصل ضرب ⁠${\displaystyle r}$-شفرة و ⁠${\displaystyle s}$-الشفرة موجودة في نطاق${\displaystyle 0}$من خلال${\displaystyle r+s}$-الشفرات ، الجبر الهندسي هو جبر مُصفّى .

متجه متعدد${\displaystyle A}$يمكن تحليلها باستخدام عامل إسقاط الدرجة ⁠${\displaystyle \langle A\rangle _{r}}$، والذي يُخرج الدرجة-${\displaystyle r}$جزء من​${\displaystyle A}$ونتيجة لذلك:

${\displaystyle A=\sum _{r=0}^{n}\langle A\rangle _{r}}$

على سبيل المثال، حاصل الضرب الهندسي لمتجهين${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b=\langle ab\rangle _{0}+\langle ab\rangle _{2}}$منذ${\displaystyle \langle ab\rangle _{0}=a\cdot b}$و${\displaystyle \langle ab\rangle _{2}=a\wedge b}$و​${\displaystyle \langle ab\rangle _{i}=0}$، لـ${\displaystyle i}$بخلاف${\displaystyle 0}$و​${\displaystyle 2}$⁠ .

متجه متعدد${\displaystyle A}$ويمكن أيضًا تقسيمها إلى مكونات زوجية وفردية، والتي يمكن التعبير عنها على التوالي كمجموع المكونات الزوجية ومجموع المكونات الفردية المذكورة أعلاه:

${\displaystyle A^{[0]}=\langle A\rangle _{0}+\langle A\rangle _{2}+\langle A\rangle _{4}+\cdots }$

${\displaystyle A^{[1]}=\langle A\rangle _{1}+\langle A\rangle _{3}+\langle A\rangle _{5}+\cdots }$

هذا نتيجة نسيان البنية من ⁠${\displaystyle \mathrm {Z} }$- فضاء متجه متدرج إلى${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$- فضاء متجهي متدرج . يحترم الضرب الهندسي هذا التدرج الأكثر خشونة. وبالتالي ،بالإضافة إلى كونه ⁠${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$- فضاء متجه متدرج ،الجبر الهندسي هو${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$- الجبر المتدرج ، المعروف أيضًا باسم الجبرالفائق.

باقتصارنا على الجزء الزوجي، فإن حاصل ضرب عنصرين زوجيين يكون زوجيًا أيضًا. هذا يعني أن المتجهات المتعددة الزوجية تُعرّف جبرًا جزئيًا زوجيًا . الجبر الجزئي الزوجي لـ${\displaystyle n}$الجبر الهندسي ذو الأبعاد n متماثل جبريًا (دون الحفاظ على الترشيح أو التدرج) مع جبر هندسي كامل من${\displaystyle (n-1)}$الأبعاد. ومن الأمثلة على ذلك:${\displaystyle {\mathcal {G}}^{[0]}(2,0)\cong {\mathcal {G}}(0,1)}$و​${\displaystyle {\mathcal {G}}^{[0]}(1,3)\cong {\mathcal {G}}(3,0)}$⁠ .

يمثل الجبر الهندسي الفضاءات الجزئية لـ${\displaystyle V}$باعتبارها شفرات، وبالتالي فهي تتعايش في نفس الجبر مع المتجهات من ⁠${\displaystyle V}$أ .​${\displaystyle k}$فضاء فرعي ذو أبعاد${\displaystyle W}$ل${\displaystyle V}$يتم تمثيلها بأخذ أساس متعامد${\displaystyle \{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k}\}}$واستخدام الناتج الهندسي لتشكيل النصل${\displaystyle D=b_{1}b_{2}\cdots b_{k}}$توجد شفرات متعددة تمثل${\displaystyle W}$جميع أولئك الذين يمثلون${\displaystyle W}$هي مضاعفات قياسية لـ${\displaystyle D}$يمكن تقسيم هذه الشفرات إلى مجموعتين: مضاعفات موجبة لـ${\displaystyle D}$والمضاعفات السالبة لـ${\displaystyle D}$المضاعفات الموجبة لـ${\displaystyle D}$يقال إن لها نفس التوجه مثل${\displaystyle D}$، والضرب السالب يضاعف الاتجاه المعاكس .

تُعدّ الشفرات مهمة لأن العمليات الهندسية مثل الإسقاطات والدوران والانعكاسات تعتمد على قابلية التحليل عبر الضرب الخارجي الذي (الفئة المقيدة من )${\displaystyle n}$توفر الشفرات ذلك، ولكن (الفئة العامة من) الدرجة-${\displaystyle n}$المتجهات المتعددة لا تفعل ذلك عندما${\displaystyle n\geq 4}$⁠ .

تُعدّ الكميات الزائفة الوحدوية شفرات تلعب أدوارًا مهمة في الخوارزمية الجينية. الكمية الزائفة الوحدوية لفضاء فرعي غير منحل.${\displaystyle W}$ل${\displaystyle V}$هي شفرة ناتجة عن عناصر أساس متعامد لـ${\displaystyle W}$يمكن إثبات أنه إذا${\displaystyle I}$و${\displaystyle I'}$كلاهما كميات زائفة وحدوية لـ${\displaystyle W}$ثم​${\displaystyle I=\pm I'}$و​${\displaystyle I^{2}=\pm 1}$إذا لم يتم اختيار أساس متعامد لـ${\displaystyle W}$ثم يُعطي تضمين بلوكر متجهًافي الجبر الخارجي، ولكن فقط حتى تغيير المقياس. وباستخدام تماثل فضاء المتجهات بين الجبر الهندسي والجبر الخارجي، يُعطي هذا فئة التكافؤ لـ${\displaystyle \alpha I}$للجميع​${\displaystyle \alpha \neq 0}$. تعمل خاصية التعامد على التخلص من هذا الغموض باستثناء الإشارات المذكورة أعلاه.

لنفترض الجبر الهندسي${\displaystyle {\mathcal {G}}(n,0)}$مع المنتج الداخلي الإيجابي المحدد المألوف${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يتم تشكيلها. بالنظر إلى مستوى (فضاء فرعي ثنائي الأبعاد) من ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، يمكن للمرء أن يجد أساسًا متعامدًا${\displaystyle \{b_{1},b_{2}\}}$يمتد عبر المستوى، وبالتالي إيجاد كمية قياسية زائفة وحدوية${\displaystyle I=b_{1}b_{2}}$يمثل هذا المستوى. حاصل الضرب الهندسي لأي متجهين في امتداد${\displaystyle b_{1}}$و${\displaystyle b_{2}}$يكمن في${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$أي أنه مجموع${\displaystyle 0}$-vector و a${\displaystyle 2}$-vector .

بحسب خصائص الضرب الهندسي ،${\displaystyle I^{2}=b_{1}b_{2}b_{1}b_{2}=-b_{1}b_{2}b_{2}b_{1}=-1}$إن التشابه مع الوحدة التخيلية ليس عرضيًا: الفضاء الجزئي${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$هو​${\displaystyle \mathbb {R} }$الجبر - المتماثل مع الأعداد المركبة . وبهذه الطريقة، يتم تضمين نسخة من الأعداد المركبة في الجبر الهندسي لكل فضاء فرعي ثنائي الأبعاد من${\displaystyle V}$والتي يكون شكلها التربيعي محدداً.

من الممكن أحيانًا تحديد وجود وحدة تخيلية في معادلة فيزيائية. تنشأ هذه الوحدات من إحدى الكميات العديدة في الجبر الحقيقي التي مربعها يساوي ⁠${\displaystyle -1}$وهذه لها أهمية هندسية بسبب خصائص الجبر وتفاعل فضاءاته الفرعية المختلفة.

في​${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$، ثمة حالة مألوفة أخرى. بالنظر إلى أساس قياسي يتكون من متجهات متعامدة.${\displaystyle e_{i}}$من​${\displaystyle V}$، مجموعة كل​${\displaystyle 2}$-vectors يمتد بواسطة

${\displaystyle \{e_{3}e_{2},e_{1}e_{3},e_{2}e_{1}\}.}$

تصنيف هذه${\displaystyle i}$،​${\displaystyle j}$و${\displaystyle k}$(مع الانحراف مؤقتًا عن اصطلاحنا في استخدام الأحرف الكبيرة)، الفضاء الفرعي الناتج عن ⁠${\displaystyle 0}$-المتجهات و​${\displaystyle 2}$المتجهات هي بالضبط${\displaystyle \{\alpha _{0}+i\alpha _{1}+j\alpha _{2}+k\alpha _{3}\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$. يُنظر إلى هذه المجموعة على أنها الجبر الجزئي الزوجي لـ ⁠${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$وعلاوة على ذلك ، فهو متماثل كـ${\displaystyle \mathbb {R} }$الجبر الرباعي ، وهو نظام جبري مهم آخر.

من الممارسات الشائعة توسيع نطاق الضرب الخارجي للمتجهات ليشمل جبر المتجهات المتعددة بأكمله. ويمكن تحقيق ذلك باستخدام عامل الإسقاط المتدرج المذكور أعلاه .

${\displaystyle A\wedge B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{r+s}}$  ( المنتج الخارجي )

يتوافق هذا التعميم مع التعريف المذكور أعلاه الذي يتضمن التناظر العكسي. وهناك تعميم آخر متعلق بالضرب الخارجي وهو ضرب المبدلات.

${\displaystyle A\times B:={\tfrac {1}{2}}(AB-BA)}$  ( حاصل ضرب المبدل )

المنتج التراجعي هو ثنائي المنتج الخارجي (الذي يتوافق مع "الالتقاء" و"الانضمام" في هذا السياق). ^{[ i ]} يسمح التحديد الثنائي للعناصر، بالنسبة للشفرات ⁠${\displaystyle A_{r}}$و​​${\displaystyle B_{s}}$، نقطة التقاطع (أو الالتقاء) حيث تُؤخذ الازدواجية بالنسبة إلى نصل يحتوي على كليهما${\displaystyle A_{r}}$و​​${\displaystyle B_{s}}$( أصغر هذه الشفرات هي الوصلة). ^{[ 27 ]}

${\displaystyle A_{r}\vee B_{s}:=((A_{r}I^{-1})\wedge (B_{s}I^{-1}))I}$

مع​${\displaystyle I}$⁠ العدد الزائف القياسي للوحدة في الجبر. الضرب التراجعي، مثل الضرب الخارجي، هو ضرب تجميعي. ^{[ 28 ]}

يمكن تعميم الضرب الداخلي للمتجهات، ولكن بأكثر من طريقة غير متكافئة. تُقدم ورقة بحثية ( دورست، ٢٠٠٢ ) معالجة شاملة لعدة أنواع مختلفة من الضرب الداخلي المُطورة للجبر الهندسي وعلاقاتها المتبادلة، وقد استُمدت الرموز من تلك الورقة. يستخدم العديد من المؤلفين الرمز نفسه المستخدم للضرب الداخلي للمتجهات في الامتداد الذي اختاروه (مثل هيستينز وبيرواس). ولم يظهر حتى الآن رمز موحد.

يُعرّف الامتداد الأصلي لهيستينز الضرب الداخلي (أو الضرب النقطي) بأنه أدنى درجة للضرب الهندسي، باستثناء أن أي جزء قياسي من العوامل لن يساهم (الضرب النقطي لمتجه متعدد بواسطة عدد قياسي هو 0):

${\displaystyle A\cdot B:=\sum _{r\neq 0,s\neq 0}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{|s-r|}}$

كان القصد الأصلي هو صنع${\displaystyle AB=A\cdot B+A\wedge B}$صحيح بالنسبة لـ${\displaystyle A}$و​​${\displaystyle B}$الكميات العددية أو المتجهات. لا يستخدم العديد من المؤلفين قيد ⁠${\displaystyle r\neq 0,s\neq 0}$في التعريف، وهو ما يعادل منتج "النقطة السمينة" أدناه .

من بين التعميمات المختلفة الأخرى للجداء الداخلي على المتجهات ما يلي:

${\displaystyle A\mathbin {\rfloor } B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{s-r}}$  ( انقباض يساري )

${\displaystyle A\mathbin {\lfloor } B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{r-s}}$  ( الاختصار الصحيح )

${\displaystyle A*B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{0}}$  ( الضرب القياسي )

${\displaystyle A\bullet B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{|s-r|}}$  (ناتج "(النقطة السميكة)") ^{[ j ]}

يقدم دورست (2002) حجةً لصالح استخدام الانكماشات بدلاً من الضرب الداخلي لهيستينز؛ فهي أكثر انتظامًا من الناحية الجبرية ولها تفسيرات هندسية أوضح. عدد من المتطابقات التي تتضمن الانكماشات صالحة دون تقييد مدخلاتها. على سبيل المثال،

${\displaystyle A\mathbin {\rfloor } B=(A\wedge (BI^{-1}))I}$

${\displaystyle A\mathbin {\lfloor } B=I((I^{-1}A)\wedge B)}$

${\displaystyle (A\wedge B)*C=A*(B\mathbin {\rfloor } C)}$

${\displaystyle C*(B\wedge A)=(C\mathbin {\lfloor } B)*A}$

${\displaystyle A\mathbin {\rfloor } (B\mathbin {\rfloor } C)=(A\wedge B)\mathbin {\rfloor } C}$

${\displaystyle (A\mathbin {\rfloor } B)\mathbin {\lfloor } C=A\mathbin {\rfloor } (B\mathbin {\lfloor } C).}$

من فوائد استخدام الانكماش الأيسر كامتداد للضرب الداخلي على المتجهات أن العنصر المحايد${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$يمتد إلى${\displaystyle aB=a\;\rfloor \;B+a\wedge B}$لأي متجه${\displaystyle a}$والمتجه المتعدد${\displaystyle B}$وأن عملية الإسقاط​${\displaystyle {\mathcal {P}}_{b}(a)=(a\cdot b^{-1})b}$يمتد إلى${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\mathbin {\rfloor } B^{-1})\mathbin {\rfloor } B}$لأي شفرة${\displaystyle B}$وأي متجه متعدد${\displaystyle A}$(مع تعديل طفيف لاستيعاب القيمة الفارغة )${\displaystyle B}$( انظر أدناه ).

يترك${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$أن يكون أساسًا لـ${\displaystyle V}$أي مجموعة من${\displaystyle n}$متجهات مستقلة خطيًا تمتد عبر${\displaystyle n}$فضاء متجهي ذو أبعاد${\displaystyle V}$الأساس المزدوج لـ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$هي مجموعة عناصر الفضاء المتجهي الثنائي${\displaystyle V^{*}}$يشكل ذلك نظامًا ثنائي التعامد على هذا الأساس، وبالتالي تكون العناصر المشار إليها${\displaystyle \{e^{1},\ldots ,e^{n}\}}$مُرضٍ

${\displaystyle e^{i}\cdot e_{j}=\delta ^{i}{}_{j},}$

أين${\displaystyle \delta }$هي دلتا كرونكر .

بفرض شكل تربيعي غير منعدم على${\displaystyle V}$،​${\displaystyle V^{*}}$يصبح مرتبطًا بشكل طبيعي بـ${\displaystyle V}$ويمكن اعتبار الأساس المزدوج عنصرين من عناصر${\displaystyle V}$، لكنها ليست بشكل عام نفس المجموعة الأساسية الأصلية.

بالإضافة إلى ذلك، تم حساب GA بقيمة ⁠${\displaystyle V}$، دع

${\displaystyle I=e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$

ليكن الكمية الزائفة (التي لا تربيع بالضرورة إلى ⁠${\displaystyle \pm 1}$) مُشكَّلة من الأساس${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$. يمكن إنشاء متجهات الأساس المزدوجة على النحو التالي

${\displaystyle e^{i}=(-1)^{i-1}(e_{1}\wedge \cdots \wedge {\check {e}}_{i}\wedge \cdots \wedge e_{n})I^{-1},}$

حيث${\displaystyle {\check {e}}_{i}}$يشير إلى أن${\displaystyle i}$يتم حذف متجه الأساس رقم 1 من المنتج.

يُعرف الأساس المزدوج أيضًا باسم الأساس المتبادل أو الإطار المتبادل.

يتمثل أحد الاستخدامات الرئيسية للأساس الثنائي في فصل المتجهات إلى مركباتها. بالنظر إلى متجه ⁠${\displaystyle a}$المكونات العددية${\displaystyle a^{i}}$يمكن تعريفها على النحو التالي:

${\displaystyle a^{i}=a\cdot e^{i}\ ,}$

من حيث${\displaystyle a}$يمكن فصلها إلى مكونات متجهة كما يلي:

${\displaystyle a=\sum _{i}a^{i}e_{i}\ .}$

يمكننا أيضًا تعريف المكونات العددية${\displaystyle a_{i}}$مثل

${\displaystyle a_{i}=a\cdot e_{i}\ ,}$

من حيث${\displaystyle a}$يمكن فصلها إلى مركبات متجهة بدلالة الأساس الثنائي كما يلي

${\displaystyle a=\sum _{i}a_{i}e^{i}\ .}$

يمكن توسيع الأساس الثنائي، كما هو مُعرَّف أعلاه، للفضاء الفرعي المتجهي للجبر الهندسي ليشمل الجبر بأكمله. ^{[ 29 ]} وللحفاظ على التراص، سنستخدم حرفًا كبيرًا واحدًا لتمثيل مجموعة مرتبة من مؤشرات المتجهات. أي، كتابة

${\displaystyle J=(j_{1},\dots ,j_{n})\ ,}$

أين​${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\dots <j_{n}}$يمكننا كتابة شفرة أساسية على النحو التالي :

${\displaystyle e_{J}=e_{j_{1}}\wedge e_{j_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{j_{n}}\ .}$

تحتوي الشفرة المقابلة على المؤشرات بترتيب معاكس:

${\displaystyle e^{J}=e^{j_{n}}\wedge \cdots \wedge e^{j_{2}}\wedge e^{j_{1}}\ .}$

على غرار الحالة المذكورة أعلاه مع المتجهات، يمكن إثبات أن

${\displaystyle e^{J}*e_{K}=\delta _{K}^{J}\ ,}$

أين${\displaystyle *}$هو حاصل الضرب القياسي.

مع${\displaystyle A}$بالنسبة للمتجه المتعدد، يمكننا تعريف المكونات العددية على النحو التالي ^{[ 30 ]}

${\displaystyle A^{ij\cdots k}=(e^{k}\wedge \cdots \wedge e^{j}\wedge e^{i})*A\ ,}$

من حيث${\displaystyle A}$يمكن فصلها إلى شفرات مكونة كما

${\displaystyle A=\sum _{i<j<\cdots <k}A^{ij\cdots k}e_{i}\wedge e_{j}\wedge \cdots \wedge e_{k}\ .}$

يمكننا بدلاً من ذلك تعريف المكونات العددية

${\displaystyle A_{ij\cdots k}=(e_{k}\wedge \cdots \wedge e_{j}\wedge e_{i})*A\ ,}$

من حيث${\displaystyle A}$يمكن فصلها إلى شفرات مكونة كما

${\displaystyle A=\sum _{i<j<\cdots <k}A_{ij\cdots k}e^{i}\wedge e^{j}\wedge \cdots \wedge e^{k}\ .}$

على الرغم من سهولة التعامل مع المتجهات المتعددة لأنها تُمثل مباشرةً في الجبر كمتجه متعدد، إلا أن المتجهات المتعددة هي مجموعة فرعية من الدوال الخطية على المتجهات المتعددة، والتي لا يزال من الممكن استخدامها عند الضرورة. الجبر الهندسي لـ${\displaystyle n}$الفضاء المتجهي ذو الأبعاد n يمتد بواسطة أساس من${\displaystyle 2^{n}}$العناصر. إذا تم تمثيل متجه متعدد بواسطة${\displaystyle 2^{n}\times 1}$إذا كانت لدينا مصفوفة عمودية حقيقية لمعاملات أساس الجبر، فيمكن التعبير عن جميع التحويلات الخطية للمتجه المتعدد كضرب مصفوفة في${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$المصفوفة الحقيقية. ومع ذلك، فإن هذا التحويل الخطي العام يسمح بعمليات تبادل عشوائية بين الدرجات، مثل "تدوير" كمية قياسية إلى متجه، وهو أمر ليس له تفسير هندسي واضح.

يُعد التحويل الخطي العام من المتجهات إلى المتجهات موضوعًا ذا أهمية. مع التقييد الطبيعي للحفاظ على الجبر الخارجي المُستحث، فإن التشاكل الخارجي للتحويل الخطي هو الامتداد الوحيد ^{[ k ]} للمتجه المتجهي.${\displaystyle f}$إذا كانت دالة خطية تُحوّل المتجهات إلى متجهات، فإنّ تحويلها الخارجي هو الدالة التي تُحقق القاعدة التالية:

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r})=f(a_{1})\wedge f(a_{2})\wedge \cdots \wedge f(a_{r})}$

بالنسبة للشفرة، تمتد إلى الجبر بأكمله من خلال الخطية.

الجبر الفرعي الزوجي لـ${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,0)}$متماثل مع الأعداد المركبة ، كما يمكن ملاحظة ذلك بكتابة متجه${\displaystyle P}$بدلالة مكوناتها في أساس متعامد، وضربها من اليسار بمتجه الأساس .${\displaystyle e_{1}}$، مما يؤدي

${\displaystyle Z=e_{1}P=e_{1}(xe_{1}+ye_{2})=x(1)+y(e_{1}e_{2}),}$

حيث نحدد${\displaystyle i\mapsto e_{1}e_{2}}$منذ

${\displaystyle (e_{1}e_{2})^{2}=e_{1}e_{2}e_{1}e_{2}=-e_{1}e_{1}e_{2}e_{2}=-1.}$

وبالمثل، فإن الجبر الفرعي الزوجي لـ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$مع أساس${\displaystyle \{1,e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}\}}$وهي متماثلة مع الكواترنيونات كما يمكن ملاحظته من خلال تحديد ⁠${\displaystyle i\mapsto -e_{2}e_{3}}$،​${\displaystyle j\mapsto -e_{3}e_{1}}$و​${\displaystyle k\mapsto -e_{1}e_{2}}$⁠ .

لكل جبر ترابطي تمثيل مصفوفي؛ استبدال متجهات الأساس الديكارتية الثلاثة بمصفوفات باولي يعطي تمثيلاً لـ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$⁠ :

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}=\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\e_{2}=\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\e_{3}=\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

رسم " متجه باولي " ( ثنائي ):

${\displaystyle \sigma =\sigma _{1}e_{1}+\sigma _{2}e_{2}+\sigma _{3}e_{3}}$مع متجهات عشوائية${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$وبضرب الطرفين نحصل على:

${\displaystyle (\sigma \cdot a)(\sigma \cdot b)=a\cdot b+a\wedge b}$(وبالمثل، عن طريق الفحص، ⁠${\displaystyle a\cdot b+i\sigma \cdot (a\times b)}$)​

في الفيزياء، تتمثل التطبيقات الرئيسية في الجبر الهندسي لزمكان مينكوفسكي 3+ 1 ،${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$، والتي تسمى جبر الزمكان (STA)، ^{[ 3 ]} أو بشكل أقل شيوعًا ،${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$، قام بتفسير جبر الفضاء المادي (APS).

بينما في نظرية الزمكان القياسية (STA)، تُمثل نقاط الزمكان ببساطة بواسطة متجهات، في نظرية الزمكان المتقدمة (APS)، تُمثل نقاط ⁠${\displaystyle (3+1)}$يتم تمثيل الزمكان ذي الأبعاد n بدلاً من ذلك بواسطة المتجهات الموازية ، وهو متجه ثلاثي الأبعاد (الفضاء) بالإضافة إلى كمية قياسية أحادية البعد (الزمن).

في جبر الزمكان، يمتلك موتر المجال الكهرومغناطيسي تمثيلاً ثنائي الاتجاه .${\displaystyle {F}=({E}+ic{B})\gamma _{0}}$[ ^{32 ]} هنا،^​${\displaystyle i=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$هي وحدة شبه قياسية (أو عنصر حجم رباعي الأبعاد)،${\displaystyle \gamma _{0}}$هو متجه الوحدة في اتجاه الزمن، و${\displaystyle E}$و${\displaystyle B}$هي متجهات المجال الكهربائي والمغناطيسي الكلاسيكية (مع مركبة زمنية صفرية). باستخدام التيار الرباعي${\displaystyle {J}}$تصبحمعادلات ماكسويل بعد ذلك

التركيبة	المعادلات المتجانسة	المعادلات غير المتجانسة
الحقول	${\displaystyle DF=\mu _{0}J}$
	${\displaystyle D\wedge F=0}$	${\displaystyle D\cdot F=\mu _{0}J}$
الإمكانيات (أي مقياس)	${\displaystyle F=D\wedge A}$	${\displaystyle D\cdot (D\wedge A)=\mu _{0}J}$
الإمكانات ( مقياس لورنز )	${\displaystyle F=DA}$ ${\displaystyle D\cdot A=0}$	${\displaystyle D^{2}A=\mu _{0}J}$

في حساب التفاضل والتكامل الهندسي، يتم تجاور المتجهات كما في${\displaystyle DF}$يشير إلى الناتج الهندسي ويمكن تحليله إلى أجزاء مثل${\displaystyle DF=D\cdot F+D\wedge F}$هنا​${\displaystyle D}$هي مشتقة متجهة مشتركة في أي زمكان وتختزل إلى${\displaystyle \nabla }$في الزمكان المسطح. حيث${\displaystyle \bigtriangledown }$يلعب دورًا في مينكوفسكي${\displaystyle 4}$الزمكان - الذي يُعد مرادفًا لدور${\displaystyle \nabla }$في الإقليدية ⁠${\displaystyle 3}$-الفضاء ويرتبط بـ دالمبير من خلال${\displaystyle \Box =\bigtriangledown ^{2}}$في الواقع ، بالنظر إلى مراقب ممثل بمتجه زمني يشير إلى المستقبل${\displaystyle \gamma _{0}}$لدينا