متجه متعدد

يمكن ملاحظة خصائص المتجهات المتعددة من خلال النظر إلى فضاء المتجهات ثنائي الأبعاد V = R² ^. لنفترض أن متجهي الأساس هما e₁ و e₂ _، وبالتالي فإن u و v معطيان كما يلي _:

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2},}$

ويتم حساب المتجه المتعدد u ∧ v ، والذي يسمى أيضًا بالمتجه الثنائي، ليكون

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$

تشير الخطوط الرأسية إلى محدد المصفوفة، وهو مساحة متوازي الأضلاع الذي يولده المتجهان u و v . مقدار u ∧ v هو مساحة متوازي الأضلاع هذا. لاحظ أنه نظرًا لأن V له بُعدان ، فإن ثنائي المتجه الأساسي e ₁ ∧ e ₂ هو المتجه المتعدد الوحيد في Λ V.

تُعدّ العلاقة بين مقدار المتجه المتعدد والمساحة أو الحجم الذي تشغله هذه المتجهات سمةً مهمةً في جميع الأبعاد. علاوةً على ذلك، يُعرف الشكل الوظيفي الخطي للمتجه المتعدد الذي يحسب هذا الحجم بالصيغة التفاضلية.

يمكن ملاحظة المزيد من خصائص المتجهات المتعددة من خلال النظر إلى فضاء المتجهات ثلاثي الأبعاد V = R³ . في هذه الحالة، لنفترض أن متجهات الأساس هي e₁ _و e₂ و e₃ _، وبالتالي فإن u و _v و w تُعطى بالعلاقة التالية ^:

$// {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3},&\mathbf {w} &=w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},\end{محاذاة}}}$

ويتم حساب المتجه الثنائي u ∧ v ليكون

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _ {3}\يمين)+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _ {3}\يمين)+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\right).}$

مركبات هذا المتجه الثنائي هي نفسها مركبات الضرب الاتجاهي. مقدار هذا المتجه الثنائي هو الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته.

يُبين هذا أن مقدار ثنائي المتجه u ∧ v هو مساحة متوازي الأضلاع الذي يشكله المتجهان u و v في الفضاء ثلاثي الأبعاد V. أما مركبات ثنائي المتجه فهي مساحات إسقاط متوازي الأضلاع على كل مستوى من مستويات الإحداثيات الثلاثة.

لاحظ أنه نظرًا لأن V له بُعد ثلاثة، فهناك متجه أساس ثلاثي واحد في ΛV . احسب المتجه الثلاثي

$\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_{2}&w_{2}\\u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right).}$

وهذا يدل على أن مقدار المتجه الثلاثي u ∧ v ∧ w هو حجم متوازي المستطيلات الذي تشكله المتجهات الثلاثة u و v و w .

في الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى، تكون المتجهات الثلاثية المكونة عبارة عن إسقاطات لحجم متوازي المستطيلات على الفضاءات الإحداثية الثلاثية، ويكون مقدار المتجه الثلاثي هو حجم متوازي المستطيلات كما هو موجود في الفضاء ذي الأبعاد الأعلى.

Points in the affine component E: z = 1 of the projective plane P² have coordinates x = (x, y, 1). A linear combination of two points p = (p₁, p₂, 1) and q = (q₁, q₂, 1) defines a plane in R³ that intersects E in the line joining p and q. The multivector p ∧ q defines a parallelogram in R³ given by

${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$

Notice that substitution of αp + βq for p multiplies this multivector by a constant. Therefore, the components of p ∧ q are homogeneous coordinates for the plane through the origin of R³.

مجموعة النقاط x = ( x , y , 1) على الخط المار بالنقطتين p و q هي تقاطع المستوى المحدد بالنقطتين p و q مع المستوى E: z = 1. تحقق هذه النقاط المعادلة x ∧ p ∧ q = 0 ، أي

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\wedge {\big (}(p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}){\big )}=0,}$

والتي تُبسط إلى معادلة خط مستقيم

${\displaystyle \lambda :x(p_{2}-q_{2})+y(p_{1}-q_{1})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})=0.}$

تتحقق هذه المعادلة عند النقاط x = α p + β q للقيم الحقيقية لـ α و β.

تُسمى المكونات الثلاثة للمتجهين p و q اللذين يُحددان الخط λ بإحداثيات غراسمان للخط. ولأن ثلاثة إحداثيات متجانسة تُحدد كلاً من النقطة والخط، يُقال إن هندسة النقاط ثنائية لهندسة الخطوط في المستوى الإسقاطي. وهذا ما يُسمى بمبدأ الازدواجية .

يتكون الفضاء الإسقاطي ثلاثي الأبعاد P₃ من جميع الخطوط المارة بنقطة الأصل في R₄ ^. ليكن المستوى الفائق ثلاثي الأبعاد H: w = 1 هو المكون الأفيني للفضاء الإسقاطي المعرف بالنقاط x = ( x , y , z , 1) ^. يُعرّف المتجه المتعدد p ∧ q ∧ r متوازي مستطيلات في R₄ معطى بالعلاقة التالية ^:

${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} ={\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}.}$

لاحظ أن استبدال α p + β q + γ r بـ p يؤدي إلى ضرب هذا المتجه المتعدد في ثابت. لذلك، فإن مركبات p ∧ q ∧ r هي إحداثيات متجانسة للفضاء ثلاثي الأبعاد المار بنقطة الأصل في R ⁴ .

المستوى في المكون الأفيني H: w = 1 هو مجموعة النقاط x = ( x , y , z , 1) في تقاطع H مع الفضاء ثلاثي الأبعاد المعرف بـ p ∧ q ∧ r . تحقق هذه النقاط x ∧ p ∧ q ∧ r = 0 ، أي

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =(x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+z\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4})\wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =0,}$

والتي تُبسط إلى معادلة مستوى

${\displaystyle \lambda :x{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+y{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+z{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}=0.}$

يتم تحقيق هذه المعادلة بواسطة النقاط x = α p + β q + γ r للقيم الحقيقية لـ α و β و γ .

تُسمى المكونات الأربعة للإحداثيات p ∧ q ∧ r التي تُحدد المستوى λ بإحداثيات غراسمان لهذا المستوى. ولأن أربعة إحداثيات متجانسة تُحدد كلاً من النقطة والمستوى في الفضاء الإسقاطي، فإن هندسة النقاط تُعتبر ثنائية لهندسة المستويات.

الخط كوصلة بين نقطتين: في الفضاء الإسقاطي، يمكن اعتبار الخط λ المار بنقطتين p و q بمثابة تقاطع الفضاء الأفيني H: w = 1 مع المستوى x = α p + β q في R ^4. يوفر المتجه المتعدد p ∧ q إحداثيات متجانسة للخط.

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda$ :\mathbf {p} \wedge \mathbf {q} &=(p_{1}\mathbf {e} _{1}+p_{2}\mathbf {e} _{2}+p_{3}\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4})\wedge (q_{1}\mathbf {e} _ {1}+q_ {2}\mathbf {e} _{2}+q_{3}\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4})،\\&={\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _ {4}+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _ {3}\wedge \mathbf {e} _{4}\\&+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\p_{3}&q_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _ {3}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\p_{1}&q_{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _ {1}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\p_{2}&q_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}.\end{محاذاة}}}

تُعرف هذه باسم إحداثيات بلوكر للخط، على الرغم من أنها تُعد أيضًا مثالًا على إحداثيات غراسمان.

الخط كنقطة تقاطع مستويين: يمكن تعريف الخط μ في الفضاء الإسقاطي أيضًا على أنه مجموعة النقاط x التي تشكل تقاطع مستويين π و ρ معرفين بواسطة متجهات متعددة من الدرجة الثالثة، وبالتالي فإن النقاط x هي حلول المعادلات الخطية

${\displaystyle \mu$ :\mathbf {x} \wedge \pi =0,\mathbf {x} \wedge \rho =0.}

للحصول على إحداثيات بلوكر للخط μ ، قم برسم المتجهات المتعددة π و ρ إلى إحداثيات النقطة المزدوجة الخاصة بها باستخدام المكمل الأيمن، المشار إليه بخط علوي، كما هو موضح في ^{[ 9 ].}

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\overline {\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}}},\quad \mathbf {e} _{2}={\overline {\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}}},\quad \mathbf {e} _{3}={\overline {\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}}},\quad \mathbf {e} _{4}={\overline {\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}},}$

ثم

${\displaystyle {\overline {\pi }}=\pi _{1}\mathbf {e} _{1}+\pi _{2}\mathbf {e} _{2}+\pi _{3}\mathbf {e} _{3}+\pi _{4}\mathbf {e} _{4},\quad {\overline {\rho }}=\rho _{1}\mathbf {e} _{1}+\rho _{2}\mathbf {e} _{2}+\rho _{3}\mathbf {e} _{3}+\rho _{4}\mathbf {e} _{4}.}$

إذن، تُعطى إحداثيات بلوكر للخط μ بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu$ :{\underline {{\overline {\pi}}\wedge {\overline {\rho }}}}&={\begin{vmatrix}\pi _{1}&\rho _{1}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _ {3}+{\begin{vmatrix}\pi _{2}&\rho _{2}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}\pi _{3}&\rho _{3}\\\pi _ {4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _ {1}\wedge \mathbf {e} _{2}\\&+{\begin{vmatrix}\pi _{2}&\rho _{2}\\\pi _{3}&\rho _{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _ {4}+{\begin{vmatrix}\pi _ {3}&\rho _{3}\\\pi _{1}&\rho _{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{1}&\rho _{1}\\\pi _{2}&\rho _ {2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4},\end{aligned}}}

حيث يشير الخط السفلي إلى المتمم الأيسر. يُسمى المتمم الأيسر للجداء الخارجي للمكملات اليمنى بالجداء الخارجي المضاد، ويُرمز إليه برمز إسفيني متجه للأسفل، مما يسمح لنا بكتابة${\displaystyle \mu =\pi \vee \rho .}$

التوجيه المحدد بواسطة مجموعة مرتبة من المتجهات.

الاتجاه المعكوس يتوافق مع نفي المنتج الخارجي.

التفسير الهندسي لعناصر الدرجة n في جبر خارجي حقيقي، حيث n = 0 (نقطة موجهة)، 1 (قطعة مستقيمة موجهة، أو متجه)، 2 (عنصر مستوٍ موجه)، 3 (حجم موجه). يمكن تصور الضرب الخارجي لـ n متجهًا كأي شكل ذي n بُعد (مثل متوازي سطوح n ، أو قطع ناقص n )؛ بمقدار ( حجم فائق )، واتجاه محدد بناءً على حدوده ذات ( n − 1) بُعد ، وعلى أي جانب يقع باطنه. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

• المتجهات الصفرية هي كميات قياسية؛
• المتجهات من الرتبة 1 هي متجهات؛
• المتجهات الثنائية هي متجهات ثنائية الأبعاد ؛
• المتجهات ( n − 1) هي متجهات زائفة ؛
• المتجهات ذات البعد n هي كميات زائفة قياسية .

في حالة وجود شكل حجمي (مثل إعطاء منتج داخلي وتوجيه)، يمكن تحديد المتجهات الزائفة والكميات القياسية الزائفة مع المتجهات والكميات القياسية، وهو أمر روتيني في حساب المتجهات ، ولكن بدون شكل حجمي لا يمكن القيام بذلك دون اتخاذ اختيار تعسفي.

في جبر الفضاء الفيزيائي (الجبر الهندسي للفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، المستخدم كنموذج للزمكان (3+1))، يُطلق على مجموع كمية قياسية ومتجه اسم المتجه الموازي ، ويمثل نقطة في الزمكان (المتجه هو الفضاء، والكمية القياسية هي الزمن).

المتجه الثنائي هو عنصر من عناصر حاصل الضرب الموتري المتناظر المضاد لفضاء مماس مع نفسه.

في الجبر الهندسي ، يُعرف المتجه الثنائي بأنه عنصر من الدرجة الثانية (متجه ثنائي) ناتج عن الضرب الخارجي لمتجهين، وبالتالي فهو هندسيًا منطقة موجهة ، تمامًا كما أن المتجه قطعة مستقيمة موجهة. إذا كان a و b متجهين، فإن المتجه الثنائي a ∧ b له

• معيار هو مساحته، معطى بواسطة

  ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|\,\sin(\phi _{a,b})}$

• الاتجاه: المستوى الذي تقع عليه تلك المنطقة، أي المستوى المحدد بواسطة a و b ، طالما أنهما مستقلان خطيًا؛
• اتجاه (من بين اثنين)، يتم تحديده من خلال الترتيب الذي يتم فيه ضرب المتجهات الأصلية.

ترتبط المتجهات الثنائية بالمتجهات الزائفة ، وتستخدم لتمثيل الدورانات في الجبر الهندسي.

بما أن المتجهات الثنائية هي عناصر في فضاء متجهي Λ²V ⁽ حيث V فضاء متجهي محدود الأبعاد، بُعده n ) _، فمن المنطقي تعريف جداء داخلي على هذا الفضاء المتجهي كما يلي. أولًا، نكتب أي عنصر F ∈ Λ²V ^بدلالة أساس ( eᵢ _∧ eⱼ ) 1 _{≤ i < j} ≤ _n من Λ²V _على النحو التالي ^:

${\displaystyle F=F^{ab}\mathbf {e} _{a}\wedge \mathbf {e} _{b}\quad (1\leq a<b\leq n),}$

حيث يتم استخدام اصطلاح الجمع الخاص بأينشتاين .

الآن، عرّف تطبيقًا G  : Λ ² V × Λ ² V → R مع التأكيد على أن

${\displaystyle G(F,H):=G_{abcd}F^{ab}H^{cd},}$

أين${\displaystyle G_{abcd}}$هي مجموعة من الأرقام.